数形结合思想在中学数学中的应用 本科毕业论文
学号：
数形结合思想在中学数学中的应用
学院名称：数学与信息科学学院
专业名称：数学与应用数学专业
年级班别：
姓名：
指导教师：
2012年05月
数形结合思想在中学数学中的应用
摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学
The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.
The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and numberthought in the middle school problem solving and so on.Through the analysis, comparison and induction,it showsthe combination of shapes and number thought's characteristic and advantagesin the problem solving, which in
actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and numberthought.
Keywords Number and shape The combination of number and shapesThe mathematics of the middle school
目录
摘要1
Abstract2
前言 (4)
1 数形结合思想方法概述 (4)
1.1 数形结合思想的研究背景 (4)
1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)
2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)
2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)
2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)
2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)
3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)
3.1．数形结合的途径 (6)
3.2．数形结合的原则 (7)
4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)
4.1“数”中思“形”7
4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)
4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)
4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)
4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)
4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用9
4.1.6数形结合解决最值问题 (10)
4.2“形”中觅“数”10
5 结束语 (11)
参考文献 (11)
致谢 (12)
前言
在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。
一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。在数学问题中若能“以数示形，以形思数，数形渗透”，则能加强知识的横纵联系（1）。
对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？
1 数形结合思想方法概述
1.1 数形结合思想的研究背景
数学以现实世界的数量关系和空间形式作为研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。
早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形式联系起来了（8）。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数画化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。
“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中。“数形结合”的应用大致又可以分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形过于简单，直观观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长.角度等等。“以形助数”是指
把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。
1.2数形结合思想的研究意义及作用
数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。首先，“数形结合”能更好帮助学生对所学知识的掌握与记忆。例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域.值域.单调性.奇偶性.周期性.有界性以及凹凸性等。其次，应用“数形结合”能培养学生的数学直觉思维能力。第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力。第四，应用“数形结合”有益于培养学生的创造性思维能力。
“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。在中学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。
2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位
2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合
数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分渗透数形结合思想，挖掘它的教学功能和解题功能。
2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合
数学基本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的有机组成部份。数学思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理，求解数学问题的过程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理、定理、公式、法则和解决问题的过程中，是人类宝贵的精神财富。数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴含数学思想和方法，两者的联系是辩证的统一。这就决定了在中学数学课堂教学中，数学知识的教学不能代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方法去揭示数学知识之间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要突出数学思想和方法的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，“不论做什么业务工作，
唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思想方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们终生受用。”（2）然而在课堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。忽视学生形象思维的培养。学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生“亲和感”，感到枯燥，厌恶。事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。因此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。
2.3从高考题设计背景来看数形结合
随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性发展，增加了应用题，开放题，情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种以能力立意的积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。而数形结合是中学数学中最重要、最基本的数学思想方法之一。利用数形结合设题，一方面考查学生对数学的符号语言，数学的图形语言的理解能力，语言的互补、互译、互化能力，即在数学本质上的有欲转化能力，另一方面考查学生的构图能力，以及对图形的想象能力，综合应用知识的能力；考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行“数学地思维”。因此数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就能得出正确答案。
3 数形结合思想应用的途径和原则
3.1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧。
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义（3）。如等式
4)1()2(22=-+-y x
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化（4）。例如，将a ＞0与距离互化，将a 2与面积互化，将a 2+b 2+ab=a 2+b 2－2)12060(cos ?=?=θθθ或b a 与余弦定理沟通，将a ≥b ≥c ＞0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等。这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
3.2．数形结合的原则
（1）等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析，在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单。而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
4 数形结合思想方法在中学解题中的应用
4.1“数”中思“形”
4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1 某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
解 我们用圆A 、B 、C 分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n 表示集合的元素，则有：
()()()
()()()()n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ++-?-?-?+??=
807739437593371267213
965++---+=
即：参加竞赛总人数为965人.
