(完整版)向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点归纳与常见题型总结

高三理科数学组全体成员

一、向量知识点归纳

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2

y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB

AB →→表示与AB →

同向的单位向量。 例如：向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC

λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。

(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB

→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |；

若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-

例2：P 是三角形ABC 内任一点，若,CB PA PB R λλ→→→=+∈，则P 一定在（ ）

A 、ABC ?内部

B 、A

C 边所在的直线上 C 、AB 边上

D 、BC 边上

例3、若0·2=，则△ABC 是：A.Rt △ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △

≤±≤, 例4、已知向量)1,3(),sin ,(cos -==θθ，求|2|-的最大值。

分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。

解：原式==

+-|)1sin 2,3cos 2(|θθ22)1sin 2()3cos 2(++-θθ =)3sin(88πθ-+。当且仅当)(652Z k k ∈+

=ππθ时，|2|-有最大值.4 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||||||||||||+≤±≤-”就显得简洁明快。原式≤|||2|+=4212||||2=+?=+，但要注意等号成立的条件（向量同向）。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++CD BC AB 0=DA .(□ABCD 中)

⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ．

如果两个非零向量a ，b ，使a =λb （λ∈R ），那么a ∥b ； 反之，如a ∥b ，且b ≠0，那么a =λb .

这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与λb 的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则

)1||.(cos ||=?=?=?e a e a a e Θθ

③?⊥b a 0=?b a （∵θ=90°，)0cos =θ

④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件.

⑤当a 与b 同向时b a ?=||||?(θ=0,cos θ=1);

当a 与b 反向时，b a ?=-||||?(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||||b a b a ?=?.当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b r r 、不同向，0a b ?>r r 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b r r 、

不反向，0a b ?

例 5.如已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是

______（答：43λ<-或0λ>且13

λ≠）； 例6、已知i ,j 为相互垂直的单位向量，j i a 2-=，j i b λ+=。且a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。 分析：由数量积的定义易得“>?”，但要注意问题的等价性。 解：由a 与b 的夹角为锐角，得.021>-=?λ有.21<

λ 而当),0(>=t t 即两向量同向共线时，有??

?-==21λt t 得.2-=λ此时其夹角不为锐角。 故∈λ()??? ??-?-∞-21,22,.

评析：特别提醒的是：><,是锐角与0>?不等价；同样><,是钝角与0

特殊情况有2=?=2|a 。或|a 22y x +.

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则|a =221221)()(y y x x -+- ⑥||||||b a b a ?≤?。（因1cos ≤θ）

⑦数量积不适合乘法结合律. 如).()(??≠??（因为??)(与共线，而)(??与共线）

⑧数量积的消去律不成立. 若、b 、是非零向量且?=?并不能得到=这是因为向量不能作除数，即c 是无意义的.

(6)向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ

(7) →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一) 特别：. ＝12OA OB λλ+u u u r u u u r 则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件.

注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线

例7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，若11BO a 2

-u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200＝（ ）

A ．50 B. 51 C.100 D.101

例8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→?OC ?→

??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（直线AB ）

例9、已知点A,,B,C 的坐标分别是)2,2(),2,5(),1,3(t t -.若存在实数λ, 使OB OA OC )1(λλ-+=,则t 的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定 例10下列条件中，能确定三点P B A ,,不共线．．．

的是： A ．?+?=20cos 20sin 22

B ．?-?=20tan 20sec 22

C ．?+?=70cos 20sin 22

D ．?-?=31cot 31csc 22 分析：本题应知：“P B A ,,共线，等价于存在,,R ∈μλ使μλ+=且

1=+μλ”。 (8)①在ABC ?中，1()3

PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r 为ABC ?的重心；12

AB BC AD →→→+=则AD →过三角形的重心； 例11、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，

且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（D ）（06河南高考）

A ．1230b b b -++=

B 1230b b b -+=

C ．1230b b b +-=

D ．1230b b b ++= ②PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的垂心； ③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(BAC ∠的角分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心；(选)

⑤S ⊿AOB ＝A B B A y x y x -21; 例12、若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为____（答：直角三角形）；

例13、若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足

0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||

AP PD λ=u u u r u u u r ，则λ的值为___（答：2）； 例14、若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则内角C 为____（答：120o ）； (9)、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.

＝λλ++121OP OP ;若λ＝1 则＝2

1(1+2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)则???????++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点???

????+=+=.2,22121y y y x x x 重心???????++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321 说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。

例15、已知A （4，-3），B （-2，6），点P 在直线AB 上，且||3||AB AP →→

=，则P 点的坐

标是（ ）（2，0），（6，-6）

(10)、点),(y x P 按),(k h a =ρ平移得),(y x P ''',则PP 'u u u r ＝a ρ 或???+='+='k

y y h x x 函数)(x f y =按

),(k h a =ρ平移得函数方程为：)(h x f k y -=- 说明：（1）向量按向量平移，前后不变；

（2）曲线按向量平移，分两步：ⅰ确定平移方向----与坐标轴的方向一致；

ⅱ按左加右减，上加下减（上减下加） 例16、把函数22y x =的图象按向量(2,2)a =-r 平移后得到的解析式是_________。

2286y x x =-+

例17、函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（答：)1,4

(π-） 结论：已知0:),,(),,(2211=++C By Ax l y x B y x A ,过B A ,的直线与l 交于点P ,则P 分

AB 所成的比是C

By Ax C By Ax ++++-=2211λ,若用此结论,以下两题将变得很简单. 例18、已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别是)2,2(),1,1(-，若直线l 的方程是0=++m my x ，直线l 与PQ 的延长线相交,则m 的取值范围是________.

