高级微观经济学考试复习题

第一部分：消费者理论

一、形式化表述分析消费者偏好的性质

（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） 二、效用函数存在性证明 请参考教材

三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为=1p （2，4）时，其需求为=1x （1，2）。当价格为=2p （6，3）时，其需求为=2x （2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果=2x （1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

解答：81*42*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 151*32*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。 如果=2x （1.4，1）时：

8.61*44.1*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2

2122p x 6*13*212p x 6*1.43*111.4=+=>=+= 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数121),(x x x u =，求瓦尔拉斯需求函数

解答：

w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max 从效用函数121),(x x x u =可知商

品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02=x ，1

1p w

x = 或者由w x p x p t s x x x u =+=22111

21..),(max ,可得到

)(0max

),(max 1

12112221源于消费束的非负限制，，此时p w

x x p w p x p w x x u ===-= 实际上，这是一个边角解，

五、效用函数ρρ

ρ1

2121)(),(x x x x u +=，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。 答案： 1、1

2

1

1

1

11

1---+=

ρρρρρp p wp x ，1

2

1

1

1

12

2---+=

ρρρρρp p wp x ，ρ

ρρρρρ11

2

1

1

21)

(),,(---+=

p p w

w p p v

2、ρ

ρρρρρ1

1

2

1

1

1

11

1)

(---+=

p p up h ，ρ

ρρρρρ1

1

2

1

1

1

12

2)

(---+=

p p up h ，ρ

ρ

ρρρρ---+=

11

2

1

1

)

(),(p p u

u p e

（形式可能不一样）

六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材

七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡ 2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡ 请参考教材 八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}{,w x p X x B X w p ≤?∈=：：。假定}0,{>>w p 。证明：如果X 是一个凸集，则w p B ,也是凸集。 请参考教材 九、效用函数2121),(x x x x u =，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。 请参考教材

十、效用函数ρρ

ρ1

2121)(),(x x x x u +=，求其货币度量的直接和间接效用函数。

答案：ρ

ρρρρρρρ

ρ11

2

1

1

1

21)

()(),(---++=p p x x x p w

1x

2x

w q q p p w q p ρ

ρ

ρρρρρ

ρρρρρμ------++=11

2

1

1

11

2

1

1

)

()

(),(；

十一、效用函数2121),(x x x x u =，当40,3,20

20

1===w p p ，5,41

21

1==p p ，求其等价变化和补偿变化。 答案： w q q p p w q p 2

121),(=

；μ，)1103(40-=EV ，)310

1(40-=CV 十二、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材

十三、2121),(x x x x u =，假定25.01=p ，12=p ，2=w ，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。

解答：max 2121),(x x x x u =

s.t. w p x p x =+2211 1．求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数

)--(221121x p x p w x x L λ+=

（2）求极值一阶条件

02

112122111=-=??-λp x x x L (a)

02

1221

22112=-=??-λp x x x L (b) 02211=--=??x p x p w L

λ

(c) 由(a)和(b)整理得：

()()

2

1

122

12

121

2112

=

?

=p p x x p p x x

x x （3）瓦尔拉斯需求函数

分别将2

1

12=p p x x ，212

1=p p x x 代入预算约束(c)，有

2．求间接效用函数

将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数2121=

),(x x x x u ，有

3．求支出函数

由间接效用函数，求反函数w 得：

),,(2=21212211w p p v p p w

4．求希克斯需求函数 法一：将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数i

i p w

x 2=

，得到

法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函

数。

5．求货币度量的效用函数 （1）货币度量的直接效用函数

),(2=),(21212211x x u p p x p w 212122112=x x p p

（2）货币度量的间接效用函数

w q q p p w q q v p p w q p 212211121121212211),,(2),;(--==μ

6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。

25.0=01p ，1=02p ， 25.0+25.0=11p ，1=12p

2===01w w w

等价变化分析：

2)1()25.0(22

)

()(2),,(u 2

121210221010

20

10====

=p p w w p p v 2)1()5.0(22)

()(2),,(u 2

121211221111

2111====

=p p w w p p v 按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

),(),(1110u p e u p e Ev -=w u p e -),(=1

w w p p -),;(=10μ ()()()()

w w p p p p

-=21212

12

1_12

_1102

01

()()()()5858.02215.0125.02

1212

12

1__-=-?=

商品税与收入税对消费者的福利之差为:

),;(),(),;()(101110w p p Ev u p th w p p Ev T --=--

0.0858

5858.02)1()5.0(25.05858.0)()(25.0121111

2211

1=+?-=+?-=——u p p 表明商品税对消费者的福利影响更差。

补偿变化分析：

按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

),(),(0100u p e u p e Cv -=),(-=01u p e w ),;(-=01w p p w μ

()()()()

w p p p p

w 21212

12

1_02

_0112

11

-=

()()()()8284.02125.015.022

12

12

12

1__-=?-=

商品税与收入税对消费者的福利之差为:

),;(),(),;(-010101w p p Cv u p th w p p Cv T --=-

8284

.00.70748284.02)1()5.0(25.08284.0)()(25.021210211

2211

1+-=+??-=+?-=——u p p =0.1213

表明商品税对消费者的福利影响更差。

2.D.3B 设x ∈B w p ,, x '∈B w p ,,λ∈[0,1].

令x ''=λx+(1-λ) x ',因为x 是一个凸集，所以x ''∈X. 故p ?x ''=λ(p ?x)+ (1-λ)(p ?x ')≤λw+ (1-λ)w=w

因此，x ''∈B w p ,.

2.E.5

B

因为x(p,w)对w 是一次齐次的，所以对任意α>0有

x(p,αw)=αx(p,w).

