长方形的面积与周长的关系

学生动手探究面积与周长的关系

教学目标：

1、在自主探究活动中，发现“当长方形的周长一定时，长和宽越接近面积就越大，正方形的面积最大”的规律。

2、在主动探索、交流的过程中，尝试用枚举法、列表等方法探究规律，体会有序思考及数形结合的思想。

3、体会数学在生活中的应用价值，更加喜欢探索数学知识。

教学重点：经历探究过程，发现长方形周长和面积之间的关系。

教学难点：学会有序全面的思考问题。

教学过程：

一、引入。

师：这里有两根铁丝，一根长20厘米，一根长24厘米，用这两根铁丝分别围成一个长方形。猜一猜，哪根铁丝围成的长方形面积大？生1：用24厘米围出的长方形面积大。（其他同学都表示同意）师：为什么？

生：因为24厘米比20厘米长。

师：你们的意思是周长长的面积就大？

生：是的。

师：真的是这样吗？

生1：不一定。（更多的孩子陷入了沉思）

师：看看，有不同的声音出现了吧？有什么办法能验证这个想法是不是正确呢？数学上经常用的方法是找“反例”，也就是只要能找到一个周长短但面积反而大的例子就能证明刚才的说法是错误的。试一试，你能找到反例吗？

学生独立思考、尝试后，全班交流：

生1： 4cm 图一

6cm

1cm

11cm 图二

图一的周长是（4+6）×2=20（cm）,面积是4×6=24（cm2）

图二的周长是（1+11）×2=22（cm），面积是1×11=11（cm2）

周长是20的长方形面积是24，比周长是22的面积11大多了。

师：你是怎么想到长方形的长与宽是4和6的？

生1：（长+宽）×2=周长，所以“周长÷2=长+宽”，长+宽=10，我就想到长是6cm，宽是4cm。

师：大家听明白了吗？根据长方形的周长先求出长加宽的和是几，再举例子验证，是个好方法！经过验证，我们发现，周长长的长方形面积真的不一定大。

师：如果我们用两根24厘米长的铁丝分别围出一个长方形和正方形，这两个图形的周长分别是多少？

生：周长都是24厘米。

师：它们的周长相等，那么你来猜一猜它们谁的面积大？

学生的想法不一。

师：在周长一定的情况下，你们有了这样的猜想：长方形的面积大；正方形的面积大；长方形和正方形的面积一样大（板书）怎么验证哪个猜想正确呢？

生：可以举例子，列出长方形的长和宽及正方形的边长，求出面积来验证。

生：还可以画出长方形和正方形，算出它们的面积来验证。师：围出的长方形的长和宽是多少呢？面积是多少呢？还有没有其它不同的长方形呢？你能不能把它们一一列举出来。

【意图：上课伊始，通过拿两根长度不同的铁丝围成长方形让学生比较面积大小，引起思考，引发猜想，激发学习欲望，既复习了“长方形的周长与长加宽的关系”这一旧知，同时也让学生初步感受到“得出正确的结论一定要经过验证”、“可以采用找反例的方法来验证结论是否正确”。在此基础上，引发学生进行第二次猜想，顺势引出新课的学习。】

二、展开。

1、学生独立思考，填写练习纸上的如下表格。

用24cm长的铁丝围一个长方形或正方形，它的面积可能是多少？

序号周长（cm）长（cm）宽（cm）面积（cm2）

① 24 11 1 11

② 24 10 2 20

③ 24 9 3 27

④ 24 8 4 32

⑤ 24 7 5 35

⑥ 24 6 6 36

师：仔细观察，你发现什么规律了吗？先在小组内交流一下。

小组交流后，全班交流：

生1：我发现从上往下看，长越来越小了。

生2：从上往下砍，宽越来越大了。

师：长越来越大，宽越来越小，说明长与宽相差得越来越——

生：小。

师：长与宽相差得越来越小，我们就说长与宽越来越接近。还有什么发现？

生3：从上往下看，面积越来越大。

生4：我发现，正方形的面积最大。

师：面积的大小变化与长和宽的大小变化有联系吗？有什么联系呢？再仔细看看，好好想一想？

生5：我长与宽越接近，长方形的面积越大。当长与宽相等的时候，面积是最大的。

师：同学们真了不起！发现了长方形的周长与面积之间的关系：当周长一定时，长和宽相差越小，围成的面积越大。正方形的面积比长方形的大。可是，你们想一想，为什么当周长一定时，长与宽越接近，它的面积就越大呢？下面，那我们来看一看课件演示来解答这个秘密。

课件动态演示：

师：当长减少1厘米时，面积就相当于减少了1平方厘米，我们来看看，减少的是哪部分。（课件闪动）当宽增加1厘米时，面积就相当于增加了10平方厘米，我们再来看看，增加的是哪部分，实际上面积就增加了多少平方厘米？（9）

师：再认真观察，当长又减少1厘米时，面积就相当于减少了2平方厘米，我们来看看，减少的是哪部分，（课件闪动）当宽增加1厘米时，面积就相当于增加了9平方厘米，我们再来看看，增加的是哪部分，实际上面积就增加了多少平方厘米？（7）

师：我们接着往下看看，看看减少的是哪部分的面积，增加的是哪部分的面积？

生：我明白了，减少的和增加的数量不一样，长与宽越接近，实际增加的越多，面积就越大。

师：同学们，当我们得出一个结论的时候，不光要知道这个结论是什么，还要深入思考为什么会有这样的结论。

【意图：让学生在刚刚验证猜想后通过动态直观图的展示，让学生对待数学知识“不但知其然，而且知其所以然”，培养学生严谨的学习态度。另外，结合图形让学生理解，促使形象思维与抽象思维相结合，最终把复杂问题变得简单，让学生更加深入地理解所验证的结论。】

