第6课 连续对称图形剪纸
湖北华一寄宿学校导学案系列之选修课剪纸
第6课连续对称图形剪纸
初备者：王珍荣审核者：贾蕾课型：新授课编写时间：2019年10月18日班级：___________ 组名：___________ 姓名：____________
一、教学目标
1.了解连续对称图形剪纸的基本技法。
2.能运用简单的手法剪出简单的剪纸作品。
二、教学重点、难点
重点：折剪的技法。
难点：如何动手掌握剪纸技法。
三、教学方法：示范法、评讲法、多媒体教学法。
四、课时安排：一课时
五、教学过程
(一) 提问导入：
我们在前几节课初步了解了中国民间艺术。谁能说说我国的民间剪纸艺术的特征吗？（精神活泼向上、吉祥如意、长命健康、富贵有余、儿孙满堂等。用于民间传统节日、传统宗教和民族饰品用等。流传广泛，生动有趣，代表了中国人的传统文化和日常活动。）今天我们主要学连续对称图形剪纸的基本技法。
（二）情境创设：
活动一：展示精美的剪纸作品了解的分类
1.剪纸从地域上分：可分为北方剪纸和南方剪纸。因此，各地区，各民族的剪纸都有自己独特的风格。
（出示作品北方剪纸：以粗犷豪放，造型简练著称。南方剪纸：以构图繁茂，精巧秀美闻名。）
2.剪纸按制作方法分类：主要有阳刻和阴刻、阴阳综合的制作方法。（出示典型作品）
3.剪纸按色彩表现分类：主要有单色剪纸和套色剪纸（展示作品）
活动二：展示作品，了解感悟剪纸的内涵
讲故事：很久以前，人们就用一张薄纸，一把剪刀。剪出精美的图案点缀和美化着生活。咱们总是到过年时，家家窗户上都贴出用彩纸剪出的图案，贴到窗户上，俗称“贴窗花“。这就是剪纸迎春的风俗，它寄托着对生活的美好愿望。“窗花”的图案花样很多，有花卉、鸟兽、虫鱼及图案纹样等。它既有画意，又有装饰趣味，很受群众喜欢。
（挂图：这些剪纸还都有它独特的意蕴在里面如：连年有余、喜鹊登梅、喜上眉梢、富贵吉祥、花开富贵、花好月圆、吉庆有余等等、、、、、、）
这些窗花都是我国劳动人民长期以来智慧的结晶，充分表现了他们对美好生活的热爱与向往。增添了节日喜庆气氛。
活动三：探索活动，仿例制作
1 、把一张长方形的纸向前、向后连续折。
2 画出小草轮廓。
1
《简单的轴对称图形》典型例题1(1)(答案)
《简单的轴对称图形》典型例题 例1 想一想等边三角形的三个内角各是多少度，它有几条对称轴。 例2 如图，已知ABC ?是等腰三角形，AC AB 、都是腰，DE 是AB 的垂直平分线，12=+CE BE 厘米，8=BC 厘米，求ABC ?的周长． 例3 AC AB ABC =,:中在已知? _____ ,100)3(____,30)2(___ __,,70)1(00为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若=∠=∠=∠C B A ο 例 4 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠110ACD ，求ABC ?各内角的度数.
