椭圆及其标准方程同步测试题
2.2.1 椭圆及其标准方程
学校:___________：___________班级：___________考号：___________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题
1．椭圆22
125169
x y +=的焦点坐标是（ ） A.()5,0± B.()05±， C.()012±， D.()12,0±
2．已知椭圆()22
2
1025x y m m +=>的左焦点为()14,0F -，则m =（ ） A ．3 B ．4 C ．9 D ．2
3．如果方程22
143
x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值围是( ) A ．34m << B ．72m >
C ．732m <<
D ．742m << 4．椭圆()2200mx ny mn m n ++=<<的焦点坐标是( )
A ．(0, B. ()
C.(0,
D. ()
5．椭圆2
214
x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，P 为一个交点，则2PF 等于 （ ）
A ．2
B ．72
D ．4 6．已知△ABC 的周长为20，且顶点()0,4B -，()0,4C ，
则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．()22103620x y x +=≠ B ．()22102036
x y x +=≠ C ．()2210620x y x +=≠ D ．()22
10206
x y x +=≠
7．椭圆22
1259
x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知12PF PF ⊥，则△12F PF 的面积为（ ）
A ．9
B ．12
C ．10
D ．8
8．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，()1220F F c c =>．若点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=?，则点P 到x 轴的距离为 （ ） A.2
b a B.
2b c C.2c a D.2c b
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
9．椭圆22
143
x y +=上一点P 到它的一个焦点的距离等于2，那么点P 到另一个焦点的距离等于 .
10．椭圆22
18127
x y +=的两焦点为12,F F ，一直线过1F 交椭圆于P 、Q ，则△2PQF 的周长为 ．
11．已知椭圆22
:194
x y C +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=_______．
评卷人
得分 三、解答题
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是()0,5，()0,5-，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；
(2)焦点在坐标轴上，且经过()3,2A -和()23,1B -两点．
13．如图所示，已知圆A ：()223100x y ++=，圆A 一定点()3,0B ，动圆P 过B 点
且与圆A 切，设动圆P 的半径为r ，求圆心P 的轨迹方程．
14．设(),P x y 是椭圆22
12516
x y +=上的点且P 的纵坐标0y ≠，点()5,0A -、()5,0B ，试判断PA PB k k ?是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
参考答案
1．C 【解析】在椭圆22125169x y +=中，13,5a b ==，因此12c =，而椭圆22
125169
x y +=的焦点在y 轴上，因此焦点坐标为()012±，.
考点：椭圆的焦点坐标.
2．A 【解析】∵椭圆()22
21025x y m m
+=>的左焦点为()14,0F -，∴22516m -=，∵0m >，∴3m =，故选A ．
考点：根据椭圆的标准方程求参数．
3．D 【解析】由椭圆方程可知7340,42
m m m ->->∴
<<. 考点：根据椭圆的标准方程求参数围.
4．C 【解析】化为标准方程是22
1x y n m
+=--，∵0m n <<，∴0n m <-<-.
∴焦点在y 轴上，且c ==故选C.
考点：椭圆的焦点坐标.
5．C
【解析】由椭圆2
214x y +=可得椭圆的焦点坐标为()，设F 1点的坐标为()
，
所以点P 的坐标为12?
?± ???，所以112
PF =．根据椭圆的定义可得1224PF PF a +==，所以27.2
PF = 考点：椭圆的定义.
6．B
【解析】由△ABC 的周长为20，且顶点()0,4B -，()0,4C ，可得12AB AC BC +=>，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中212,28,6,4,a c a c ==∴==
2
361620,b ∴=-=方程为22
12036x y +=.因为三点,,A B C 构成三角形，三点不能共线，所
以0x ≠，故轨迹方程为()22
102036
x y x +=≠. 考点：椭圆的定义及标准方程.
7．A 【解析】由椭圆定义知1210PF PF +=，又因
12PF PF ⊥，所以 ()22
12425964PF PF +=?-=，从而得1218PF PF ?=， 所以△12F PF 的面积为9，故选A.
考点：椭圆的定义，焦点三角形.
8．B 【解析】由题意知122PF PF a +=，又∵
1290F PF ∠=?，∴2221212PF PF F F +=， ∴()()22221212
1224PF PF PF PF PF PF b ?=+-+=，设点P 到x 轴的距离为d ，则1212PF PF F F d =，故222b cd =，故2
.b d c
= 考点：椭圆的定义.
9．2
【解析】由椭圆的方程可知24a =，2a ∴=.由椭圆的定义可得点P 到另一个焦点的距离等于22422a -=-=.
考点：椭圆的定义.
