第八章(第一节矩估计法)

第八章 参数估计

第一节 参数的点估计

在研究总体X 的性质时，如果知道总体X 的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。

在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X 的概率分布就完全确定了。例如，总体),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2

σ的具体数值，我们要想法确定参数2

,μσ 。

为了寻求总体的这些参数的值，我们可对总体进行调查，很自然的会想到用从总体X 中抽取得的样本值n x x x ,,,21???，对总体中的未知参数作

出来估计，这类问题就是参数估计。

参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。

设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知，其中θ是未知参数（也可以是未知向量12(,,,)m θθθθ=???）。

现从总体X 中抽得一个样本n X X X ,,,21???,

相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,21???；

点估计的问题就是要构造一个

适当的统计量12?(,,,)n

X X X θ???，用它的观察值12?(,,,)n x x x θ???来估计未知参数θ。 统计量12?(,,,)n X X X θ???称为θ的估计量，12?(,,,)n x x x θ???称为θ的估计值。

在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为?θ。

下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。

一、 矩估计法

矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。

例1 某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用寿命),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2σ的具体数值。为了确定该批灯泡的质量,自然要求估计这批灯泡的平均寿命以及寿命的差异程度,即要求估计μ和2σ的值.

为了对参数μ和2σ进行估计，

我们从总体中抽取样本n X X X ,,,21???（对于一次具体的抽取，他就是具体的数值n x x x ,,,21???,在不致引起混淆的情况下，今后也用n x x x ,,,21???表示随机变量），根据样本矩在一定程度上

反映了总体矩的特征，自然想到用样本矩作为总体矩的估计。

于是，我们分别用样本均值和样本方差作为总体均值μ和总体方差2σ的估计，记为μ?和2

?σ，即有 X X n

n

i i ==∑=11?μ , (8.1)

∑==--=n

i i S X X n 12

22)(1

1?σ ,(8.2) 显然，μ?和2?σ都是样本n X X X ,,,21???的函数，是统计量，分别称为μ和2σ的矩估计量。若n

x x x ,,,21???为样本值,则称 x n n

i i

==∑=11?μ, ∑==--=n

i i

s x x n 12

22)(11?σ, 分别为μ和2σ的矩估计值.对于不

同的样本值，估计值也是不同的。

这种用样本矩来估计相应的总

体矩的方法，称为矩估计法。

矩估计的理论根据和方法： 设总体X 的分布函数为

),,,;(21m x F θθθ???,未知参数m θθθ,,,21???; 总体矩:

),,,(21m k k a EX θθθ???=,m k ,,2,1???= 或 ),,,()(21m k k b EX X E θθθ???=-,

m k ,,2,1???=;

n X X X ,,,21???为来自于总体X 的样本, n

x x x ,,,21???为样本值(观察值,抽样结果,具体记录下来的一组数).

样本矩: ∑==n

i k

i

k X n A 11, k

i

n

i k X X n B )(11-=∑=, 2

12)(11X X n S i

n

i --=∑= 在一定条件下，

k

k

P n

i k i k a EX X n A =?→?=∑=11, (∞→n ) 或

k k

P k i n

i k b EX X E X X n B =-?→?-=∑=)()(11 于是，

可令 ∑==n

i k

i k X n A 11 作为 k k

EX a =的近似值,k k a A ≈

即令(人为作出方程组)

k m k A a =???),,,(21θθθ,m k ,,2,1???=, 或令

k m k B b =???),,,(21θθθ,m k ,,2,1???=,

得到含m 个未知数的m 个方程式;

解这m 个联列方程组可得到m θθθ,,,21???的一组解(记为):

),,,(??21n i i X X X ???=θθ

,m i ,,2,1???= 则这组解m

θθθ

?,,?,?21???就称作为m

θθθ,,,21???的矩估计量,其观察值称为

矩估计值.

矩估计的另一种观点: 在方程组

),,,(21m k k a EX θθθ???=,m k ,,2,1???=, 中,求解出解

),,,(21m i i EX EX EX θθ=,m i ,,2,1???=; 将其中的k EX 用k A 替换,得到

),,,(?21m

i i A A A ???=θθ),,,(?21n i X X X ???=θ, (m i ,,2,1???=)

称),,,(?21m i i A A A ???=θθ),,,(?21n i X X X ???=θ (m i ,,2,1???=)为i θ(m i ,,2,1???=)的矩估计量;将样本值代入得矩估计值. (或从方程组

),,,()(21m

k k b EX X E θθθ???=-, m k ,,2,1???=,

中,求解出解

))(,,)(,)((21m i i EX X E EX X E EX X E ---= θθ,m i ,,2,1???=;

将其中的k EX X E )(-用k B 替换,得到

),,,(?21m

i i B B B ???=θθ),,,(?21n i X X X ???=θ, (m i ,,2,1???=)

称),,,(?21m i i B B B ???=θθ),,,(?21n i X X X ???=θ (m i ,,2,1???=)为i θ(m i ,,2,1???=)的矩估计量;将样本值代入得矩估计值.)

例 2 有一批零件，其长度),(~2

σμN X ，现从中任取4件，测的长度（单位：mm ）为12.6,13.4,12.8,13.2,

试估计μ和2σ的值。

解 由 13)2.138.124.136.12(4

1=+++=x ,

133.0])132.13()138.12()134.13()136.12[(14122222=-+-+-+--=s 得μ和2σ的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)2。

例3 设总体X 的概率密度为

???<<=-其它

,010,);(1

x x x f θθθ , n

X X X ,,,21???为来自于总体X 的样本, n

x x x ,,,21???为样本值,

求θ的矩估计。

解 先求总体矩

1

110101101+=+==?=??+-θθθθθθθθ

θx dx x dx x x EX

令 X X n A EX n

i i ===∑=111, 即得=+1θθ

,

即有 X )1(+=θθ,

解之得 X

X -=1?θ为θ的矩估计量, x

-=1?θ为θ的矩估计值.

对于作等式的原则，总体矩和样本矩都有多种，要用同样种类的矩列出等式。多个参数时，列等式的方式不唯一，因此，矩估计就得

到不唯一的形式.

例 4 设总体X 的概率密度为

θθθx

e x

f -=21),( ,（+∞<<∞-x ），

0>θ，

求θ的矩估计量θ? .

解法一 虽然),(θx f 中仅含有一个参数θ，但因

021=?=?∞+∞

--dx e x EX x

θ

θ 不含θ，不能由此解出θ，需继续求总体的二阶原点矩

220

2222)3(121θθθθθθ=Γ==?=??∞

+-∞

+∞--dx e x dx e x EX x

x , 用∑==n

i i

X n A 1221替换2

EX ， 2

212221θ===∑=EX X n A n

i i

, 即得θ的矩估计量为 2/121?2

12

A X n n

i i =?=∑=θ ,0>θ 解法二

θθθθθ

θ=Γ==?=??∞

+-∞+∞--)2(1210

dx e x dx e x X E x

x 即 ||X E =θ, 用∑=n

i i X n 11替换X E ，

即得θ的另一矩估计量为

∑==n i i

X n 1^1θ .

此外还需比较估计的优劣性，这一点将在下一节将会介绍，这里不再多说。