蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第1章 生产技术)

蒋殿春《高级微观经济学》

第1章 生产技术

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1．两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。假设可投入的劳动量总共为48。

（1）写出生产可能集Z 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数； （3）在(),x y 平面上标示生产边界。

解：（1）由题意可知，总量为48，劳动L 是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：

848x y +≤ 因此，生产可能集Z 的代数表达式为(){}

,,848Z x y L x y L =+≤≤。

（2）一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为8x y L +=。

（3）由（1）可得，生产可能集Z 为(){}

,,848Z x y L x y L =+≤≤，如图1-1所示。

图1-1

2．试画出Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=的等产量线。

解：由Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=表达式可知，当1221x x ββ=时，

2121x x ββ=，由此可得到其等产量线如图1-2所示。

图1-2

3．对Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>>

（1）证明11MP y x α=，22MP y x β=。 （2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）画出等产量曲线。

解：（1）已知生产函数()1,212f x x Ax x αβ

=，即1

2y Ax x αβ=，所以有： ()111121

21,MP f x x Ax x y x αβ

αα-'=== ()1

2212122,MP f x x Ax x y x αβββ-'===

即得证。

（2）在（1）中已经证明11MP y x α=，22MP y x β=，因此，技术替代率为：

1

1212221MP y x x TRS MP y x x ααββ=-=-=-

在Cobb-Douglas 生产函数中1αβ+=，整理得()2

121

1x TRS x αα=--。

（3）由（2）可知，()2

121

1x TRS x αα=-

-，技术替代率12TRS 与y 无关，不随y 的变化而

变化；而21x x 变化时，技术替代率12TRS 随之等比例变化。

（4）已知Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ

=的技术替代率()2

121

1x TRS x αα=-

-，

12TRS 就是相应点处等产量曲线切线的斜率。它的等产量线如图1-3所示。

图1-3

4．对CES 生产函数

()11122y A x x α

αα

δδ=+，121δδ+=，0A >

（1）证明边际产出()

1i i i MP A y x α

α

δ-=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性)11σα=-。 解：（1）()

1

1

1

111122

11

A

MP y x x x α

ααδδαδα

--'==

?+? ()()()()()

111

111121

1

111121111A x x x A A x x x A y x αα

αα

αα

αα

α

α

αα

αδδδδδδδ-----=+??=+??

=

同理可证()121

22MP y A y x α

αδ-'==，因此可得边际产出为[]

1i i i MP A y x α

α

δ-=。

（2）由（1）得，[]

1i i i MP A y x α

α

δ-=。所以，技术替代率111212221MP x TRS MP x α

δδ-??

=-=- ?

??

。

（3）已知技术替代率111212221MP x TRS MP x α

δδ-??

=-=- ?

??

，所以，当y 变化时，12TRS 保持不变；

当21x x 变化时，12TRS 随之等比例变动。 （4）假设21z x x =，则11122

TRS z αδ

δ-=-，那么：

()()

1

121212

1212112d d d d 111TRS TRS TRS z TRS z z z z z αασδδαδδα----??== ???????=-

-- ?????