10．36
【解析】由椭圆的方程可知9a =，由椭圆的定义可知：△2PQF 的周长为4a ． ∴△2PQF 的周长为36．
考点：椭圆的定义．
11．12
【解析】设MN 的中点为D ，椭圆C 的左，右焦点分别为12,F F ，如图所示，连接12,DF DF ，因为1F 是MA 的中点，D 是MN 的中点，所以1F D 是△MAN 的中位线，所以112DF AN =，同理，212
DF BN =，所以()122AN BN DF DF +=+，因为D 在椭圆C 上，所以根据椭圆的定义，可得1226DF DF a +==，所以12AN BN +=．
【考点】椭圆的定义及标准方程．
12．(1)221169144y x += (2)22
1155x y += 【解析】(1)∵焦点在y 轴上，∴设其标准方程为()22
2210y x a b a b
+=>>． ∵226a =,210c =，∴13a =，5c =.∴222
144b a c =-=. ∴所求椭圆方程为22
1169144
y x +=. (2)解法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b +=>>， 将)3,2A -和()
23,1B -代入标准方程解得2215,5a b ==. ∴所求椭圆的标准方程为22
1155
x y +=. ②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为()22
2210y x a b a b
+=>>. 将)3,2A -和()
23,1B -代入标准方程解得225,15a b ==. a b <，不合题意，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为22
1155
x y +=. 解法二：设所求椭圆方程为22
1Ax By +=00A B >>（，且)A B ≠， 依题意，得341121,A B A B +=??+=?， 解得1151,5A B ?=????=??
，
∴所求椭圆的标准方程为22
1155
x y +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程.
13．22
12516
x y += 【解析】由题意知PB r =，∵圆P 与圆A 切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距10PA r =-，即106PA PB AB +=>=， ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．
∴210a =,26c AB ==.∴5a =，3c =.∴222
259=16b a c =-=-， 即点P 的轨迹方程为22
12516
x y +=. 考点：轨迹方程.
14．1625
- 【解析】∵点P 在椭圆2212516x y +=上，∴22
225161162525x x y ??-=?-=? ???
.① ∵点P 的纵坐标0y ≠，∴5x ≠±.∴5
PA y k x =+，5PB y k x =-. ∴225525
PA PB y y y k k x x x ?=?=+--②，将①代入②得： 22251616252525PA PB x k k x -??==--.∴PA PB k k ?为定值，这个定值是1625-. 考点：椭圆定义的应用.
椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)
2.2.1椭圆及其标准方程（1） 教学目标: 重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程. 难点：椭圆标准方程的建立和推导． 知识点：椭圆定义及标准方程. 能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏 数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法. 教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义； 2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法. 考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题 易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错. 拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程. 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 【创设情景】 材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.
材料2：2012年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片． 【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？ 【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导: 按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件） 思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？ 1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ 学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律： 当1212||||||MF MF F F +> 时, M 点的轨迹为椭圆；
椭圆及其标准方程基础练习
椭圆及其标准方程基础练习 一、选择题： 1.方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是 （ ） A. 1162522=+y x B. 121 252 2=+y x C. 14 252 2=+y x D. 121 252 2=+x y 2.若点P 到两定点F 1（-4，0），F 2（4，0）的距离和是8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不能确定 3.下列说法正确的个数是 （ ） ①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆③方程 122222=-+c a y c x （a>c>0）表示焦点在x 轴上的椭圆④方程122 22=+b x a y （a>0,b>0)表示焦点在y 轴上的椭圆 A ．1 4.椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ） 或3 5.若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点是（0，-4），则k 的值为 （ ） A.321 C. 8 1 6.过点（3，-2）且与14 92 2=+y x 有相同焦点的椭圆是 （ ） A. 1101522=+y x B. 11002252 2=+y x C. 115 102 2=+y x D. 1225 1002 2=+y x 7.α)2 ,0(π ∈，方程sin αx 2+cos αy 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆则α的取 值范围为 （ ） A.（0，4π） B.（0，2π] C.（4π，2π] D.[ 4π ，2 π ) 8.椭圆ax 2+by 2+ab=0（a 《椭圆及其标准方程》评课稿 椭圆及其标准方程，本节课选自人教版高中数学教材第二册（上）第八章圆锥曲线方程第一节（两课时）第一课时。纵观这节课的教学过程，有以下几个特点： 1、创设问题情景激发学习兴趣 在教学过程中，使学生体验数学的意义，经历数学知识的形成与应用过程。从实例中激发兴趣。新教材的一个特点是数学问题的生活化。在本节课的教学过程中，教师从生活中的实例：一些天体运行轨道，油罐车的截面，镜子等，使学生头脑中初步形成椭圆的形象，较好的体现了数学来源于生活、应用于生活的本质。 2、探究有效的学习过程，挖掘学生的学习潜能 《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学教学过程是学生在教师的组织和引导下，进行积极主动参与学习的过程，其核心是调动全体学生积极主动地参与到学习的全过程。它不仅仅是一个认识过程，更重要的是让学生参与实践操作活动，亲自体验数学知识，主动获取知识的过程，同时也有助于提高学生的学习兴趣，激发求知欲。勇老师在引导学生探究椭圆定义产生过程，让学生动手实验。教师充分为学生创设操作和实践的机会，让学生在实验的过程中，体验定义产生过程。 3、营造探究氛围引导合作交流 教师在课堂上努力营造学生自主探究和合作交流的氛围，有意识的给学生创造一个探究问题的平台。课程改革的目的之一就是促进学生学习方式的转化，加强主体性和探究性。本节课上通过师生共同探讨椭圆图形的画法及其标准方程的推倒，让学生体会椭圆的形成过程，图形的对称性，方程的推导中不同的建系方式以及不同结果的比较。体现了自主学习与合作学习的协调发展，极大发挥了学生的想象力，学生通过充分探讨提出了不同的答案，享受成功的喜悦。 4、巩固基础知识训练基本技能 在问题解决的过程中，巩固基础知识和基本技能。本节内容是椭圆定义及其标准方程的推导，建立椭圆的概念，用其推导方程这也是新教材的特点。遵循这 椭圆及其标准方程 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 椭圆单元练习卷 一、 选择题： １.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ） A. 22143x y + = B. 22134x y += C. 2214x y += D. 22 14 y x += ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( ) A 185 80145 20125 20120 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x ４．椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 5 D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( ) A. 1 2 B. 2 C. D. 2 ６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ） A. 221169x y + = B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 22 1254 x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。 A 16x 2＋9y 2＝1 B 16x 2＋12y 2＝1 C 4x 2＋3y 2＝1 D 3x 2 ＋4 y 2＝1 椭圆及其标准方程 【学习目标】 1． 知识与技能目标： 掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力． 3． 情感态度与价值观目标： 通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神． 【要点梳理】 要点一：椭圆的定义 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 要点诠释： （1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点； （2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程 要点诠释： 1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-； 3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -； 4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简． 以焦点在x 轴上的方程22 221x y a b +=(0)a b >>为例． (1)建系 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)． （2）设点 设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． 《椭圆及其标准方程》教学设计说明 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科. 从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。 二、教学目标设置 1.课程目标 （1）了解圆锥曲线与二次方程的关系； （2）掌握圆锥曲线的基本几何性质； （3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想. 2.单元目标 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质； （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质； （4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题； （5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 3.本节课教学目标 （1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨 人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体 幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 课题：椭圆及其标准方程 教材： 人教社《全日制普通高级中学教科书》（试验修订本?必修）数学? 第二册（上） 授课教师： 联系方式： 一、教学目标 （1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推 导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 （2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探 索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。 （3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 二、教学重点、难点 （1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。 （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ M 2 F 1F 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 椭圆及其标准方程(第1课时) 一、内容和内容解析 内容：椭圆的定义及其标准方程的推导． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－1第二章第2节《椭圆》第1课时内容．在此之前学习了曲线与方程以及圆的方程，初步具备了解析几何的思想和用坐标法研究曲线问题的经验．另外，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，是本节和本章的重点内容．故本节课的学习有着示范性的作用．教学中应当引起充分重视．椭圆的定义，较为抽象，用细绳画椭圆的方法将椭圆定义具体化．这对学生提出了较高的思维能力要求，这也是新课程标准中的数学核心素养要求之一．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析 目标： （1）用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这过程中培养学生的思维能力． （2）在椭圆方程的推导过程中，会根据椭圆的图形特征，选择合理建系方法，理解椭圆标准方程之“标准”所在；会根据式子的结构特征，选择合适的化简方法，提高运算能力．（3）理解椭圆标准方程的特征及参数a，b，c的几何意义，能根据条件利用椭圆定义法或方程的待定系数法，求出椭圆的标准方程． 目标解析： （1）对椭圆的认识，先从直观感受再到理性认识，这与历史上对椭圆的研究历程是一致的．但椭圆的定义是发生式定义，较为抽象，故借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化，所画图像确实与印象中的椭圆是一致的．细绳画椭圆的方法既有利于对椭圆定义的理解，还有助于对椭圆对称性的理解与分析，在这过程中培养学生的思维能力． （2）通过类比圆方程最简洁形式时，圆与坐标系的对称关系，可以找到怎样根据椭圆的图形特征建立坐标系，使得椭圆方程更简洁，并能找到各参数对应的几何意义，从而也就能更好地说明椭圆标准方程之“标准”所在．另外，在化简过程中，到底是直接两边平方还是移项后再平方，可以通过分析得到初步判断，移项后两边平方只剩下一个根号和一次式，形式更简单．但直接两边平方，利用式子对称的结构特征进行运算的话，其实也不难．所以可以借此机会与学生强调，化简方程时利用式子的结构特征可以简化运算，提高运算能力．提 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 椭圆及其标准方程练习题 一、 1．椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2．椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3．已知椭圆的方程为 1822 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ A ） A.228m - B.2m -22 C.28 2-m D.222-m 4．方程1) 4 2sin(3 2 2 =+ -π αy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ.838παπ ≤ ≤- Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282π παππ+<<-∈Ｚ） 5．在方程 22110064 x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 二、 7．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 8．椭圆19 162 2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2?的周长为 9.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 . 10.P 点在椭圆452x +20 2 y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标 是 . 三、 11.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个 等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 12.已知椭圆92x +4 2 y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距 离的等差中项，求P 点坐标. 13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5 ） 高二数学椭圆及其标准方程优质课教案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 课题：椭圆及其标准方程一、教学目标 学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 二、教学重点、难点 （1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。 （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，生活中的椭圆。 - 天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。 2动画演示 思考:什么是椭圆怎样画椭圆 （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ 思考： 1、定义中的常数为什么要大于焦距 2、若常数等于焦距，轨迹是线段 3、若常数小于焦距，轨迹不存在 注: 定义是判断椭圆的方法 定义是椭圆的一个性质 （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2为原点； （学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁） 经过比较确定方案一. 