(完整版)2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷(答案+解析)

2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷

一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分)

1．(2分)下列各数中是有理数的是()

A．πB．0 C．√2D．√5

2．(2分)辽宁男篮夺冠后，从4月21日至24日各类媒体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为()

A．0.81×104B．0.81×105C．8.1×104D．8.1×105

3．(2分)如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是()

A．B．C．D．

4．(2分)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，﹣1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是()

A．(4，1) B．(﹣1，4) C．(﹣4，﹣1) D．(﹣1，﹣4) 5．(2分)下列运算错误的是()

A．(m2)3=m6B．a10÷a9=a C．x3?x5=x8D．a4+a3=a7

6．(2分)如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是()

A．60°B．100°C．110°D．120°

7．(2分)下列事件中，是必然事件的是()

A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同

C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨

8．(2分)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是()

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

9．(2分)点A (﹣3，2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上，则k 的值是( )

A ．﹣6

B ．﹣32

C ．﹣1

D ．6

10．(2分)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB =2√2，则AB

?的长是( )

A ．π

B ．32π

C ．2π

D ．12π

二、细心填一填(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上)

11．(3分)因式分解：3x 3﹣12x = ．

12．(3分)一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是．

13．(3分)化简：

2a a ?4﹣1a?2= ．

14．(3分)不等式组{x ?2＜03x +6≥0的解集是．

15．(3分)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB = m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．

16．(3分)如图，△ABC 是等边三角形，AB =√7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH 、CH ．当∠BHD =60°，∠AHC =90°时，DH = ．

三、解答题题(17题6分，18-19题各8分，请认真读题)

17．(6分)计算：2tan 45°﹣|√2﹣3|+(12)﹣2﹣(4﹣π)0．

18．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．

(1)求证：四边形OCED是矩形；

(2)若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是．

19．(8分)经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．

四、解答题(每题8分，请认真读题)

20．(8分)九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查(每名学生必选且只能选择一门课程)．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中一共抽取了名学生，m的值是．

(2)请根据据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是度；

(4)若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．

21．(8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

(1)求每个月生产成本的下降率；

(2)请你预测4月份该公司的生产成本．

五、解答题(本题10分)

22．(10分)如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．

(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数；

(2)若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．

23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为(0，10)．点E的坐标为(20，0)，直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 ：y=3

x相交于点P．

(1)求直线l1的表达式和点P的坐标；

(2)矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x轴平行．已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A移动到点E时停止移动)，设移动时间为t秒(t＞0)．

①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；

②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．

七、解答题(本题12分)

24．(12分)已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合)，BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．

(1)如图，当∠ACB=90°时

①求证：△BCM≌△ACN；

②求∠BDE的度数；

(2)当∠ACB=α，其它条件不变时，∠BDE的度数是(用含α的代数式表示)

(3)若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．

25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

(1)求抛物线C1的表达式；

(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长；

(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

(4)在(3)的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分)

1．(2分)下列各数中是有理数的是()

A．πB．0 C．√2D．√5

【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．

【解答】解：A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；

B、0是有理数，故本选项正确；

C、√2是无理数，故本选项错误；

3无理数，故本选项错误；

D、√5

故选：B．

2．(2分)辽宁男篮夺冠后，从4月21日至24日各类媒体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为()

A．0.81×104B．0.81×105C．8.1×104D．8.1×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将81000用科学记数法表示为：8.1×104．

故选：C．

3．(2分)如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是()

A．B．C．D．

【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．

【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：

故选：D．

4．(2分)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，﹣1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是()

A．(4，1) B．(﹣1，4) C．(﹣4，﹣1) D．(﹣1，﹣4)

【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．

【解答】解：∵点B的坐标是(4，﹣1)，点A与点B关于x轴对称，

∴点A的坐标是：(4，1)．

故选：A．

5．(2分)下列运算错误的是()

A．(m2)3=m6B．a10÷a9=a C．x3?x5=x8D．a4+a3=a7

【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．

【解答】解：A、(m2)3=m6，正确；

B、a10÷a9=a，正确；

C、x3?x5=x8，正确；

D、a4+a3=a4+a3，错误；

故选：D．

6．(2分)如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是()

A．60°B．100°C．110°D．120°

【分析】根据平行线的性质比较多定义求解即可；

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠EFH，

∵EF∥GH，

∴∠2=∠EFH，

∴∠2=∠1=60°，

∴∠2的补角为120°，

故选：D．

7．(2分)下列事件中，是必然事件的是()

A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数

B．13个人中至少有两个人生肖相同

C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯

D．明天一定会下雨

【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．

【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；

B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；

C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；

D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；

故选：B．

8．(2分)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是()