4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算
例2 设{}{}.,034|,016|22R I x x x B x x A =≥+-=<-=求.,,,B A B A B A B A Y I Y I
分析 分别先确定集合A ，B 的元素，{}{}13|,44|≤≥=<<-=x x x B x x A 或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：
{}4314|<≤≤<-=x x x B A 或I (公共部分)
I B A =Y (整个数轴都被覆盖) {}4314|≥<<-≤=x x x x B A 或或I (除去重合部分剩下的区域)
φ=B A Y (除去覆盖部分剩下的区域)
4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用
例3 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）
A ．
B ．6
C ．
D ．
C （化） A （数） B （理）
[解题思路]利用对称知识，将折线PMN 的长度转化为折线CNMD 的长度
[解析] 设点P 关于直线AB 的对称点为)2,4(D ，关于y 轴的对称点为)0,2(-C ，则光线所经过的路程PMN 的长=≥++=++=CD NC MN DM NP MN PM 210
本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化(9)。
4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较(5)。如： 例4 试判断3.0222,3.0log ,3.0三个数间的大小顺序．
分析 这三个数我们可以看成三个
函数x y x y x y 2,log ,32221===在3.0=x 时，
所对应的函数值．在同一坐标系内作出这
三个函数的图像(如图)，从图像可以直观
地看出当3.0=x 时，所对应的三个点
321,,P P P 的位置，从而可得出结论：3.0log 3.02223.0>>． 4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用
例5 解方程x x -=23
分析 由方程两边的表达式我们可以
联想起函数x y y x -==23与,作出这两个 N M
C D
2
1x y = 0 y x y 23= 1P 1 1 x y 22log = －1 0.3 ? ? ? 3
P 2P x 2 0 0.4 x
y y=3x 2
1 y =2-x
x 函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标
为方程的近似解，可以看出方程的近似解为4.0≈x ．
4.1.6数形结合解决最值问题
利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题（6）。
例6
已知函数cos sin 1
y θθ=+，求函数的最小值. 解
由cos sin 1θθ+的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，
即可以看成过点(sin ,cos )A θθ与点
(B -的直线的斜率．A 是动点且在圆221
x y +=上，B 为定点，作出图象，
由图可知：2,1BO AO DO ===，则30DBO OBA ∠=∠=o ，
所以圆O 的切线BC 的倾斜角为150o ，
故min tan1503
y ο==-． 4.2“形”中觅“数”
例7 设方程112+=-k x ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况． 分析 我们可把这个问题转化为确定函数121-=x y 与
12+=k y 图像交点个数的情况，因函数12+=k y 表示
平行于x 轴的所有直线，从图像可以直观看出:
①当1- ②当1-=k 时,1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解; ③当01<<-k 时,1y 与2y 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； ④当0=k 时,1y 与2y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个； ⑤当0 k 时,1y 与2y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个． 例8 已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k 的不同取值个数。 分析 作出双曲线 的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为 。 所以过（ ）点且 和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k 取 两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与 双曲线有且仅有一个公共点，此时k 取两个不同的值，故k 有四个不同取值。 在做很多题目时把图形画出来，问题自然就解决了，利用“数”与“形”的相互转化来解决几何问题，它具有直观性 、灵活性等特点。数形完美的结合，就能达到事半功倍的效果（7）。 5 结束语 数无形不直观，形无数难入微。总之，数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化(10)。另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的。因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维。在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用。 参考文献 [1]中华人民共和国教育部制定. 数学课程标准(实验)[M]. 北京: 人民教育出版社, 2003. [2]周春荔，《数学观与方法论》，首都师范大学出版社，1996年8月第一次出版. [3]张亮．数形结合的几个运用[J]．井冈山师范学院学报．