《固体物理》试卷B附答案

宝鸡文理学院试题

课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 B 适用专业、年级、班 2008级物理教育专业

一、简答题（每题6分，共6×5=30分）

1、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

2、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

3、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？

4、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

5、简立方、面心立方、体心立方的基本特征

二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分)

三、已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为

2

12

2)

(2)(-

-=

ωωπ

ωρm

N

。

式中m ω是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N 。（15分）

四、由N 个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成3

r N Nv V β==。式中v 为每个原子（离子）平均所占据的体积；r 为粒子间的最短距离；β为与结构有关的常数。试求下列各种结构的β值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵； NaCl 点阵；（15分）

五、一晶体原胞基矢大小m a 10104-?=，m b 10106-?=，m c 10108-?=，基矢间夹角ο

90=α，ο90=β，

ο120=γ。试求：

（1） 倒格子基矢的大小；

（2） 正、倒格子原胞的体积；

（3） 正格子(210)晶面族的面间距。(20分)

宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准

课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班07物理教育

一、简答题（每小题6分，5×6=30分）

1、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j η的声子平均数为

1

1)()

/()(-=

T k q w j B j e

q n η

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。 3、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？

解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。 4、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

5、简立方、面心立方、体心立方的基本特征：

简立方的基本特征：晶胞常数为a ，包括一个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a ，配位数为6。故

r a 2=，则致密度为：334/30.52

6r a ππ

==

面心立方基本特征：

晶胞常数为a ，包括四个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a

22

，配位数为12。故r a 222=，

则致密度为：

3

3

4(4/3)0.746r a π?==

体心立方基本特征：

晶胞常数为a ，包括两个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a

23，配位数为8。故r a 223=，则

致密度为：33

2(4/3)0.68r a π?==

密排六方基本特征：晶胞常数为a ，包括六个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为

a=2r ，配位数为12。

()2

22

3322???? ??=??? ??-a c r ，则2

/138??? ??=??? ??a c ，

则致密度为：

74.06

223334

62

3==??

π

πc

a r

二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分)

解：我们知体心立方格子的基矢为：

???

?

?

????-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a （3分）

根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：

???

?

?????+=Ω?=+=Ω?=+=Ω?=)(2][2)(2][2)(2][2213132

321

j i a a b k i a a b k j a a b a a a

ππππππ (5分) 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。（2分）

三、已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（15）

2

12

2)

(2)(-

-=

ωωπ

ωρm

N

。

式中m ω是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N 。

解：由题意可知该晶格的振动模总数为

()m

N d ωρωω=

? (3分)

122

2

2()

m

m

N d ωωωωπ

-

-=

?

（2分）

N N N

m

m

=-=

=)02

(2arcsin 20

π

πωωπω （5分） 四、由N 个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成3

r N Nv V β==。式中v 为每个原子（离子）平

均所占据的体积；r 为粒子间的最短距离；β为与结构有关的常数。试求下列各种结构的β值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵； NaCl 点阵；（15分）

解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积3

3

r a v ==，故1=β； （2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33

3

22)2(4

14

1

r r a v =

==，故2

2=β； （3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积3

33934)32(

212

1

r r a v ===，故934=β； （4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积3

339

38)34(

818

1

r r a v ===，故938=β； （5）在NaCl 点阵中，每个原子平均所占据的体积333)2(8

1

81r r a v ===；故1=β。 五、计算题(20分)

一晶体原胞基矢大小m a 10

10

4-?=，m b 10106-?=，m c 10108-?=，基矢间夹角ο90=α，

ο90=β，ο120=γ。试求：

（1）倒格子基矢的大小； （2）正、倒格子原胞的体积； （3）正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：

ai =1a ，)2

3

21(2j i a +

-=b ，k a c =3

由此可知：

][23213

21a a a a a b ???=π

=abc bc 2

3)2123(

2j i +π

=)3

1(2j i +a π

]

[23211

32a a a a a b ???=π

=abc ac 2

32j π

=

3

22?b π ][2321213a a a a a b ???=π=abc ab

2

3

232k

π=k ?c π2 所以1b ＝

22)3

1

(12+?a π＝

110108138.134-?=m a π 2b ＝2)3

2

(2?b π＝

110102092.134-?=m b π 3b ＝

212?c π＝110107854.02-?=m c

π (2) 正格子原胞的体积为：

][321a a a ??=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ?+-?＝328106628.12

3

m abc -?=

倒格子原胞的体积为：

][321b b b ??=Ω*

＝)](2)3

2(2[)31(2k j j i c b a π

ππ??+＝

3303104918.1316-?=m abc π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：

h h d K π2=

=3210122b b b ++π=j i )3434(42b

a a π

πππ

++ =

m b

a a 1022104412.1)3131()1(1

42-?=++?π

π