例5 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE． 例6如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．
参考答案 例1 分析：由等腰三角形的性质易知等边三角形三个内角相等都是60°，它有三条对称轴。 解：三个内角都是60°，它有三条对称轴。 说明：等边三角形是等腰三角形的特例，所以等腰三角形的性质对其都是适用的，在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。 例2 分析：本题依据线段垂直平分线的性质可以得到． 解：DE Θ是AB 的垂直平分线 ∴BE AE = ∴12=+CE AE 厘米AC = ABC ?Θ是等腰三角形 ∴12==AC AB 厘米 ∴ABC ?的周长是3281212=++=++BC AC AB 厘米 例3 分析：注意到题中所给的条件AB ＝AC ，得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题（1）可得οο55,55=∠=∠C B ；对问题（2）考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角；对问题（3）由三角形内角和为ο180可得此等腰三角形的顶角只能为ο100这一种情况。 略解：（1）οο55,55=∠=∠C B （2）另外两内角分别为：οοοο120,30;75,75（3）οο40,40 说明：通过题目中的（2）、（3）渗透分类思想，训练思维的严密性。
简单的轴对称图形练习习题
欢迎阅读 页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王?田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 7 8的长915和6________________________． Ｄ．2.．三条角平分线的交点 345．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝°，则∠ABD 的度数是（ ） A D E
简单的轴对称图形练习题
轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有 四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度． 7．如图，AB=AC ，0120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= 。 8、如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为 ． 9．如图，∠A =15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM 的度数为________． 10.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________． 二、选择题 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． Ｄ． 2.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） N M E F C B A D A B C D
A B M C N O 图3 A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条角平分线的交点 3．在下列说法中，正确的是（ ） A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形; B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形; C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形; D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于（ ） A.三角形内 B.三角形外 C.斜边的中点 D.不能确实 5．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ） A ．20o B ．30o C ．35o D ．40o 10、如图，在Rt ABC △中，ο90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，A D E B 图4 A C B D E
《简单的轴对称图形》公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】
《简单的轴对称图形》教学设计教材分析 简单的轴对称图形是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》七年级下册第五章第三节内容，本章主要研究图形的轴对称及轴对称的性质；本节要求掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质；探索并了解线段垂直平分线的有关性质；掌握作已知角的平分线的尺规作图方法；所以本节的重点是对性质的理解及探索过程。 教学目标 1．使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质； 2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质； 3．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法； 4．在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉. 教学重难点 【教学重点】 对性质的理解及探索过程 【教学难点】 应用性质解决一些实际问题 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备； 练习本； 教学过程 一、新课导入 认识等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 牢固而扎实的掌握等腰三角形的有关概念，尤其是等腰三角形的形状的分类，对于解决有关计算中多值问题大有助益，另外，等腰三角形的概念实际上也是它的一个有用性质，无论是在计算还是证明中都有很大的作用。 二、新课学习 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴． （2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？ （3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？ （4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由． 小组合作交流 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？ 拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发现什么现象？ 学生可能在回答此问题时表现出差异，有的学生可能从分析等腰三角形特点的基础上直接想象出它的对称轴，有的学生可能需要借助折叠等活动寻找出对称轴，现象： (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
简单的轴对称图案剪纸教案
