高中数学会考精彩试题
兴仁县民族中学高二数学测试卷 班级: :
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则
=)(B C A U （ ）
A ．{}2,4,6,8
B ．{}1,3,7
C ．{}4,8
D ．{}2,6 2
0y -=的倾斜角为（ ） A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
3
．函数y ）
A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．()1,+∞
D ．[)1,+∞
4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ）
A ．14、12
B ．13、12
C ．14、13
D ．12、14
5．在边长为1的正方形ABCD 随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ）
A ．
4π B ．14π- C ．8π D ．18
π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B
C ．2
D ．3
图1
7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ） A ．2
12cm π B. 2
15cm π C. 224cm π
D. 236cm π
8．若23x <<，12x
P ??
= ???
，2log Q x =，R x =，
则P ，Q ，R 的大小关系是（ ）
A ．Q P R <<
B ．Q R P <<
C ．P R Q <<
D ．P Q R << 9．已知函数()2sin()f x x ω?=+0,2πω???>< ???
的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是（ ）
A ．10()2sin 11
6f x x π??=+ ?
??
B ．10()2sin 11
6f x x π??=- ???
C ．()2sin 26f x x π??=+ ?
?? D ．()2sin 26f x x π??=- ??
? 10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）
A ．
378 B ．34
C ．74
D ．1
8 11.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 ( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．9 12.函数x
e x
f x
1
)(-
=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)2
3,1( D ．)2,23(
6
5
主视图
6
5
侧视图
俯视图
图2
1 O
x
y 1112
π
图3
否
是
开始 ()()h x f x = ()()
f x
g x >输
出
输入x
()()h x g x =
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ． 14．如图4，函数()2x f x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，
则输出的()h x 的值为 .
15．设不等式组0,02036x y x y x y -+-??
-+???
≤≥≥，
表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D
上的点，则k 的取值围是 ．
16．若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间
为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．
（1）求角B 的大小；（2）若(
)sin A B +=sin A 的值．
18．（本小题满分12分）
某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x ，y 的值；（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率．
19．（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥
平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：//PB 平面ACE ；（2）若四面体E ACD -的体积为2
3
，求AB 的长．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2
n S n =．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列n n b a ??
????
的前n 项和．
21.（本小题满分12分）
直线y kx b =+与圆2
2
4x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐
标原点）．
（1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，数k 的值．
22.（本小题满分12分）
已知函数()2
13f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，数a 的取值围．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
13．()2
2
225x y ++=（或2
2
4210x y y ++-=） 14．9
15．()0,+∞（或[)0,+∞） 16．122??????
，
三、解答题
17．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．
解：（1）在△ABC 中，A B C π++=，
由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+． 解得3
B π
=
．
（2）方法1：由()sin 2A B +=，即()sin 2C π-=，得sin 2
C =． 所以4
C π
=
或34
C π
=
． 由（1）知3
B π
=
，所以4
C π
=
，即512
A π=
． 所以5sin sin sin 1246A πππ??==+ ???
sin
cos
cos
sin
4
6
4
6
π
π
π
π
=+
12222=
+?
4
=
．
方法2：因为A ，B 是△ABC 的角，且()sin 2
A B +=
， 所以4A B π
+=
或34A B π+=
．
由（1）知3B π=，所以34A B π+=，即512
A π
=．
以下同方法1．
方法3：由（1）知3
B π
=
，所以sin 3A π?
?
+
= ?
?
?．
即sin cos
cos sin
3
3
2
A A π
π
+=
．
即
1sin 222
A A +=．
sin A A =
．
即2
2
3cos 2sin A A A =-+． 因为2
2
cos 1sin A A =-，
所以()
2231sin 2sin A A A -=-+．
即2
4sin 10A A --=．解得sin A =． 因为角A 是△ABC 的角，所以sin 0A >．
故sin A =
18．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． 解：（1）由题意可得，
3243648
x y
==
， 解得2x =，4y =．
（2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，
3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，
()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()
23,b b 共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，
()13,b b ，()23,b b 共3种．
所以()310
P X =
． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310
．
19．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理
论证能力和运算求解能力．满分14分．
（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 因为ABCD 是正方形，所以点O 是BD 的中点． 因为点E 是PD 的中点， 所以EO 是△DPB 的中位线． 所以PB
EO ．
因为EO ?平面ACE ，PB ?平面ACE ， 所以PB
平面ACE ．
（2）解：取AD 的中点H ，连接EH ，
因为点E 是PD 的中点，所以EH PA ．
因为PA ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则PA AD CD x ===，且11
22
EH PA x =
=． 所以1
3E ACD ACD V S EH -?=? 11
32AD CD EH =????
31112
62123
x x x x ===．
解得2x =． 故AB 的长为2．
20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满
分14分．
解：（1）因为数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=． 因为数列{}n b 的前n 项和2
n S n =．
所以当2n ≥时，1n n n b S S -=-()2
2
121n n n =--=-，
当1n =时，111211b S ===?-， 所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-． （2）由（1）可知，
1212
n n n b n a --=． 设数列n n b a ??
?
???
的前n 项和为n T ， 则 213572321
124822
n n n n n T ----=+
+++++， ① 即 111357232122481622
n n n n n T ---=++++++， ②
①－②，得2
1111121
112248
22n n n
n T --=++
++++
-
1
1121
211212
n n
n -??- ?-??=+
-
- 23
32n
n +=-， 所以1
23
62
n n n T -+=-． 故数列n n b a ??????