2003 (05)． [4]刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用[J].各界(科技与教育),2009,(02)． [5]乔家瑞.高中数学解题方法与技巧[M] .第一版.首都师范大学出版社,1994. [6]何新艺. 数形结合在极值与极大值问题中的应用[J]. 中国校外教育, 2010, 12: 107-107. 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Appl. probab.Volume 10,Number 2 .2000， 634-663. 致谢 在论文的准备和写作过程中，笔者得到了**老师的悉心指导和热情帮助。无论是从开 始定方向，还是在查资料准备的工程中，一直都耐心的给与我指导与意见，使我在各个方 面都有了很大的提高，同时也显现出王老师崇高的精神和责任感。在此，向王老师致以崇 高的敬意和衷心地感谢。 在大学的四年里，收获了知识，收获了成熟。在此感谢数学院全体教师在我成长的道 路上给于我的影响和帮助。 *** 2012年05月于***大学 数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 班级：2013级初等教育理科1班 目录 数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与 数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形,可以使许多数学问题变得简易化。 小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。 数形的结合是双向的，一方面，抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。 如我在教学“求一个数的几倍是多少”时，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化成自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。于是我就利用书上的主题图。在第一行排出用4根小棒围出的一个正方形，再在第二行排出同样的两个正方形，第三行摆出同样的四个正方形。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：第一行与第二行比较，第一行是1个4根，第二行是2个4根；把一个4根当作一份，则第一行小棒是1份，而第二行就有两份。用数学语言：把4根小棒当作1倍，第二行小棒的根数就是第一行小棒的2倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。接着我请学生说出第三行小棒根数与第一行的关系，学生能准确的从三个4根说出了第三行是第一行的3倍。 再如六年级有这样一题：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？ 此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思 5分米，或宽增加12分米，面积都增加60平方分米，原来长方形的面积是多少平方分米？”的教学中，我引导学生根据题意画出面积图： 《数形结合思想在小学数学教学中的运用》 课题结题报告 《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》 数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。 三、课题研究内容 1、全面认识数形结合思想方法，挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，分析数形结合思想方法在数学教学中的价值和功能。 2、针对不同的教学问题，探索渗透数形结合思想方法的教学策略。 3、探索让学生更好地理解、掌握数学知识，提高数学能力的同时，也学会运用数形结合分析、解决问题的教学途径。 四、课题研究方法 浙江海洋大学 浙海大教务〔2016〕54号 浙江海洋大学教务处 关于印发《浙江海洋大学2017届本科生 毕业论文（设计）工作方案》的通知 各学院： 为了做好2017届本科生毕业论文 (设计)工作，加强毕业论文(设计)过程管理，提高毕业论文(设计)质量，现将《浙江海洋学院2017届本科生毕业论文（设计）工作方案》印发给你们，望认真组织学院师生学习，切实贯彻执行。 附件：浙江海洋学院2017届本科生毕业论文（设计）工作方案 教务处 2016年10月25日 浙江海洋大学教务处 2016年10月25日印发 附件： 浙江海洋大学 2017届本科生毕业论文（设计）工作方案 毕业论文(设计)是本科生培养计划中十分重要的综合性教学环节。为了切实做好本届本科生毕业论文(设计)工作，加强毕业论文(设计)过程管理，提高毕业论文(设计)质量，特制定本工作方案。 一、成立毕业论文（设计）工作指导小组 各学院要对毕业论文（设计）工作给予高度重视，成立2017届毕业论文（设计）工作指导小组，制定详细的实施工作计划，保障对学院本科生毕业论文(设计)工作的组织管理与过程监控。 二、毕业论文（设计）工作进度要求 （一）常规毕业论文（设计）工作进度 2017届毕业论文（设计）工作继续采用浙江省本科高校毕业论文（设计）网络平台进行，各学院专业负责人要做好新教师使用网络平台的指导工作，各指导教师和学生可登录以下网址（https://www.360docs.net/doc/941426614.html,/help/）学习系统的使用方法，各学院教学秘书、专业负责人和指导教师要充分利用网络平台开展开题评阅、答辩交叉评阅、成绩评定等工作，指导教师要充分利用网络平台进行毕业论文的过程指导和管理。我校的毕业论文管理系统网址是：https://www.360docs.net/doc/941426614.html,/，教师的用户名和初始密码是教务处正方教学管理系统所用的账号，学生的 浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如： 1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小 数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形 培养中学生解题能力的研究 摘要：本文通过以下几点讲述来对培养中学生解题能力的研究：选择典型例题，注重一题多变，培养学生思维的敏捷性；注重错题剖析，培养学生思维的深刻性；注重指导学生题后反思，总结解题规律，提升知识综合应用能力；注重训练学生规表达和书写，提高学生解题准确性。 