简单的轴对称图案剪纸教案《简单的轴对称图形》 教学目标： 1.了解什么是对称图案 2.会剪简单的对称图案 3.能在剪好的图案上通过想象，加上剪纸的代表图案 4.学会欣赏 教学重难点：目标 123 教学准备：给学生一组对称剪纸的图样 教学过程： 一、复习导入，温故知新 同学们，我们都学了剪纸，你能回一下剪纸都有哪些基本图形吗？（月牙纹、锯齿纹、水滴纹…… 今天老师也给他加带来了含有这些漂亮图形的剪纸， 想看吗？ （出示含有月牙纹、 锯齿纹的对称剪纸图形） 仔细观察，今天老师带给大家的图形都有一个共同的特点，看谁的小眼睛最亮。 1：生回答这些都是对称的，师板书：对称图案， 师：孩子们真是有一双火眼金睛呀，现在在每个四人小组的桌上都摆了几张对称的剪纸，请孩子们动手折 一折，你会发现什么呢？ 生动手折，发现：对称图形折叠以后，两边的图案会重合 师：对于这样两边能重合的对轴称图案我们要怎样来剪呢？（是板书：剪）今天我们就来找找剪对称图案 的小窍门吧。 1.师：现在让把这些重合的对称图形打开来，你又会发现什么呢？（生：发现每一个图 形中间都有一条线） 2：生无法回答出对称，师：现在老师把这些图案都摆在了孩子们四人小组的桌子上了，你试着观察一下， 再折一折，看看你会发现什么。 生动手折， 发现： 对称图形折叠以后， 两边的图案会重合， 然后回答： 这些图案对折的时候两边都会重合， 师：说得真好，看来我们要解决问题的时候不仅要用脑子想，还要动手做呀。像这样对折以后两边重合的图案 就叫做对称图案 那么我们现在把这些重合的对称图形打开来，你又会发现什么呢？（生：发现每一个图形中间都有一条线） 】师：这一条线就叫做这个对称图案的对称轴（师板书） 二、 示范演示，重点指导
简单的轴对称图形(第2课时)
第五章生活中的轴对称 3简单的轴对称图形（第2课时） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，并能通过折纸动手制作轴对称图形。在本章前面一节课中，又学习轴对称现象，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的了解，具备了动手操作的基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 （1）知识与技能 1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质． 3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题． 4．尺规作图。 （2）过程与方法 本节知识是通过对现实生活情景中的轴对称现象引出课题，在观察生活的基础上，从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念，体会轴对称在生活中的广泛运用和丰富的文化价值。因此，在学习中，首先要养成善于观察的习惯，从不同的情境中，通过思考、分析，总结共性，学会学习。（3）情感态度与价值观 1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。
2．结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。 3．通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。三、教学设计分析 按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法为辅。教学中，精心设计了一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，并用电教媒体化静为动，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，从而培养学生的思维能力。 指导学生通过折纸活动探索角平分线、线段垂直平分线的性质，再通过解决适当的实际问题来培养学生的分析能力和应用意识． 本节课设计了如下教学环节： 第一环节知识回顾 活动内容: 1．什么是轴对称图形？ 2．下列图形哪些是轴对称图形？ 活动目的:使学生对小学学过的生活中的轴对称图形进一步加深印象,熟悉轴对称图形及对称轴,为本节课学习做铺垫. 实际教学效果:所有同学都能清楚什么是轴对称图形找出对称轴,为学习线段做了很好的铺垫.
七年级数学简单的轴对称图形练习题
1.1.简单的轴对称图形 一、判断题 1.角的平分线是角的对称轴.（ ） 2.等腰直角三角形不是轴对称图形.（ ） 3.等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴.（ ） 4.射线是轴对称图形.（ ） 5.线段的垂直平分线是线段的一条对称轴.（ ） 二、填空题 1.角的平分线上的点到这个角的两边的_________相等. 2.线段_________（填是或不是）轴对称图形，它的一条对称轴垂直并_________它，这样的直线叫做这条线段的_________，简称_________. 3.线段垂直平分线上的点到这条线段_________的距离_________. 4.线段有_________条对称轴. 5.角有_________条对称轴. 其对称轴是_______________． 三、选择题 1.下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A.等边三角形 B.长方形 C.等腰三角形 D. 2.等腰三角形的对称轴是（ ） A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D. 3.下面选项对于等边三角形不成立的是（ ） A.三边相等 B.三角相等 C.是等腰三角形 D. 4.等边三角形对称轴的条数是（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4 1.2 简单的轴对称图形（一、二课时） 1. 如下图，l1，l2交于A ，P ，Q 的位置如图所示，试确定M 点，使它到l1、l2的距离相等，且到P 、Q 两点的距离也相等． 2 2. 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，则线段AE 与AC 是否相等，为什么? B
简单的轴对称图案剪纸
简 教学目标：1.了解什么是对称图案 2.会剪简单的对称图案 3.能在剪好的图案上通过想象，加上剪纸的代表图案 4.学会欣赏 教学重难点：目标123 教学准备：给学生一组对称剪纸的图样 教学过程： 一、复习导入，温故知新 同学们，我们都学了剪纸，你能回一下剪纸都有哪些基本图形吗？（月牙纹、锯齿纹、水滴纹…… 今天老师也给他加带来了含有这些漂亮图形的剪纸，想看吗？（出示含有月牙纹、锯齿纹的对称剪纸图形）仔细观察，今天老师带给大家的图形都有一个共同的特点，看谁的小眼睛最亮。 【1：生回答这些都是对称的，师板书：对称图案， 师：孩子们真是有一双火眼金睛呀，现在在每个四人小组的桌上都摆了几张对称的剪纸，请孩子们动手折一折，你会发现什么呢？ 生动手折，发现：对称图形折叠以后，两边的图案会重合 师：对于这样两边能重合的对轴称图案我们要怎样来剪呢？（是板书：剪）今天我们就来找找剪对称图案的小窍门吧。 师：现在让把这些重合的对称图形打开来，你又会发现什么呢？（生：发现每一个图形中间都有一条线）】【2：生无法回答出对称，师：现在老师把这些图案都摆在了孩子们四人小组的桌子上了，你试着观察一下，再折一折，看看你会发现什么。 生动手折，发现：对称图形折叠以后，两边的图案会重合，然后回答：这些图案对折的时候两边都会重合，师：说得真好，看来我们要解决问题的时候不仅要用脑子想，还要动手做呀。像这样对折以后两边重合的图案就叫做对称图案 那么我们现在把这些重合的对称图形打开来，你又会发现什么呢？（生：发现每一个图形中间都有一条线）】师：这一条线就叫做这个对称图案的对称轴（师板书） 二、示范演示，重点指导 1.师：在这一节课上，你想剪出什么轴对称图案呢？（生说出自己想剪的图案，师注意听学生说出的是否是对称图案）