2．推导标准方程． 选取建系方案,让学生动手，尝试推导. M 椭圆及其标准方程练习题 一、 1．椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） 2．椭圆1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3．已知椭圆的方程为1822 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ A ） 2 8m - m -22 8 2-m D.222-m 4．方程1)4 2sin(322 =+-π αy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ. 838παπ≤ ≤- Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 5．在方程22 110064 x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 二、 7．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 8．椭圆19 162 2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2?的周长为 9.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 . 点在椭圆452x +20 2 y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 . 三、 11.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 12.已知椭圆92x +4 2 y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P 点坐标. 13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 参考答案： 1．A 2．A 3．A 4．B 5. C 6．D 7．135 362 2=+x y 8．答案：164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c 9. 362x +162 y =1或362y +16 2x =1 椭圆及其标准方程1 教学目标 1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程； 2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握使用待定系数法求椭圆的标准方程； 3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察水平和探索水平； 4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提升使用坐标法解决几何问题的水平； 5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识． 教学建议 教材分析 1．知识结构 2．重点难点分析 重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这个节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这个章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的． （1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，能够对比圆的定义来理解． 另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性． （2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点： ①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义实行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但能够使方程的推导过程变得简单，而且也能够使最终得出的方程形式整齐和简洁． ②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会． ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项． ④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求． （3）两种标准方程的椭圆异同点 中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同． 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大； 课题：椭圆及其标准方程 一、教学目标 学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 二、教学重点、难点 （1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。 （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 * （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，生活 中 的 椭 圆 。 - 天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。 2动画演示 思考:什么是椭圆怎样画椭圆 （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 《 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹 2、 概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 、 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ 思考： 【 1、定义中的常数为什么要大于焦距 2、若常数等于焦距，轨迹是线段 3、若常数小于焦距，轨迹不存在 M 2 F 1 F 注: 定义是判断椭圆的方法 定义是椭圆的一个性质 （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是 @ 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2为原点； （学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁） 经过比较确定方案一. 2．推导标准方程． 选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点， # 则 {}a MF MF M P 221=+=， ∴ 得 ()()a y c x y c x 22 22 2=+++ +-， （想一想：下面怎样化简） （１）教师为突破难点，进行引导设问： 我们怎么化简带根式的式子对于本式是直接平方好还是整理后再平方好 呢化简，得 )()(2 2222222c a a y a x c a -=+-． （2）b 的引入． 由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->． 让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时设 222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+， 两边同时除以22b a ，得到方程： 图2 椭圆及其标准方程（1） 一.知识探究 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距． 2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？ 4．如何确定焦点的位置？ 二.典型选讲： 例1.判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦点的坐标。 ①16410022=+y x ②125 92 2=+y x 变式训练1.将方程22525922=+y x 化为标准方程，并求出焦点的坐标。 例2.已知椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，求该点到右焦点的距离。 变式训练2. 椭圆136 642 2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长 三.课后作业 1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 25 ＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216 ＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3.椭圆1100 362 2=+y x 上一点P ，则△PF 1F 2的周长 4．椭圆x 216＋y 29 ＝1的焦距为________，焦点坐标为________． 5．已知椭圆x 29＋y 2m 2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________． 6.求下列条件的椭圆的标准方程 : （1）焦点坐标分别为（0，-4），（0,4），a=5； （2）a+c=10,a -c=4 自助餐 1.已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12 )2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程 2.方程15 102 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A.10 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：椭圆及其标准方程评课稿(供参考)
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