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．

【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，

∴k＜0，b＞0．

故选：C．

9．(2分)点A (﹣3，2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上，则k 的值是( ) A ．﹣6 B ．﹣32 C ．﹣1 D ．6

【分析】根据点A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值，此题得解．【解答】解：∵A (﹣3，2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上，

∴k =(﹣3)×2=﹣6．

故选：A ．

10．(2分)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB =2√2，则AB

?的长是( ) A ．π B ．32π C ．2π D ．12π 【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB =90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．

【解答】解：连接OA 、OB ，

∵正方形ABCD 内接于⊙O ，

∴AB =BC =DC =AD ，

∴AB

?=BC ?=DC ?=AD ?， ∴∠AOB =14×360°=90°，

在Rt △AOB 中，由勾股定理得：2AO 2=(2√2)2，

解得：AO =2，

∴AB ?的长为90π×2180=π，

故选：A ．

二、细心填一填(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上)

11．(3分)因式分解：3x 3﹣12x = 3x (x +2)(x ﹣2) ．

【分析】首先提公因式3x ，然后利用平方差公式即可分解．

【解答】解：3x 3﹣12x

=3x (x 2﹣4)

=3x (x +2)(x ﹣2)

故答案是：3x (x +2)(x ﹣2)．

12．(3分)一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是 4 ．

【分析】根据众数的定义求解可得．

【解答】解：在这组数据中4出现次数最多，有3次，

所以这组数据的众数为4，

故答案为：4．

13．(3分)化简：2a a 2?4﹣1a?2= 1a+2 ．

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=

2a (a+2)(a?2)﹣a+2(a+2)(a?2)=a?2(a+2)(a?2)=1a+2，

故答案为：1a+2

14．(3分)不等式组{x ?2＜03x +6≥0

的解集是 ﹣2≤x ＜2 ．【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．

【解答】解：解不等式x ﹣2＜0，得：x ＜2，

解不等式3x +6≥0，得：x ≥﹣2，

则不等式组的解集为﹣2≤x ＜2，

故答案为：﹣2≤x ＜2．

15．(3分)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB = 150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．

【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题．

【解答】解：(1)设AB =xm ，则BC =12(900﹣3x )，

由题意可得，S =AB ×BC =x ×12(900﹣3x )=﹣32(x 2﹣300x )=﹣32(x ﹣150)2+33750 ∴当x =150时，S 取得最大值，此时，S =33750，

∴AB =150m ，

故答案为：150．

16．(3分)如图，△ABC 是等边三角形，AB =√7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH 、CH ．当∠BHD =60°，∠AHC =90°时，DH = 13 ．

【分析】作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，如图，利用等边三角形的性质得AB =AC ，∠BAC =60°，再证明∠ABH =∠CAH ，则可根据“AAS ”证明△ABE ≌△CAH ，所以BE =AH ，AE =CH ，在Rt △AHE 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE =12AH ，AE =√32AH ，则CH =√32AH ，于是在Rt △AHC 中利用勾股定理可计算出AH =2，从而得到BE =2，HE =1，AE =CH =√3，BH =1，接下来在Rt △BFH 中计算出HF =12，BF =√32，然后证明△CHD ∽△BFD ，利用相似比得到HD FD =2，从而利用比例性质可得到DH

的长．

【解答】解：作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，如图，

∵△ABC 是等边三角形，

∴AB =AC ，∠BAC =60°，

∵∠BHD =∠ABH +∠BAH =60°，∠BAH +∠CAH =60°，

∴∠ABH =∠CAH ，

在△ABE 和△CAH 中

{∠AEB =∠AHC ∠ABE =∠CAH AB =CA

， ∴△ABE ≌△CAH ，

∴BE =AH ，AE =CH ，

在Rt △AHE 中，∠AHE =∠BHD =60°，

∴sin ∠AHE =AE AH ，HE =12

AH ， ∴AE =AH ?sin 60°=√32

AH ， ∴CH =√32AH ，在Rt △AHC 中，AH 2+(√32AH )2=AC 2=(√7)2，解得AH =2，

∴BE =2，HE =1，AE =CH =√3，

∴BH =BE ﹣HE =2﹣1=1，

在Rt △BFH 中，HF =12BH =12，BF =√32

， ∵BF ∥CH ，

∴△CHD ∽△BFD ，

∴HD FD =CH BF =√3√32=2， ∴DH =23HF =23×12=1

3．

故答案为13．

三、解答题题(17题6分，18-19题各8分，请认真读题)

17．(6分)计算：2tan 45°﹣|√2﹣3|+(12)﹣2﹣(4﹣π)0．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式=2×1﹣(3﹣√2)+4﹣1