2简单的轴对称图形——线段的垂直平分线
10.2轴对称的认识 正源学校 第2课时线段的垂直平分线 教学目的 通过动手试验，使学生知道线段是轴对称图形，掌握线段的垂直平分线的定义和性质，并学会应用线段垂直平分线性质解决相关问题. 重点、难点 重点：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 难点：运用线段垂直平分线性质解决问题. 教学过程 一、复习引入 1．轴对称图形的定义是什么? 2．线段是轴对称图形吗?它的两个端点是否关于某条直线成轴对称? 二、新课 1．认识线段是轴对称图形. 试验：按以下方法，看看线段是否是轴对称图形? (P84页) 在半透明纸上画出线段AB和它和中点O，再过O点画出与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，观察线段OA和线段OB是否重合? 显然，线段OA和OB互相重合，因此，线段是轴对称图形. 根据刚才的实验，我们知道线段AB是轴对称图形。直线CD是它的对称轴。直线CD既垂直于线段AB，又平分线AB。 2、线段垂直平分线的定义：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线. 3．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 在以上试验的基础上，在直线CD上任意取一点M，连结MA、MB，而后沿着直线CD折叠，观察MA和MB是否重合?再取一点试试，观察PA和PB是否重合?待同学们实验完毕，引导归纳线段垂直平分线的性质. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言是：略 练习：P85面第1题 三．线段垂直平分线性质的应用举例. 例1，如图，两个居民点A、B在河流的同旁.一汽车从点A出发到B，途中需要到河边加水.汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图中作出该点，并说明理由。 例2．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长. 分析：要求△BCE的周长，需知道BE、CE、BC的长，从给 出的条件来看，BE、BC的长度已知，而E点是线段BC的垂 直平分线上的点，所以CE=BE，从而问题得到解决. 解：∵ED是BC的垂直平分线（已知）
第6课 连续对称图形剪纸
湖北华一寄宿学校导学案系列之选修课剪纸 第6课连续对称图形剪纸 初备者：王珍荣审核者：贾蕾课型：新授课编写时间：2019年10月18日班级：___________ 组名：___________ 姓名：____________ 一、教学目标 1.了解连续对称图形剪纸的基本技法。 2.能运用简单的手法剪出简单的剪纸作品。 二、教学重点、难点 重点：折剪的技法。 难点：如何动手掌握剪纸技法。 三、教学方法：示范法、评讲法、多媒体教学法。 四、课时安排：一课时 五、教学过程 (一) 提问导入： 我们在前几节课初步了解了中国民间艺术。谁能说说我国的民间剪纸艺术的特征吗？（精神活泼向上、吉祥如意、长命健康、富贵有余、儿孙满堂等。用于民间传统节日、传统宗教和民族饰品用等。流传广泛，生动有趣，代表了中国人的传统文化和日常活动。）今天我们主要学连续对称图形剪纸的基本技法。 （二）情境创设： 活动一：展示精美的剪纸作品了解的分类 1.剪纸从地域上分：可分为北方剪纸和南方剪纸。因此，各地区，各民族的剪纸都有自己独特的风格。 （出示作品北方剪纸：以粗犷豪放，造型简练著称。南方剪纸：以构图繁茂，精巧秀美闻名。） 2.剪纸按制作方法分类：主要有阳刻和阴刻、阴阳综合的制作方法。（出示典型作品） 3.剪纸按色彩表现分类：主要有单色剪纸和套色剪纸（展示作品） 活动二：展示作品，了解感悟剪纸的内涵 讲故事：很久以前，人们就用一张薄纸，一把剪刀。剪出精美的图案点缀和美化着生活。咱们总是到过年时，家家窗户上都贴出用彩纸剪出的图案，贴到窗户上，俗称“贴窗花“。这就是剪纸迎春的风俗，它寄托着对生活的美好愿望。“窗花”的图案花样很多，有花卉、鸟兽、虫鱼及图案纹样等。它既有画意，又有装饰趣味，很受群众喜欢。 （挂图：这些剪纸还都有它独特的意蕴在里面如：连年有余、喜鹊登梅、喜上眉梢、富贵吉祥、花开富贵、花好月圆、吉庆有余等等、、、、、、） 这些窗花都是我国劳动人民长期以来智慧的结晶，充分表现了他们对美好生活的热爱与向往。增添了节日喜庆气氛。 活动三：探索活动，仿例制作 1 、把一张长方形的纸向前、向后连续折。 2 画出小草轮廓。 1
简单的轴对称图形(一)教学设计
第七章生活中的轴对称 2．简单的轴对称图形（一） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，并能通过折纸动手制作轴对称图形。在本章前面一节课中，又学习轴对称现象，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的了解，具备了动手操作的基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 （1）知识与技能 1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识了两种简单的轴对称图形。经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 2．探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质． 3．应用角的平分线、线段垂直平分线的性质解决一些实际问题． （2）过程与方法 本节知识是通过对现实生活情景中的轴对称现象引出课题，在观察生活的基础上，从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念，体会轴对称在生活中的广泛运用和丰富的文化价值。因此，在学习中，首先要养成善于观察的习惯，从不同的情景中，通过思考、分析，总结共性，学会学习。 （3）情感态度与价值观 1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。 2．结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。 3．通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。
简单的轴对称图形练习题
轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0 ，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王 田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度． 7．如图，AB=AC ，0 120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= 。 8、如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为 ． 9．如图，∠A =15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM 的度数为________． 10.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD ?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________． 学科网 二、选择题 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． Ｄ． 2.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条角平分线的交点 3．在下列说法中，正确的是（ ） A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形; B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形; C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形; D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于（ ） A.三角形内 B.三角形外 C.斜边的中点 D.不能确实 5．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD N M E F C B A D A B C D
简单的轴对称图形 角
第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形---角（第3课时） 主备：曹敏审查：曹敏使用： 一、教学目标： 知识目标：1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。 2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题． 能力目标：1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。 2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力. 3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用. 情感目标： 1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验； 2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。 二、教学重点： 掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。 三、教学难点： 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题． 四、教法学法：动手操作，猜想，实践。 五、教学准备: 多媒体课件。 六、教学过程 第一环节：动手操作，导入课题 [情境问题一]不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系 学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。 教师与学生一起动手操作。展示学生作品。
第二环节：动手操作，探求新知 1、[情境问题二]对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD放在已知角的边上，沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么 教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形。 学生运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。 本次活动中，教师重点关注： (1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形； (2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明射线AE是∠BAD的平分线。 2、问题： (1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么求作什么 (2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画 (3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画 (4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗 (5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗 (6)归纳角平分线的作法 教师提问,学生与老师一起完成探究过程. 学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法。 第三环节：猜想再实践，发展几何直觉。 [情境问题三]将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕． 问题1：第一次的折痕和角有什么关系为什么 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系 学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程．学生观察思考后，分组讨论、交
简单的轴对称图形(一)
七年级下册数学教学案第(49)课时 课题简单的轴对称图形（一）备课教师：杨宇雄 课时 目标 1、探索并了解角平分线、线段垂直平分线的有关性质；学生在动手折叠的过程中， 进一步了解角平分线、线段垂直平分线的性质。 2、经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念， 感受轴对称的对称美。 重点 难点 重点：探索角平分线和线段垂直平分线的性质. 难点：角平分线的性质. 自学指导与展示反馈 一．复习回顾 1.如果一个图形______________________ ,直线两旁的部分 ,那么这个图形叫做 .这条直线叫做 . 2.下列那些图形是轴对称图形是。 ①②③ ④⑤⑥ 二．自学指导 3.按下面的步骤做一做，依步骤作图： ⑴在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边 将角剪下．将这个角对折，使角的两边重合． ⑵在折痕上任取一点M；I: II: ⑶过点M折OA边的垂线，得到新的折痕MD， 其中，点D是折痕与0A边的交点，即垂足． ⑷将纸打开，新的折痕与OB边的交点为C。 III: IV:
问题： 4.从上述操作过称可得角是图形，是它的对称轴。 5.在上述操作过称中相等的线段有和，和。理由是：。相等的角有对。另取一点上面关系。 结论：的距离相等。 6.按下面的步骤做一做 ⑴在纸上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交点为O； ⑵在折痕上任取一点M，沿MA将纸折叠；⑶把纸张展开，得到折痕MA和MB． 按步骤作图： I：II：III： 问题： 7.MO与AB具有的位置关系。AO BO ,MA MB,理由是： 。在折痕上另取一点看上面关系。 8.线段是图形，它的一条垂直这条线段并且，这样的直线叫做这条线段的。你知道线段的另一条对称轴吗？ 结论：⒈线段是，它的对称轴是或。 ⒉线段相等。 几何表达： 因为：CD垂直平分AB 且M在CD上， 所以： = 。 9.如图，在Rt△ABC中，BD是∠B的平分线 DE⊥AB,垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 三、谈谈你的收获 1. 2. 3.