关键词：一题多变，一题多解，错题剖析，题后反思。 本文结合数学学科特点和学生的认知规律，就如何提高学生解题能力作了 四方面的探索。 一、选择典型例题，注重一题多变，培养学生思维的敏捷性 典型例题不是那些偏题、难题、怪题，而是在问题中能融入相关概念、定理，富有启发性，通过该问题的解决，能促使学生理解知识，掌握方法，获得新见解的题。 一题多变常指通过对题中已知条件的增减，所提问题的变换来增加题中的信息量。一道题稍作变动，往往会有相同或不同答案，解题时教师要注意引导学生在变化中寻求正确的答案，从而提高学生应变能力，做到举一翻三，触类旁通。 下面列举在解题过程中常用到的四种一题多变的方法，以供参考： 例1：甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，若两人同时从一地点背向而行，几秒钟后第一次相遇？（只列方程） 解：设X秒后第一次相遇（背向） + = 400 x x 67 （一）改变题目的关键语句 改变题目的关键语句往往会改变所求的答案，如通过下面的变式，能使学生巩固方程的特点，以及时间、路程、和速度的关系。 例2：甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，若两人同时从一地点同向而行，几秒钟后第一次相遇？（只列方程） 解：设X秒后第一次相遇（同向） =+ 400 76 x x （二）对换题目中的问题和条 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/941426614.html, 小学数学与数形结合思想 作者：郭莉莉 来源：《教育·综合视线》2020年第01期 在小学数学学习过程中，有些学生对教材中的许多数学概念往往缺乏直观的理解，无法对抽象的概念建立具体化、形象化模型，从而造成难以正确掌握和理解教材知识内容，对数学知识运用不系统、不灵活的现象。针对这种情况，教师可以采用数形结合的教学方式，把教材中的数学概念以图形的形式表现出来，让学生能够直观地理解数学概念的含义，在思维中能够建立数学概念的关联对象。这样，不仅能够提高课堂教学效率，还能培养学生的数学思维能力。 有助于理解抽象概念 小学阶段数学知识的学习是为高年级数学学习打基础的，这个阶段的学习重点是数学知识概念的正确理解和掌握。如果这些概念的本质没有弄清楚，只知其一不知其二，知其然不知其所以然，那么后面数学知识的拓展和应用就会受到限制。实际上，小学数学教材中有很多数学概念是比较抽象的，学生在学习过程中对这些概念的理解上往往有一定的困难。因此，教师首先需要把教材中的知识点分类整理，找出那些比较抽象的概念，了解哪些概念是学生不容易理解和掌握的。然后，在讲解这些概念时，采用数形结合的方式，把复杂的问题简单化，让学生能够真正理解概念的本质意义，增加对学习数学知识的兴趣。 以苏教版小学数学三年级教材中“分数的认识”为例，对于分数的概念，小学生从字面意思上理解是有一定难度的。对此，教师可以采用数形结合的方式来讲解这个知识点：将一个圆形平均分成10份，在每一份上标记数字分别编号为1到10，那么这个圆就是由10份标有数字的部分组成;其中，10份图形整体就叫作分母，每一份或者几份标数字的图形叫作分子;从这个演示图形中可以看出，分数的本质就是分子数量占分母数量的比例。通过数形结合，引导学生通过观察图形之间的关系，关联教材知识点内容，建立图形化思维，主动思考概念的本质，能够加深对相关知识点的理解。 有助于培养数学思维 小学数学学习不仅需要掌握数字计算技能，还需要具备数学思维能力。数学思维能力是指能够运用学到的数学知识，把实际问题转变为数学问题的能力。也就是说，根据已知问题信息，建立对应的数学知识模型，运用相关数学知识和方法解决问题。教师在授课过程中要着重培养学生的数学思维能力，多与学生互动，多提出问题让学生主动思考，拓展学生的数学思维。 以植树节班级组织学生去植树的应用题为例：某个班参加种植树木的人数占班里总人数的3/4，还有5名学生负责给栽好的树木浇水，班级一共有多少名学生？这道题贴近现实生活， 本科生毕业论文（设计） 过程管理手册 学院 _____机器人工程学院___ ____ _ 专业 _____机器人应用与技术 __ ___ ___ 论文题目基于微操作控制原理的助力机械手提升系统_ 学生姓名 __ 聂昌权_ __学号 __1401080475 _ 指导教师1___阎庆____ _职称/学位_讲师/硕士______ 安徽三联学院教务处制 说明 1.请先认真阅读《安徽三联学院本科毕业论文（设计）工作规程》，严格执行文件中规定的相关要求。 2.在填写本手册时，学生应清楚自己完成的是论文还是设计，然后填写对应部分内容。填写前应先打草稿，手册中所需填写的内容，必须填写完整、规范。 3.本手册作为毕业论文（设计)工作检查的主要依据，所有签字（印）必须齐全。 4.本手册在毕业论文（设计）完成后，与论文（设计）一起交给指导老师，作为论文评阅和毕业答辩的主要档案材料，由各学院保存至学生毕业后四年。 5.若有双导师，请在封面填写指导教师2的相关信息。 目录 1.安徽三联学院本科毕业论文（设计）选题审批表 2.安徽三联学院本科毕业论文（设计）任务书 3.安徽三联学院本科毕业论文（设计）开题报告 4.安徽三联学院本科毕业论文（设计）指导过程记录 5.安徽三联学院本科毕业论文（设计）指导教师评阅意见表 6.安徽三联学院本科毕业论文（设计）同行评阅人评阅意见表 7.安徽三联学院本科毕业论文（设计）答辩记录与成绩评定表 安徽三联学院本科毕业论文（设计）选题审批表 □生产实践□科研项目自拟 □理论研究应用研究□生产实践□调查研究□设计类研究□其他 安徽三联学院本科毕业论文（设计）任务书 数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展 浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。 关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景 纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。 