=2﹣3+√2+4﹣1

=2+√2．

18．(8分)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E ．

(1)求证：四边形OCED 是矩形；

(2)若CE =1，DE =2，则菱形ABCD 的面积是 4 ．

【分析】(1)欲证明四边形OCED 是矩形，只需推知四边形OCED 是平行四边形，且有一内角为90度即可；

(2)由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．

【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，

∴∠COD =90°．

∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，

∴四边形OCED 是平行四边形，

又∠COD =90°，

∴平行四边形OCED 是矩形；

(2)由(1)知，平行四边形OCED 是矩形，则CE =OD =1，DE =OC =2．

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC =2OC =4，BD =2OD =2，

∴菱形ABCD 的面积为：12AC ?BD =12×4×2=4．故答案是：4．

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，

所以两人之中至少有一人直行的概率为59．

四、解答题(每题8分，请认真读题)

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中一共抽取了 50 名学生，m 的值是 18 ．

(2)请根据据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 108 度；

(4)若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．

【分析】(1)根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m 的值；

(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(3)根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；

(4)根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．

【解答】解：(1)在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50(名)学生，

m %=9÷50×100%=18%，

故答案为：50，18；

(2)选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15(名)，

补全的条形统计图如右图所示；

(3)扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×1550=108°，故答案为：108；

(4)1000×1550=300(名)，答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．

(1)求每个月生产成本的下降率；

(2)请你预测4月份该公司的生产成本．

【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率)，即可得出结论．

【解答】解：(1)设每个月生产成本的下降率为x ，

根据题意得：400(1﹣x )2=361，

解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95(不合题意，舍去)．

答：每个月生产成本的下降率为5%．

(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元)．

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

五、解答题(本题10分)

22．(10分)如图，BE 是O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．

(1)若∠ADE =25°，求∠C 的度数；

(2)若AB =AC ，CE =2，求⊙O 半径的长．

【分析】(1)连接OA ，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；

(2)根据直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：(1)连接OA ，

∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，

∴OA ⊥AC ，

∴∠OAC =90°，

∵AE ?=AE ?，∠ADE =25°， ∴∠AOE =2∠ADE =50°，

∴∠C =90°﹣∠AOE =90°﹣50°=40°；

(2)∵AB =AC ，

∴∠B =∠C ，

∵AE

?=AE ?， ∴∠AOC =2∠B ，

∴∠AOC =2∠C ，

∵∠OAC =90°，

∴∠AOC +∠C =90°，

∴3∠C =90°，

∴∠C =30°，

∴OA =12OC ，设⊙O 的半径为r ，

∵CE =2，

∴r =12(r +2)，解得：r =2，

∴⊙O 的半径为2．

六、解答题(本题10分)

23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为(0，10)．点E 的坐标为(20，0)，直线l 1经过点F 和点E ，直线l 1与直线l 2 ：y =34x 相交于点P ． (1)求直线l 1的表达式和点P 的坐标；

(2)矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且AB =6，AD =9，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行．已知矩形ABCD 以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A 移动到点E 时停止移动)，设移动时间为t 秒(t ＞0)．

①矩形ABCD 在移动过程中，B 、C 、D 三点中有且只有一个顶点落在直线l 1或l 2上，请直接写出此时t 的值；

②若矩形ABCD 在移动的过程中，直线CD 交直线l 1于点N ，交直线l 2于点M ．当△PMN 的面积等于18时，请直接写出此时t 的值．

【分析】(1)利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；

(2)①分析矩形运动规律，找到点D 和点B 分别在直线l 2上或在直线l 1上时的情况，利用AD 、AB 分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A 坐标，进而求出AF 距离；

②设点A 坐标，表示△PMN 即可．

【解答】解：(1)设直线l 1的表达式为y =kx +b

∵直线l 1过点F (0，10)，E (20，0)

∴{b =1020k +b =0 解得{k =?12b =10 直线l 1的表达式为y =﹣12

x +10 求直线l 1与直线l 2 交点，得

34x =﹣12

x +10 解得x =8 y =34×8=6

∴点P 坐标为(8，6)

(2)①如图，当点D 在直线上l 2时

∵AD =9 ∴点D 与点A 的横坐标之差为9

∴将直线l 1与直线l 2 交解析式变为

x =20﹣2y ，x =43y

∴43y ﹣(20﹣2y )=9 解得

y =8710 则点A 的坐标为：(135，8710

) 则AF =√(135)2+(10?8710)2=13√510

∵点A 速度为每秒√5个单位

∴t =1310 如图，当点B 在l 2 直线上时

∵AB =6 ∴点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6个单位

∴直线l 1的解析式减去直线l 2 的解析式得

﹣12x +10﹣34x =6

解得x =165 则点A 坐标为(165，425)