简单的轴对称图形──线段
第五章生活中的轴对称 简单的轴对称图形──线段 石室蜀都中学中学刘仁平 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，并能通过折纸动手制作轴对称图形。在本章前面几节课中，又学习了轴对称现象，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的了解，具备了动手操作的基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 （1）知识与技能 1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质． 3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题． 4．尺规作图。 （2）过程与方法 体会轴对称在生活中的广泛运用和丰富的文化价值。在学习中，首先要养成善于观察的习惯，从不同的情境中，通过思考、分析，总结共性，学会学习。 （3）情感态度与价值观 1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。 2．结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。 3．通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。 三、教学设计分析
按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法为辅。教学中，精心设计了一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，从而培养学生的思维能力。 指导学生通过折纸活动探索线段垂直平分线的性质，再通过解决适当的实际问题来培养学生的分析能力和应用意识．本节课设计了如下教学环节： 第一环节探索研究，充分发挥学生的主体作用 探索1：探索线段的对称性：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？ 活动内容:拿出准备好的印有线段AB的纸，折一折，你能找到它的对称轴吗？找到了几条？问题思考：你找到的对称轴有怎样的特点，与线段AB具有怎样的关系？ 注意事项：鼓励学生在操作中尽量运用自己的语言描述说明。 实验结论： ⑴段是轴对称图形，它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是CD，它 垂直于AB又平分AB，称作AB的垂直平分线． ⑵线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线． 探索2：线段的垂直平分线的性质：如图，点C是线段AB的垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？ 改变C点的位置，结论还成立吗？ 问题思考：改变点C点的位置，结论还成立吗？ 注意事项：鼓励学生尽量运用自己的语言说明理由。既可以根据折 叠过程中某些线段或角重合说明，也可以运用全等来说明。教师适 时的引导，学生的动手操作，有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想。 实验结论： 线段的垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言： ∵点C在线段AB的垂直平分线上 ∴CA=CB（线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
剪纸与轴对称
授课人：江苏省连云港市海州实验中学王磊 教学背景： 新课程标准比较注重对孩子们动手能力的培养，数学作为一门基础学科，被应用于生活中的很多地方。本节课是数学知识与动手操作的结合课，依托刚学过的数学知识，建立在劳动美术课的基础之上，本节课是对学生综合能力的一次提高，所以上好本节课对于学生们动手、动脑能力的培养是一次良好的锻炼机会，通过本节课的学习还可以培养学生们的合作能力、语言表达能力、审美能力等等。 教学目标： 1、经历折叠、画线、剪切的剪纸过程，感受剪纸与轴对称的密切联系，进一步发展空间观念，积累活动经验。 2、欣赏剪纸作品，给作品命名，获得美的感受，激发学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。 3、领悟图案的设计思路，思考折纸方法，发展创新意识和能力。 4、通过与他人合作交流，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑。 活动准备剪刀、圆规、量角器、纸 教学过程： 一、创设情景，激发学习兴趣 1、复习一下轴对称和轴对称图形的知识。
