(完整word)初三锐角三角函数与圆综合专题训练
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
1、如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD2=CA?CB;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=,求BE的长.
2、如图,AD是△ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE 于点M,且∠B=∠CAE,EF:FD=4:3.
(1)求证:点F是AD的中点;
(2)求cos∠AED的值;
(3)如果BD=10,求半径CD的长.
3、如图11,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,直线PO 交⊙O 于点E ,F ,过点B 作PO 的垂线BA ,垂足为点D ,交⊙O 于点A ,延长AO 与⊙O 交于点C ,连接BC ,AF . (1)求证:直线PA 为⊙O 的切线;
(2)试探究线段EF ,OD ,OP 之间的等量关系,并加以证明; (3)若BC =6,tan ∠F =
1
2
,求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长.
4、如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于H ,过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F .切点为G ,连接AG 交CD 于K . (1)求证:KE=GE ;
(2)若2
KG =KD ·GE ,试判断AC 与EF 的位置关系,并说明理由; (3) 在(2)的条件下,若sinE=3
5
,AK=23,求FG 的长.
5、如图11,AB 是⊙O 的弦,D 是半径OA 的中点,过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ,交⊙O 于F ,且CE=CB 。 (1)求证:BC ⊙O 是的切线; (2)连接AF 、BF ,求∠ABF 的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=13
5
,求⊙O 的半径。
图11 A
C
B
D E
F O
P
6、如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线;
(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =3
5
,求圆的直径.
7、 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。
(1)求证:CD 为⊙0的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度.
8、(已知四边形ABCD 是边长为4的正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上的动点(不与点A 、B 重合),连接PA 、PB 、PC 、PD .
(1)如图①,当PA 的长度等于 ▲ 时,∠PAB =60°; 当PA 的长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形;
(2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系(点A 即为原点
O ),把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3.P 坐标为(a ,b ),试求2 S 1 S 3-S 22的最大值,并求出此时a ,b 的值.
9、
10、(芜湖市)(本小题满分12分)
如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧AB
⌒上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD 与OA交于N点.
(1)求证:PM=PN;
(2)(2)若BD=4,PA=3
2AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
11、(黄冈市)(6分)如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满
足AD2=AB·AE,求证:DE是⊙O的切线.
12、如图,以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E,点M是?AE的中点,OM交AC于点D,
60 BOE
∠=°,
1
cos
2
C=,23
BC=
(1)求A
∠的度数;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)求MD的长度.
13、如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC= AB;
(3)点M是弧AB 的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
14、如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,AB为直径,∠ABC=30°,CD是⊙O的切线,ED⊥AB于F,
(1)判断△DCE的形状;
(2)设⊙O的半径为1,且OF=
21
3-
,求证△DCE≌△OCB.
O
B A
C
E
M
D
第6题图
A
D
O
F
C
15、如图3,直线AB 经过⊙O 上的点C ,并且OA OB =,CA CB =,⊙O 交直线OB 于E D ,,连接
EC CD ,.
(1)求证:直线AB 是⊙O 的切线;
(2)试猜想BC BD BE ,,三者之间的等量关系,并加以证明; (3)若1
tan 2
CED ∠=,⊙O 的半径为3,求OA 的长.
16、已知:如图,AB 是⊙O 的直径,10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥,,垂足为D ,AD 交⊙O 于点E . (1)求证:BC EC =; (2)若4
cos 5
BEC ∠=, 求DC 的长.
17、如图,以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是的中点,OM 交AC 于点D ,∠BOE=60°,
cosC=,BC=2
.
(1)求∠A 的度数;
(2)求证:BC 是⊙O 的切线; (3)求MD 的长度.
D
C
B
O
A
E
18、如图,已知Rt△ABC和Rt△EBC,∠B=90°.以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切,D为切点,AD∥BC.
(1)用尺规确定并标出圆心O;(不写作法和证明,保留作图痕迹)
(2)求证:∠E=∠ACB;
(3)若AD=1,,求BC的长.
19、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:点D是BC的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)如果⊙O的直径为9,cosB=,求DE的长.
20、如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,
DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠E的值.
21、如图9,直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点,tan∠OCB=2
1. (1) 求B 点的坐标和k 的值;
(2) 若点A (x ,y )是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中,试写出△AOB 的面积S 与x
的函数关系式;
(3) 探索:
①当点A 运动到什么位置时,△AOB 的面积是
4
1; ②在①成立的情况下,x 轴上是否存在一点P ,使△POA 是等腰三角形.若存在,请写出满足条件的所有P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
图9
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括:正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠;把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c b A A cos =∠=斜边的邻边;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法: 【解题方法指导】 例1. (2000年成都市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =60°,D 是AC 的中点,那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析:在Rt △ABC 中,由∠ABC =60°,可知3BC AC 60tan == ,即AC =3BC ,又CD = 1 2 AC ,tan ∠DBC 可求。 解:在△ABC 中, ∵∠C =90°,∠ABC =60°, ∴tan ∠ABC =tan60°=3BC AC =, ∴AC =3BC 。 又D 是AC 中点, ∴DC = 12AC =32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析:在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. (2001年四川)在Rt △ABC 中 ,CD 是斜边AB 上的高,已知3 2 ACD sin = ∠,那么=AB BC ______。 分析:由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ,可得∠ACD =∠B ,由sin ∠ACD = 2 3 ,那么sinB =23,设AC =2,AB =3,则BC =32522-=,则AB BC 可求。 解:∵∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D , ∴∠ACD =∠B 。 又sin ∠ACD =sinB = 23 , 可设AC =2,AB =3, ∴BC =32522-=。
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明(2021.03.07) 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有()A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是() A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是() A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知 sin α·cos α=81,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为() A.23B.2 3- C.43D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是()
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式() A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O , AC=6,若a ABD =∠,则下列式子正确的是() A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1,0°<α<180°,则tan α的值是( )43B.43- C.34D.34- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。 4、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE 。 (1)求证:ABE △DFA ≌△;(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值。 题型:三角函数值的计算(1) 例:计算:000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式:1、计算: 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算:0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值的计算(2)
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有( )A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是( ) A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是( ) °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知sin α·cos α= 8 1 ,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为( ) A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是( ) A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式( ) A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O ,AC=6,若a ABD =∠,则 下列式子正确的是( ) A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51,0°<α<180°,则tan α的值是( )43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。
锐角三角函数专题
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
初三下学期锐角三角函数知识点总结
初三下学期锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 - 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 、 邻边 A C A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A
当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大 而减小。 1. 若α为锐角,则0__sin α__1; 0__cos α__1. 2. < 3. 已知cosA=23 ,且∠B=900-∠A ,则sinB=__ 4. 计算: 2sin450-21 cos600= __ 5. 计算: 2sin450-3tan600= __ 6. 计算: (sin300+tan450)·cos600= __ 7. 若0<α<900,sin α=cos600,则tan α= __ 8. 在Rt △ABC 中,∠C 为直角, ∠A=300,则sinA+sinB=( ) 9. A .1; B .23 1+; C .221+; D .41 10. 已知sinA=21 (∠A 为锐角),则∠A=_________, cosA___,tanA=__________. 11. 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AC=4,BC=3,则sinA=( )