解:由C By Ax C By Ax ++++-=2211λ得m

m 3221+-=λ,因为直线l 与PQ 的延长线相交,故1-<λ,解得3

23-<<-m 变式:已知点A(2,-1),B(5,3).若直线01:=+-y kx l 与线段AB 相交,求k 的范围.

提示: 由C By Ax C By Ax ++++-=2211λ 得:02522>-+-=k k λ及直线过端点得521≤≤-k （11）对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，

则四点P 、A 、B 、C 是共面?1x y z ++=．注意：（1）起点相同 （2）系数和是1。

（12） 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉

a ＝123(,,)a a a ，

b ＝123(,,)b b b ）.

（13）空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d

=||AB =u u u r

=（14）点Q 到直线l

距离h =

(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA u u u r ，向量b=PQ uuu r ).

（15）正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C

===（R 是三角形的外接圆半径）

说明：正弦定理可直接进行边角转换；

例15：在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且

cos cos 2B b C a c =-+，求B 的大小。 提示：cos sin 2cos 22sin sin 3

B b B B

C a c A C π=-=-?=++ 例16：在ABC ?中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是____三角形（等腰） 提示：222

222cos 22b c a c Ab c b a b bc

+-=?=?= （16）余弦定理

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

（17）面积定理①111222

a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. ②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.

③OAB S ?=1tan 2

OA OB θu u u r u u u r g (θ为,OA OB u u u r u u u r 的夹角) （18）三角形内角和定理 在△ABC 中，有

()222

C A B A B C C A B πππ+++=?=-+?=-222()C A B π?=-+. 说明：（1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）

ⅰ：两边之和大于第三边；ⅱ：斜边大于直角边；ⅲ：正（余）弦定理；

ⅳ：面积公式；ⅴ：内角和是0180；ⅵ：大角对大边

ⅶ：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ??=++

ⅷ：正弦、余弦函数的单调性； 锐角三角形中有：sin sin()cos 222A B A B A B B π

ππ

+>?>-?>-= 钝角三角形中有（C 是钝角）：sin sin()cos 222

A B A B A B B πππ

+

C 、(sin )(sin )f f αβ>

D 、(cos )(cos )f f αβ> （19）平面两点间的距离公式

,A B d =||AB =u u u r =11(,)x y ，B 22(,)x y ).

（20）向量的平行与垂直 设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则

a ∥

b ?b=λa 12210x y x y ?-=.

a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.

（21）线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r ，则

121

211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+??121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ?12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （11t λ=+）. （22）平面向量的综合问题

向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。

一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始（一般需先平方），而共线，共点问题多由数乘向量处理。

例19．设平面向量)23,21(),21,23(=-=→→

b a ，若存在不同时为0的两个实数t s ,及实数0>k ，使→

→→→→→→→⊥+-=-+=y x b t a s y b k t a x 且,)(2。

（1）求函数关系式)(t f s =；

（2）若函数)(t f s =在),1[+∞是单调函数，求k 的取值范围。

分析：由数量积的坐标运算，不难得出)(t f s =的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想”可简化计算；)(t f 在),1[+∞是单调函数，等价于“0)('≥t f 或0)('≤t f 在),1[+∞上恒成立”。

解：（1）)23,21(),21,23(=-=→→b a Θ，0,1||||=?==∴→→→→b a b a 且，又→→⊥y x Θ 0=?∴→→y x 即0)(])([2=+-?-+→

→→b t a s b k t a 由此得：kt t s -=3

（2）k t t f -=2'3)(，又)(t f Θ是单调函数，

若)(t f 是增函数，则0)('≥t f ，恒有),1[,32+∞∈≥t k t 而，30≤<∴k

若)(t f 是减函数，则0)('≤t f ，恒有),1[,32+∞∈≤t k t 而，这样的k 不存在 综上30≤

评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。

例20、在?ABC 中，21||=AB ， 23|

|=BA ，又E 点在BC 边上，且满足32=，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点.求此双曲线的方程.

分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。

解:以线段AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，

∴A （-1，0），B （1，0）

作CD ⊥AB 于D 21||=AB ， ∴||cosA=21，即||=21，

同理又∵23=，∴|BD |=2

3， 设双曲线的方程为12222=-b

y a x (a>0,b>0),C(-21,h), E(x 1,y 1) 又∵ 32=，∴???

????==525211h

y x 又∵E 、C 两点在双曲线上， ∴2

22

22222114441,12525h a b h a b a b ?-=????-=+=??,解答：a 2=71,b 2=76, ∴双曲线的方程为：7x 2-267y =1.

评析：解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意（如共线，垂直常表现为向量等式，有时也涉及向量的坐标形式），其实其本质内容仍是本章节的知识的整合。本题中关键在理解两个向量等式（也即“向量的投影”）的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译”能力和简单的向量坐标运算的基础知识就可以了。

例21．设+∈R y x ,，且1=+y x ，求证：9)11)(11(≥++y

x 分析：观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“||||b a b a ≤?”，构造向量解决，不失为一种别致的想法。 证：设)1

,1(),1

,1(y x ==，则xy 1

1+=?，而)11)(11(||||y

x ++=?。 由||||≤?得，222||||)(≤?，2)11()11)(11(xy

y x +≥++.9)21(2=++≥y x 评析：根据题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质 “||||≤?”可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研究几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法 -- 向量法。“构造法”是一种创造性思维，体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识”，仔细体会，别有情趣。