（1）什么叫做轴对称？什么叫做对称轴？（2）什么叫做轴对称图形？ 2、播放与本节课有关的视频，激发学生的学习兴趣。 二、实践探究，小试牛刀 活动内容： 把一张纸对折或多次对折后，按一定得方法剪出得图案叫做折叠剪纸。 折叠剪纸得一般方法：取一张正方形纸，对折并把折痕压平，然后在折叠好的纸面上画图案，再按所画的图案剪下。 折叠剪纸是利用纸对折后剪出图案具有对称性这一特点，来进行创作的。 活动一：剪四边形 如图1－（1），把一张正方形纸片沿虚线对折得图1－（2），再把图1－（2）沿虚线对折得图1－（3），在图1－（3）中沿虚线剪下得图1－（4）。 （1）想一想：图1－（4）的展开图形有几条对称轴？这个图形有什么特征？ （2）请你动手做一做，再回答上述问题。 （3）你能模仿上述的剪法剪出正方形吗？如何剪？说说你的理由。 【教师感言】剪完一刀后得到多个纸片，不过都是筝型，学生能理解。该活动简单，对于一般的学生1分钟不到就可以解决了。 活动二：剪筝形
简单的轴对称图形—线段
1 初二数学 第二章 轴对称 第2节 简单的轴对称图形（1）——线段 主备人：于爱妮 审核人： 使用时间： 编号：导15 学习目标 1．经历探索“线段”轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2．探索并掌握线段垂直平分线的性质，运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。 3．会用尺规画线段的垂直平分线。 学习重难点 掌握线段垂直平分线的性质，运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。 学习过程 一、自主探究1——线段是轴对称图形（5分钟） 导学要求：自学课本P46，回答下列问题。 1、如图，对折线段AB ，使A 、B 两点重合。折痕与AB 相交 与点O 请回答：（1）AO 与BO 相等吗？ 即：O 是线段AB 的 ∠AOD 与∠BOD 相等吗？ 都是多少度？ 即：OD （对称轴）与AB 互相 2、（1）线段是 图形，___________________的直线是它的一条对称轴． (2)垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段 的 线（简称 线）． 二、自主探究2——垂直平分线的性质（10分钟） 1、若线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ， 点C 、 D 、E 、F 、 是垂直平分线上的点，（1）请问AE 与BE 相等吗？请说明理由 （2） 请问：AC 与BC 、AD 与BD 、AF 与BF 都相等吗？ 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的 到这条线段两个端点的距离3、几何语言：∵OD 是AB 的垂直平分线 ∴AO=B0（中垂线的性质） 4、跟踪训练1 1）如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，BD=3cm ，CE=2cm ,则AD= ， AE= 2）如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，BC=10cm ,则△ADE 的周长= 3）在△ABC 中，AC=5cm ， AC 边上的垂直平分线交BC 于E ，连接AE ，△ABE 周长为9cm ，则△ABC 周长 为 三、自主探究3——用尺规画线段的垂直平分线（12分钟） 1、导学要求：自学课本P46—47例1，仿照例题，利用尺规，做出 （1）线段AB 的垂直平分线（二等分） （2）将MN 四等分（不要求写出做法，但要下结论、保留作图痕迹） A A B B C D A E M N A D B C E
对称图形剪纸的教程