因此，x l (p,w)= x l (p,1)w.

因为当k ≠l 时，l x ?(p,1)/k p ?= l ??(p)/k p ?=0

所以 x l (p,1)只是关于p l 的函数，即可记为x l (p,w)= x l ( p l ). 又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x l ( p l )必定是p l 的-1次方。 因此，存在l α〉0时，使x l ( p l )=l α/ p l .

根据瓦尔拉斯定律,∑

l p

l

（

l

α/ p

l

）w=w∑

l l

α=w.

因此有∑

l l

α=1 是个常数.

2.F. 3B

(a) 若100?120+100y≤100?100+100?100且100?100+80?100≤100?120+80y

即,y∈[75,80]时,他的行为与弱公理矛盾.

(b) 若100?120+100y≤100?100+100?100且100?100+80?100>100?120+80y

即,y<75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.

(c) 若100?120+100y>100?100+100?100且100?100+80?100≤100?120+80y

即,y>80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.

(注:b,c 假定弱公理成立)

(d) 无论y 取何值,都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立 (e) 当y<75时,商品1是劣等品.

100?120+100y ≤100?100+100?100且100?100+80?100>100?120+80y

因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y<75<100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.

(f) 当80

100?120+100y>100?100+100?100且100?100+80?100≤100?120+80y 因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y<100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.

3.D.6B (a) 令u ~(x)=u(x))/(1γβα++=(x 1- b 1

)'α(x 2- b 2)'β(x 3- b 3)'γ, 其中)/('γβααα++=,)/('γβαββ++=,)/('γβαγγ++= 因为函数u →u )/(1γβα++是单调变换,

因此, 1'''=++γβα,u

~(?)与u(?)代表相同的效用水平. 因而我们可以不失一般性的假定1=++γβα. (b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换： lnu(x)=αln(x 1- b 1)+βln(x 2- b 2)+γln(x 3- b 3). 根据UMP 的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数: x(p,w)=( b 1, b 2, b 3)+(w-p ?b)(α/p 1,2/p β,3/p γ) 其中p ?b=332211b p b p b p ++

将此需求函数代入u(?),得到间接效用函数: v(p,w)= (w-p ?b)()α

α1/p

（本题（a ）中验证3.E.2和3.E.3不用作。） 3.G.3B (a) 假设 1=++γβα.对于效用函数:

lnu(x)=αln(x 1- b 1)+βln(x 2- b 2)+γln(x 3- b 3). 根据EMP 一阶条件得:

h(p,u)= ( b 1, b 2, b 3)+u ()α

α/1p ββ)/(2p ()γ

γ/3p ()321/,/,/p p p γβα

将此函数代入p ?h(p,u),得到支出函数:

e(p,u)=p ?b+u ()α

α/1p ββ)/(2p ()γ

γ/3p . 其中, p ?b=332211b p b p b p ++.

(b)对(a)中求出的支出函数求导l p u p e ??/),(，通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为（a ）中所求出的希克斯需求函数。 (c)根据(b)可得，D P h(p,u)=D 2P e(p,u).

将a 中的支出函数对p 求二阶导数，得到

()

u p e D P ,2=

()()()

γ

β

α

γβα///321p p p u ()()()????

?

???

?

?------233231322

221312121/1////1////1p p p p p p p p p p p p p p p γγβγαγβγββαβαγαβαα

在 3.D.6

中，我们得到

x(p,w)=( b

1

, b

2

,

b 3)+(w-p ?b)(α/p 1,2/p β,3/p γ)

于是，D W x(p,w)= (α/p 1,2/p β,3/p γ)

D P x(p,w)= -(w-p ?b)????

??????-????????

?

?321232

2

21////0

00/0

00

/p p p p p p γβαγβα ( b 1, b 2, b 3) 根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立.

(d) 根据D P h(p,u)=D 2P e(p,u)以及 D 2

P e(p,u)即得。

（e ）根据()u p S ,=D P h(p,u)=D 2P e(p,u),

我们可得出D 2P e(p,u)是半负定的，并且秩为2。

3.G.6 (a) 根据瓦尔拉斯定律，可得到：x 3=(w-11p x -22p x )/3p

(b) 是齐次的。 对于任意0>λ，有：

100-531/p p λλ+32/p p λβλ+3/p w λδλ=100-531/p p +32/p p β+3/p w δ，

33231///p w p p p p λδλλγλλβλα+++=33231///p w p p p p δγβα+++. (c) 因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：

()()3323133/////p w p p p p p p δγβαδβ++++

=()()3323133///5100//p w p p p p p p δβδβ++-+

因此，代入3p =1，整理得：

()w p p 221δγδβδαδβ++++ =()w p p 2215100δβδδδβ++-+

因为该方程对于所有21,p p 和w 都成立,则有，

αδβ+=δβ100+，βδ=-5δ，βδγδ=

得，5,5,100-=-==γβα

21x x ==()33231//5/5100p w p p p p δ++-

由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到：

δ=0 代入3p =1，对角线上的第一个元素为：-5+()w p p 22155100δδ++-

若δ≠0，则2δ〉0，就可找到一组()w p p 21,值使得上式〉0. 故得：δ=0 所以，21x x ==()3231/5/5100p p p p +-.

（d ）因为对于任意价格，1x =2x ，所以消费者的无差异曲线呈L 型，拐点在坐标轴的对角线上，如下图。

(e) 根据d 的结论，对于固定的3x ，商品1和2的偏好可由{}21,m in x x 表示，

商品1和2的需求也无收入效应。因此得到：

()321,,x x x u ={}21,m in x x +3x 或是该形式的单调变换。