=-

即得证。

5．证明：CES 生产函数在1α=时变为线性函数，在0α→时变为Cobb-Douglas 函数，在α→-∞时变为Leontief 生产函数。

证明：CES 生产函数为()11122y A x x α

αα

δδ=+

（1）当1α=时，()1122y A x x δδ=+，即为线性函数。 （2）当0α→时，化简得，

()11122y x x A

α

ααδδ=+，两边同时取对数得： ()1122ln ln x x y A αα

δδα

+= 运用洛必达法则求极限：

()11220011

12221122

1122

12

12

ln lim ln lim ln ln ln ln ln a b

x x y

A x x x x x x x x x x αα

αααα

αα

δδα

δδδδδδδδ→→+=+=++=

+= 其中，112

a δδδ=

+，212

b δδδ=

+。

所以12a b

y Ax x =，即为Cobb-Douglas 函数。

（3）当α→-∞时，同（2）中得：

11

12221122ln ln lim ln x x x x y A x x αααααδδδδ→-∞+=+ 当12x x =时，12lim ln

ln ln y

x x A

α→-∞

==，即12y Ax Ax ==。 当12x x ≠时，先假设12x x >，则()121x x α

>，那么：

()()11212211

1222211221122

ln ln ln ln lim ln ln x x x x x x x x y x A x x x x α

αααδδδδδδδδ→-∞++===++ 同理，假设12x x <，则11

122211122

ln ln lim ln ln x x x x y x A x x αα

αααδδδδ→-∞+==+。 因此，当α→-∞时，生产函数为}{12min ,y Ax Ax =，即为Leontief 生产函数。

6．（1）试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ≥）齐次生产函数()f x ，总有

()i i

i

f kf x x x ?=?∑

（2）用生产函数()1,212f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>>验证欧拉定理。

证明：（1）对于k 次齐次生产函数，0t ?≥，()()k f tx t f x =，等式两边同时对t 求微分，得()()()

1k i i

i f tx kt f x x tx -?≡?∑

。

当1t =时，可以得到()x i i

i

f

kf x x ?=?∑

。 （2）生产函数()1,212f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>>是αβ+次齐次函数，

()1,2112

1,

f x x A x x x αβ

α-?=?，()1,21122

f x x A x x x ββ-?=?

所以，()()()1,21,212121212

1,

2

f x x f x x x x A x x A x x Ax x x x αβαβαβ

αβαβ??+

=+=+??，即欧拉定理得证。

7．下列生产函数的规模收益状况如何？ （1）线性函数：()1,212f x x ax bx =+，,0a b >； （2）Leontief 生产函数；

（3）Cobb-Douglas 生产函数； （4）CES 生产函数。

解：（1）线性生产函数()1,212f x x ax bx =+，()()121212f tx tx atx btx t ax bx =+=+，，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（2）Leontief 生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（3）Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>>，当1αβ+=时，是规模

收益不变的；当1αβ+>时，规模收益是递增的；当1αβ+<时，规模收益是递减的。

（4）同理，CES 生产函数()11122y A x x α

ααδδ=+，产量随要素投入变动同比例变化，规模

收益是不变的。

8．证明：（1）对于二元生产函数()12f x x ，，替代弹性可以表示为

()

()

12112212221212121222112f f x f x f x x f f f f f f f σ+=

--

（2）如果生产函数()12f x x ，是一次齐次函数，则有

()()()()()

121212x x x x x f f f f σ=

证明：（1）对于二元生产函数()1,2f x x ，替代弹性其为()2112

121221

d d x x TRS TRS x x σ=

?。

令21z x x =，则()()()1

2112121212122

1d d d d x x TRS TRS TRS TRS x x z z σ-??=

=????

将21x zx =代入生产函数，()11y f x zx =， 令()1x g z =，()1

d d x g z z

'=，对z 求导得，()()()()11220f x x g z f g x zg z ''++=????， 解得，

()11212

d d x x f

g z z f zf '==-+。 由于()()()()1122,,f g z zg z TRS f g z zg z ????=-

????

，所以：

()()()()()()

12122211121222

1222121211222112

222

112221112122212d d 1f f g f g zg f f g f g zg TRS z

f f f f f

g f f zf f f f g f x f f f f f f f f f zf ''''++-++????????

=

'

-++-=??+-??

=

+

将21z x x =代入上式，

()()

222

11222111212122211221d d x f f f f f f f TRS z

f x f x f ??+-??

=

+

从而得，()

()

12112212221212121222112f f x f x f x x f f f f f f f σ+=

--。

（2）生产函数()1,2f x x 是一次齐次函数，所以1f 和2f 都是零次齐次函数，应用欧拉定理可得：11222x f x f f +=，11220i i x f x f +=。

于是：211121x f f x =-，122122

x

f f x =- 代入()

()

121122122

2121212122

211

2f f x f x f x x f f f f f f f

σ+=

--，得到：

()()()()()

()()()()

12121212112212f x f x f x f x x f x x f x f f x f x σ=

=

+

即得证。

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