数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化 繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义 伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义 数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。 数学毕业（学位）论文题目汇总 一、数学理论 1.试论导函数、原函数的一些性质。 2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3.数学中一些有用的不等式及推广。 4.函数的概念及推广。 5.构造函数证明问题的妙想。 6.对指数函数的认识。 7.泰勒公式及其在解题中的应用。 8.导数的作用。 9.Hilbert空间的一些性质。 10.Banach空间的一些性质。 11.线性空间上的距离的讨论及推广。 12.凸集与不动点定理。 13.Hilbert空间的同构。 14.最佳逼近问题。 15.线性函数的概念及推广。 16.一类椭圆型方程的解。 17.泛函分析中的不变子空间。 18.线性赋范空间上的模等价。 19.范数的概念及性质。 20.正交与正交基的概念。 21.压缩映像原理及其应用。 22.隐函数存在定理的再证明。 23.线性空间的等距同构。 24.列紧集的概念及相关推广。 25.Lebesgue控制收敛定理及应用。 26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27.重积分与累次积分的关系。 28.可积函数与连续函数的关系。 29.有界变差函数的概念及其相关概念。 30.绝对连续函数的性质。 31.Lebesgue测度的相关概念。 32.可测函数与连续函数的关系。 33.可测函数的定义及其性质。 34.分部积分公式的推广。 35.Fatou引理的重要作用。 36.不定积分的微分的计算。 37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38.Schwartz不等式及推广。 39.阶梯函数的概念及其作用。 40.Fourier级数及推广。 41.完全正交系的概念及其作用。 42.Banach空间与Hilbert空间的关系。 43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦的性质 51.用射影的观点指导中学初等几何内容 52.用近代公理分析中学几何中的公理系统 53.球上Hardy空间上的加权复合算子 54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子 55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子 56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子 57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 59.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 60.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 62.试述函数在数学中的地位和作用。 63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 64. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 65.论在数学教学中培养学生的创新精神。 66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用 67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。 68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 69.数学知识的分类及其教学策略 70.数学知识的分类测量与评价 71.关于导函数性态的讨论与研究 72.泰勒公式及其应用 73.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 74.随机变量函数的分布密度及其求法 75.用微积分理论证明不等式的方法 76.数学分析中的化归法 77.微积分与辩证法 78.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 79.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 80.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 81.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 82.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 初中数学中的数形结合思想 “数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合. 一、以数助形 例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长. 这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5. 这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2. 例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值. 分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来 确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标. 设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m）， 则OA=4，OB=|m|. 如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8， 所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）. 