的前n 项和为1
23
62n n -+-．
21．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）当0k =时，直线方程为y b =，
设点A 的坐标为
1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，， 由2
2
4x b +=，解得12x =， 所以2
1AB x x =-= 所以1
2
S AB b =
=
22422
b b +-=≤．
当且仅当b =
，即b =
S 取得最大值2．
（2）设圆心O 到直线2y kx =+的距离为
d
，则d =
因为圆的半径为2R =， 所以
2AB
===． 于是241121k S AB d k
=
?===+，
即
2
410k k -+
=，解得2
k =．
故实数k
的值为2+2-，2-+2-
22．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨
论的数学思想方法．满分14分．
解法1：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．
当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根， 令()14130a a ?=--+=，解得16a =-或12
a =． 当1
6
a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点． 当1
2
a =
时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点． ②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根， 令()()()114420f f a a -=-≤，解得102
a <≤
． ③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则
()()???????????≥≥<-<->++-=?>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()????
??
?????≤≤<-<->++-=?<.
01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈?．
综上可知，实数a 的取值围为10,2
??????
．
解法2：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．
当0a ≠时，()2
13f x ax x a =+-+在区间[]1,1-上有零点?(
)
2
31x a x +=-在区
间[]1,1-上有解?213x
a x -=
+在区间[]1,1-上有解． 问题转化为求函数213
x
y x -=+在区间[]1,1-上的值域．
设1t x =-，由[]1,1x ∈-，得[]0,2t ∈．且()
2
013
t
y t =≥-+．
而()
2
1
413
2t
y t t t
=
=
-++-． 设()4
g t t t
=+
，可以证明当(]0,2t ∈时，()g t 单调递减． 事实上，设1202t t <<≤， 则()()()()121212121212
444t t t t g t g t t t t t t t --????-=+
-+= ? ??
???， 由1202t t <<≤，得120t t -<，1204t t <<，即()()120g t g t ->． 所以()g t 在(]0,2t ∈上单调递减． 故()()24g t g ≥=． 所以()1122
y g t =
≤-．
故实数a 的取值围为10,2
??????
．
2015-2016学年上期高中数学必修综合测试题
一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设{}{}
==+==-=B A x x x B x x x A 则,0|,0|22 （ ）
（A ）0
（B ）{0}
（C ）Φ
（D ）{－1，0，1}
2. 一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是 （ ）
A. 3
B. 30
C. 10
D. 300
3. 若S n 是数列{a n }的前n 项和，且{}n n a n S 则,2
=是 （ ）
（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列 （D ）既非等比数列又非等差数列
4. 过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 （ ） （A ）()4)1(322=+++y x （B ）()4)1-(322=++y x （C ）()4)1-(1-22=+y x （D ）()4)1(122=+++y x
5. 若定义在区间（-1，0）的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2 +=的取值围是 （ ）
（A ）??
? ??210，
（B ） ?
??
??210，
（C ）??
? ??∞+，
2
1 （D ）()∞+，0
6. 若向量a=（3，2），b=（0，－1），c=（－1，2），则向量2b －a 的坐标是 （ ）
（A ）（3，-4）
（B ）（-3，4）
（C ）（3，4）
（D ）（-3，-4）
7. 设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为01=+-y x ，
则直线PB 的方程是 （ ）
（A ）05-=+y x （B ）01-2=-y x （C ）042=--x y （D ）07-2=+y x 8. 若则，,cos sin ,cos sin 4
0b a =+=+ββααπ
βα
（ ）
（A ）b a （B ）b a （C ）1 ab （D ）2 ab
9. 《中华人民国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：
不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分
15% …
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 （ ）
（A ）800～900元 （B ）900～1200元 （C ）1200～1500元 （D ）1500～2800元
10. 若1>>b a ，)2
lg(),lg (lg 21,lg .lg b
a R
b a Q b a P +=+==
则（ ）
（A ）R
11.等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ?-?+?等于 A ．
32 B ．32- C ．12 D ．1
2
- ．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为
A ．6 3
B ．8
C ．8
3 D ．12
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 11. 若)(1
x f
-为函数)1lg()(+=x x f 的反函数，则)(1x f -的值域是 。
12.α
ααcos )30sin()30sin(
--+ 的值为 。
13. 设函数)(x f 在()∞+∞，-有定义，下列函数
()()x f y -=1； ()()22x xf y = ； ()()x f y --=3； ()()()x f x f y --=4
中必为奇函数的有 （要求填写正确答案的序号）
14.用冒泡法对18，15，3，9，19，8按从小到大的顺序进行排序，第三趟的结果为 三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分10分）在ABC ?中，a ，b ，c 分别是C B A ∠∠∠,,的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且bc ac c a -=-2
2
，求∠A 的大小及
c
B
b sin 的值。
16. （本小题12分）在等比数列{}n a 中，已知64,245356==-a a a a ，求{}n a 前8项的和8S 。
17. （本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —
A 1
B 1
C 1
D 1.AB=1，AA 1=2，点
E 为CC 1中点，点P 为BD 1中点.
（Ⅰ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；
（Ⅱ）求点D 1到面BDE 的距离。
E
D 1
B 1
A 1
C 1
B
D C
A
F
M
18. （本小题满分12分）
已知：a 、b 、c 是同一平面的三个向量，其中a =（1，2） （Ⅰ）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （Ⅱ）若|b |=,2
5
且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ.
19. （本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全
部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。 （I ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式； （错误!未找到引用源。）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
20. （本小题满分12分）已知圆C ：012642
2
=+--+y x y x ，求：
（Ⅰ）过点A （3，5）的圆的切线方程； （Ⅱ）在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程。
高中数学必修1～必修5综合测试（11中）
（答案）
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。