则AF =√(165)2+(10?425

)2=8√55 ∵点A 速度为每秒√5个单位 ∴t =85 故t 值为1310或85 ②如图，

设直线AB 交l 2 于点H

设点A 横坐标为a ，则点D 横坐标为a +9

由①中方法可知：MN =54a +54 此时点P 到MN 距离为：

a +9﹣8=a +1

∵△PMN 的面积等于18

∴12×(54a +54)?(a +1)=18 解得

a 1=12√55?1，a 2=﹣12√55

?1(舍去) ∴AF =6﹣√52 则此时t 为6√55?12 当t =6√55?12时，△PMN 的面积等于18

七、解答题(本题12分)

24．(12分)已知：△ABC 是等腰三角形，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M 在边AC 上，点N 在边BC 上(点M 、点N 不与所在线段端点重合)，BN =AM ，连接AN ，BM ，射线AG ∥BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE =DE ．

(1)如图，当∠ACB =90°时

①求证：△BCM ≌△ACN ；

②求∠BDE 的度数；

(2)当∠ACB =α，其它条件不变时，∠BDE 的度数是 α或180°﹣α (用含α的代数式表示)

(3)若△ABC 是等边三角形，AB =3√3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．

【分析】(1)①根据SAS 证明即可；

②想办法证明∠ADE +∠ADB =90°即可；

(2)分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，②如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，

(3)分两种情形求解即可，①如图4中，当BN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ．解直角三角形即可．②如图5中，当CN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ．

【解答】(1)①证明：如图1中，

∵CA =CB ，BN =AM ，

∴CB ﹣BN =CA ﹣AM

即CN =CM ，

∵∠ACN =∠BCM

∴△BCM ≌△ACN ．

②解：如图1中，

∵△BCM ≌△ACN ，

∴∠MBC =∠NAC ，

∵EA =ED ，

∴∠EAD =∠EDA ，

∵AG ∥BC ，

∴∠GAC =∠ACB =90°，∠ADB =∠DBC ，

∴∠ADB =∠NAC ，

∴∠ADB +∠EDA =∠NAC +∠EAD ，

∵∠ADB +∠EDA =180°﹣90°=90°，

∴∠BDE =90°．

(2)解：如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，

易证：∠CBM =∠ADB =∠CAN ，∠ACB =∠CAD ，

∵EA =ED ，

∴∠EAD =∠EDA ，

∴∠CAN +∠CAD =∠BDE +∠ADB ，

∴∠BDE =∠ACB =α．

如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，

易证：∠1+∠2=∠CAN +∠DAC ，

∵∠2=∠ADM =∠CBD =∠CAN ，

∴∠1=∠CAD =∠ACB =α，

∴∠BDE =180°﹣α．

综上所述，∠BDE =α或180°﹣α．

故答案为α或180°﹣α．

(3)解：如图4中，当BN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ．

∵AD ∥BC ，

∴AD BC =AM CM =12， ∴AD =3√32，AC =3√3，易证△ADC 是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，△AKN ≌△DCF ， ∴CF =NK =BK ﹣BN =3√32﹣√3=√32．如图5中，当CN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ．

∵AD ∥BC ，

∴AD BC =AM MC

=2， ∴AD =6√3，易证△ACD 是直角三角形，

由△ACK ∽△CDH ，可得CH =√3AK =

9√32，由△AKN ≌△DHF ，可得KN =FH =

√32

， ∴CF =CH ﹣FH =4√3．

综上所述，CF 的长为√32或4√3．

八、解答题(本题12分)

25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =ax 2+bx ﹣1经过点A (﹣2，1)和点B (﹣1，﹣1)，抛物线C 2：y =2x 2+x +1，动直线x =t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．

(1)求抛物线C 1的表达式；

(2)直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；

(3)当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；

【分析】(1)应用待定系数法；

(2)把x=t带入函数关系式相减；

(3)根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．

(4)根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．

【解答】解：(1)∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)

∴{1=4a?2b?1

?1=a?b?1

解得：{a=1

b=1

∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1

(2)∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M

∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1

∴MN=(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)=t2+2

(3)共分两种情况

①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N(t，t2+t﹣1)，A(﹣2，1)

∴AN=t﹣(﹣2)=t+2

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0(舍去)，t2=1

∴t=1

②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M(t，2t2+t+1)，A(﹣2，1)

∴AM=t﹣(﹣2)=t+2，

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0，t2=1(舍去)

∴t=0

故t的值为1或0

(4)由(3)可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：