由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′. 设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）. 把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12. 因为开口向下，所以，a=12不符合题意. 故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12， 所以当x=3时，y最大=12. 二、以形助数 例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值. 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角 形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中 浅谈数形结合思想在小学数学中的应用 摘要 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题, 利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形, 可以使抽象问题具体化,可以使复杂问题简单化。 关键词 数形结合、思想、应用 一、小学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学 从人类发展的历史来看，具体形象的事物是出现在抽象的符号、文字之前的，人类一开始用小石子，贝壳记下所发生的事情，慢慢的发展成为用形象的符号记事，后来出现了数字。这个过程和小学生学习数学过程有着很大的相似之处。低年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始识数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。这方面的例子有有很多，如低年级开始学习识数、学习找规律、学习乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出来。 此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息内容；发现图形与数学知识之间的联系，并乐于用图形来表达数学关系。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力和逻辑思维能力。 要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并且学生会解题了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，这是一种片面的观点。平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种图像特点，理解和把握各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体实际情况，多角度多方面的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观了解“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来协调知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的逻辑思维能力，并提高学生的理解能力和运用水平。 二、利用图形的直观，帮助学生理解数量之间的关系，提高学习效率 用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。 “数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显其最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 例如：1、小学高年级中所学的，运用分数乘法、除法解决问题。引用人教版小学六年级上册数学书，第二章分数乘法，第二节解决问题，第20页，第二题。 自考本科生撰写毕业论文，一般要经历下列几个过程：1、资格审定； 2、交费并指定指导教师； 3、听论文讲座； 4、考生撰写论文提纲并接受指导教师指导； 5、论文答辩。交费并指定指导教师 考生在通过资格审定后要在规定时间(通常一周左右)到主考院校办理交费手续。主考院校在收取相关费用后，将依据考生事先申报的选题方向，为考生指定指导教师，并告知考生指导教师的具体联系方式。在与指导教师联系前，考生应结合选题尽可能多地搜集有关资料，通过归纳、消化初步形成论文写作的思路，以便于师生间的沟通、交流，使指导教师能有的放矢地加以指导。 论文讲座 什么叫论文？怎样选题？怎样收集材料、提炼观点？怎样结构文章？这些都是考生在论文写作前普遍感到困惑并将影响论文写作质量的关键问题。论文讲座的目的就是帮助考生理清思路，解除困惑，并终顺利完成论文。因此，这也是考生必须认真对待的重要环节。论文讲座的时间通常安排在交费前后，由高校相同或相关专业的教师主讲。 考生撰写论文提纲并接受教师的指导 在与指导教师见面后，考生将根据指导教师的要求，对已有的写作思路进行丰富或修正，并形成论文写作提纲。对于写作者来说，提纲质量的高低，直接关系到论文写作的成效。毫不夸张地说，写好了论文提纲，也就等于完成了论文写作任务的一半。这里需要提醒考生的是，论文的正式写作应在提纲得到指导教师的认可后方可展开；论 文从提纲到成稿，一般要经历多次反复。考生应虚心接受导师的指导，认真地对自己的论文进行修改和完善。 答辩 论文在正式定稿后，考生将进入论文写作的后一个环节—答辩。答辩前，考生应将定稿后的论文按要求打印若干份交给有关教师，以备答辩之需。 论文答辩通常在5月底或11月底前进行(具体安排由各主考院校确定)。论文答辩的程序基本由三项组成：考生简要地阐述论文的写作动机、内容梗概和基本的观点；答辩小组成员就考生论文内容进行提问；如果答辩小组认为必要，还会对涉及论文的专业范围内的其他问题加以提问。这些提问都需要考生认真加以回答，并会影响到考生的论文成绩。 关于论文写作周期与考核方式的说明 对于大多数专业而言，从资格审定到论文答辩结束，前后不过5个月左右。但也有例外，如计算机及应用、建筑工程等专业，其毕业设计周期为一年。 此外，与多数专业的毕业考核方式不同，英语专业采用的不是论文写作答辩的方式，而是分英语国家文学、英美社会文化、翻译三个方面采用现场笔试的方式进行考核。 