2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题及答案
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛
解答与评分标准
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、分式
)0(≠++xyz z
y x xyz
中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的
（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．
（A ）
2b a + （B ） 2
n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bn
am ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a
答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。 4、ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。若
60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）
（A ）
40 （B ）
60 （C ）
80 （D ）
100
答：作C 关于AD 的对称点C ’。因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又
120180=∠-=∠+∠A C B ，故
40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ?的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
答
：
设
x
S A
D
O
=?。由
2:1:::===??C D O A D O S S OC AO BC AD ，故x S C D O
2=?，同理x S ABO 2=?，x S CBO 4=?，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的
关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。
第5题
第4题
A 10厘米
B 13.5厘米
C 14厘米
D 14.5厘米
答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y ）与称重（x ）的关系是x y +=5.3，故弹簧最长为13.5厘米，选B 。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、已知1
31,1
31-=
+=
b a ，则722++b a 的值为 .
答：由题设有：4
3
24,432422
+=
-=
b a ，则3722=++b a 。 2、已知在ABC ?中，
90=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1:2:=DC BD ，则B ∠的度数是 。
答：因为AD 是角平分线，所以1:2::==AC AB DC BD ，故
30=∠B 。
３、在ABC ?中，
80=∠A ，I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则B I C
∠的度数为 ．
答：由题知
1
90)180(21180)2121(180+=∠--=∠+∠-=∠A C B BIC 。
４、设函数)0(>=k kx y 与x
y 1
=
的图像相交于A 、C ，过A 作x 轴的垂线相交于B ，则ABC ?的面积是 。
答：由题得
B
的坐标为),1(
k k
，所以
2
1121=??=?k k S ABO
，又显然O 为AC 的中点，故12==??ABO ABC S S 。
三、（本大题满分20分）
设t x tx +=-22是关于x 的方程。当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t 的取值范围。
解：方程整理为t x t +=-2)2( 当2≠t 时，方程的解为：2
2-+=
t t
x …………………5分 第2题
第4题
（1）当0>x 时，则
022>-+t t
，此时，2-
022=-+t t
，此时，2-=t ； …………………15分 （3）当0 02 2<-+t t ，此时，22<<-t 。 …………………20分 四、(本大题满分25分) 在平面直角坐标系中，A （2,0），B （3,0），P 是直线x y =上的点，当PB PA +最小时，试求P 点的坐标。 解：如图，作A 关于直线x y =的对称点A ’，则'PA PA =，故 PB PA PB PA +=+'。 …………………5分 由图知，只有当A 、P 、B 共线时，PB PA +最小。 ……10分 又由A 与A ’关于x y =对称知，A ’（0,2）。 ………………15分 由'A 、B 两点坐标得AB 直线方程：12 3=+y x 。 ………20分 联立?? ???==+x y y x 1 23解得56==y x ， 故当PB PA +最小时，P 的坐标为)5 6,56(。…………………25分 五、（本大题满分25分） 求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。 设BD 、CE 是ABC ?的两条中线（如图），证明AC AB =。……5分 证明1 作中线AF ，则三条中线交于重心G 。 ……10分 因为BD BG 32=，CE CG 3 2 =，所以CG BG =； ………15分 所以BC GF ⊥，即BC AF ⊥。 ………20分 又AF 是中线，故AC AB =。 ……………25分 证明2： 如图，将EC 沿ED 平移得DF ，连接ED 、CF ，则四边形EDFC 是平行四边形，所以DF EC BD ==. …………10分 又D 、E 分别AC 、AB 的中点，所以DE 平行BC ，所以B 、C 、F 共线。 所以 E C B D F B D B F ∠=∠=∠ ………15分 又 BD =CE ，BC =CB 所以)(SAS DBC ECB ??? ………20分 所以ACB ABC ∠=∠，故AB=AC 。 ……………25分