对称图形剪纸的教程 对称图形的剪纸是十分好看而富有特色的。下面是推荐给大家的对称图形剪纸的教程，希望大家有所收获。 1、准备一些蜡光纸（或色纸、白纸），衬托色纸。 2、用一张薄的白纸或色纸，对准纸的中间，两边对称，对折。如下图： 3、在对折好的纸相连的一面画上你喜欢的动物，检查相连之处画得是否有相连。如下图： 4、把画好的动物剪出来，注意处理叠折边的连接，不要剪断。如下图： 5、把剪出来的动物揭开，小心不要弄坏了。如下图： 剪纸的刀法： 绘画注重笔墨，剪纸讲究刀法，是技巧，也是一种意趣。绘画有笔断意连、笔不到意到的意趣，剪纸有刀口刻露、行迹昭著的美感。艺术若没有正当的意趣，各不成了枯燥无味和概念化的东西么。 绘画落笔成点，拖点成线，一波三折产生韵律节奏感；剪纸运刀有曲有直，刚柔结合，也产生律动的美。而剪纸的刀触有别于绘画的笔墨行迹，与木刻虽同属刀笔，由于工具、材料和刻制方法不同，刀触效果又不同。显露刀味纸感的剪纸艺术，其刀法，刀味，也是构成剪纸形式美的一个重要因素。 从剪纸的装饰纹样中可看出锯齿纹、月牙纹等在剪纸中的作用，沿传数百年不衰，且日益发展，其内在联系就是适应剪纸工具的性能，
它们是剪纸刀笔的必然产物。锯齿纹貌似精工、复杂，若在绘画上用笔描绘那是很不得力的，但在剪纸刀笔的作用下，却得心应手而行刀灵便。月牙纹作为剪纸特有的线条，长长短短，曲曲直直，变化多端，能随刀笔的运动自然出现，甚随意。若剪刻两条粗细均匀的平行线，那是很费劲的，非得认真对付不可，但若刻月牙纹则骤然改变了窘境而不露破绽。 锯齿纹和月牙纹，有曲有直，概括出剪纸线条的两种基本性质，曲直相交又出现一种锐角形式，于是曲、直、锐在剪纸中广泛出现。朵花、云纹、水纹和涡纹等也在此基础上被概括出来。 分析剪纸的刀法，就得了解刀具的性能、特点及造成的效果。剪纸的刀具并不复杂，可一具多用，而用刀之法和出现的效果，以及如何表现，则因人而异，需认真研究和予以重视。 我国剪纸有剪的，有刻的，还有剪刻并施的。民间剪纸以剪居多，近几十年由于新剪纸表现以人物为主，需要准确和提高产量，大多转向了刻。剪纸的刀法中，有剪、刻、划、切、压和针刺等多种技法。切，即用刀向下一按，多切出短而直的刀口，如有的锯齿纹就是一左一右一刀刀切出的。滕凤谦的“游刀”属于一种划刻，线条在刀具的划动中出现；又有的作者在玻璃上刻制，也是一种划刻。刻，就是象拉锯似的上下抽动刻刀，徐徐移动，刻曲线很方便，刻精细之处也多用它，比较准确，灵便。压和针刺，就是用刀尖或针尖在形象的适当部位轻轻一压或一按，仅留下凹下的印痕，并未剔下纸屑，表面皮毛和花、叶的脉络式的细小点子时多用它，在间剪纸中多见。它作
简单的轴对称图形
简单的轴对称图形（一） 一、教学目标： 1、通过动手试验，使学生知道线段是轴对称图形，掌握线段的垂直子分线的定义和性质，并学会 应用线段垂直平分线性质解决相关问题。 2、情感与态度目标：通过学生的积极活动与参与，去体会获得知识的快乐，感受对称 美。 二、教学重点： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等 三、教学难点： 运用线段垂直平分线性质解决问题，理解结论产生的过程 四、教学方法 观察----动手----交流-----探索相结合 五、教学过程 1、复习引入 （1）、轴对称图形的定义是什么?答：把一个图形沿着一条直线对折直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫着轴对称图形。 （2）、成轴对称的两个图形一定全等吗？全等，因为对折后重合。两个全等的图形一定对称，正确吗？为什么？ 不正确，还与它的位置有关系。 （3）．线段是轴对称图形吗?它的两个端点是否关于某条直线成轴对称? 2、创设情境，提出问题，引入新课 你能利用折纸的方法将线段AB分成两段彼此相等的线段吗？ 画一线段AB，对折后使点A、B重合，折痕与AB的交点为O； 在折痕上任取3点C，沿CA将纸折叠。将纸展开CA和CB。(2次折的比书上的一次好)找：1）轴对称图形及对称轴。 2）相等的线段？问：1）CO与AB有怎样的位置关系？ 2）AO与OB相等吗？CA与CB呢？探索理由。角、、、 3）线段是轴对称图形吗？对称轴在哪？ 1．认识线段是轴对称图形，引出线段垂直平分线的定义。 1、线段垂直平分线的定义：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线， 或中垂线。如上图的直线CD就是线段AB的垂直平分线。在一张纸。：DC与AB的 关系怎样？DC⊥AB，AC＝BC，这样DC叫AB的垂直平分线。 ②请归纳什么叫线段的垂直平分线？ 顾名思义：垂直并且平分一条线段的直线，称为这条线段的垂直平分线或中垂线。 中垂线的符号表示：DC⊥AB，AC＝BC ③问：D是中垂线上任意一点，则DA与DB的关系怎样，为什么？答：相等。翻折 后能够重合。 引入性质