初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有：数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。 1. 数形结合的思想和方法 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： （1）、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 （2）、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 （3）、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 （4）、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 （5）、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 （6）、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。（7）、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。（8）、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。 ①由数思形，数形结合，用形解决数的问题。 例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形，巩固“具有相反意义的量”的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。实际上，对学生来说，也只有通过数形结合，才能较好地完成本章的学习任务。另外，《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图，常常会给解决问题带来思路。第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”，利用图形来展示数据，很直观明了。 ②由形思数，数形结合，用形解决数的问题。例如第四章的《平面图形及其位置关系》中，用数量表示线段的长度，用数量表示角的度数，利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何 数形结合在小学数学中的应用 数形结合在小学数学中的应用 【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。 【关键词】数形结合思想，数学应用 【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。 数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质， 本科生毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用 学号： 0707140154 姓名：汪洋 专业：数学与应用数学 年级：07级一班 系别：数学系 完成日期：2010年10月 指导教师： 浅谈数形结合思想在教学中的应用 汪洋 （合肥师范学院数学系） 摘要 数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。 关键词:数形结合思想；直观；数学教学；应用 Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching application Wang yang （Department of Mathematics, Hefei Normal University） ABSTRACT Counts the shape union is unifying the question stoichiometric relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has communicated the algebra, the triangle and the geometry inner link. On one hand, with the aid in the graph nature may make many abstract mathematics concepts and the stoichiometric relation visualization and simplification, for the human by the intuition enlightenment. On the other hand, transforming the graph question as the algebra question, obtains the precise conclusion. Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students' problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”. Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application 目录 一、前言 (3) 二、正文 (3)数形结合思想在小学数学中的应用完整版
数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用
《数形结合思想在小学数学教学中的运用》结题报告
2017届本科生毕业论文替代说明
初中数学中的数形结合思想
数形结合思想
中学数学毕业论文
小学数学与数形结合思想
本科毕业论文过程管理手册模板
数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老
浅谈数形结合思想的应用
数学(本科)毕业论文题目汇总
初中数学中的数形结合思想
浅谈数形结合思想在小学数学中的应用
河南省自考考试本科专业撰写毕业论文流程
数学中数形结合思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想
数形结合在小学数学中的应用
浅谈数形结合思想在教学中的应用