三、应用。

1、判断并说明理由。

（1）正方形的面积比方形面积大。（）

（2）周长相等的长方形，面积也相等。（）

【意图：让学生更好地体会长方形的周长和面积之间的关系。只有在周长一定的时候，才可以去比较长正方形的面积，再次体会当周长一定的时候，面积是会发生改变的。】

2、介绍“大数学家欧拉的故事”：

欧拉是著名的数学家，他小时候，要帮助爸爸放羊。爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，面积正好是600平方米，爸爸算了算，围这样一个羊圈，需要用110米长的篱笆，可他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。正当父亲感到为难的时候，小欧拉却向父亲说：“我能用100米长的篱笆，围成一个比这个羊圈面积还大的羊圈。”

你知道欧拉是怎样解决爸爸的这个难题的？

师：请你先在纸上算一算，然后和同伴交流你的意见。

师：我们来看看欧拉是不是像你们这样解决的。欧拉的确把原来计划中的羊圈变成了一个边长为25米的正方形。他用仅有的100米的材料，不仅解决了这个问题，而且还使羊圈的面积变大了。你们看，这就是学习数学的价值所在，学习数学可以使我们越变越聪明。

【意图：选用数学家小时候的故事，更能激发学生解决问题的欲望，获得更多成功的喜悦，更能体会到了学习数学的价值——可以使我们变得越来越聪明。】

四、回顾与总结

通过本节课的学习，你有什么体会？

学生动手探究面积与周长的关系

朱桥小学张伟华

小学三年级面积的教学内容，是在学生已经掌握了长方形和正方形的特征，并会计算长方形和正方形周长的基础上进行的。小学生从学习长度到学习面积，是空间形式认识发展上的一次飞跃。学习面积时我有意将周长内容渗透，以我多年数学教学经验来看，学生经常会将周长与面积混淆，面积内容的学习，不仅有利于发展学生的空间观念，提高解决简单实际问题的能力，而且还能为以后学习其他平面图形的面积计算打下基础。我在教学时要求每个学生先动手自主探究画出图形的周长与面积，感知面积与周长的关系。下面我谈谈我在教学本单元中是如何利用学生动手探究来学习面积，以及区分面积与周长。

学好本单元，利用学生已经认识了长方形和正方形等图形的特点，让学生动手操作探究，通过观察、测量、估算、概括、推理等技能来学习本单元的知识，收集、分析、处理学生在生活中会遇到一些与面积单位有关的常识，如：我家是边长是10米的正方形，每平方米的房价是3500元求出我家的周长和总房价等，但学生头脑中并没有形成面积单位的概念，在学生看来面积单位和长度单位更抽象、更不易理解、更容易混淆。因此，在认识面积单位时要我让学生在教室地上利用米尺先画出边长是1米的正方形，再用红色和黄

色标出面积和周长，感觉面积（1平方米）和周长（4米）的大小和长短，这样联系生活实际来理解和记忆面积单位和长度单位，会让学生较快地在头脑中建立面积单位和长度单位的表象。学生建立两者表象后，再让学生运用所学的面积单位估计生活中物体表面的大小，在应用的过程中使学生对面积单位和周长单位的认识更加深刻。

教学目标

1.结合实例使学生认识面积与周长的含义，能用自选单位估计和测量图形的面积和周长;体会引进统一的面积单位的必要性，认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米、平方千米和公顷，通过学生动手剪、动手画建立1平方米、1平方分米、1平方厘米、1米、1分米、1厘米的的表象;熟悉相邻两个单位之间的进率，会进行简单的单位换算，同时更好的理解面积单位与周长单位。

2.小学三年级下册数学教学案例：使学生动手探究并掌握长方形、正方形的面积公式和周长公式，获得探究学习的经历;会应用公式正确计算长方形、正方形的面积和周长，能估计给定的长方形、正方形的面积和周长。

教学重点

1.使学生理解面积的意义，掌握常用的面积单位，建立面积单位的表象。

2. 让学生通过动手实践、交流发现长方形、正方形面积和周长的计算方法，掌握面积和周长的计算公式。

3. 理解面积的意义，认识面积单位及掌握相邻面积间的进率是100。复习周长的意义认识周长单位及掌握相邻长度间的进率是10。

教学难点

1.使学生建立面积的概念，建立面积单位的表象。

2.在动手操作中体会引进统一面积单位的必要性。

3.加强长方形、正方形面积计算和周长公式的推导。

4.面积概念及常用的面积单位形成的过程。

本单元的概念较多，也较重要。为帮助学生建立概念，教材较充分地展现了概念的形成过程。如，面积概念，是本单元的一个重要起始概念，教材从比较封面的大小和比较平面封闭图形的大小入手，由学生直接比较到间接比较，以利于学生通过多种动手实践比较活动，在获得多种感性认识的基础上，抽象出面积的概念。重视常用面积单

位表象的形成。形成常用面积单位的表象，也就是形成常用面积单位实际大小的观念。这对学生巩固面积的概念，学会根据实际情况选用适当的面积单位，以及进一步形成关于面积的估测能力，都有重要意义。教材除了介绍每个面积单位时，说明它的含义之外，还引导学生通过观察、用手比划等多种方式，让学生感受1平方厘米、1平方分米、1平方米的实际大小，初步形成面积单位实际大小的表象。进一步，再让学生经历各种估计面积的实践活动，来巩固表象。强化概念的比较辨析。这是防止概念混淆，促成概念精确分化，加强记忆的有效措施。以面积单位为例，教材所采取的措施，一是加强不同大小面积单位之间的比较，二是加强面积单位与相应的长度单位之间的辨析。这些措施，都有利于学生建立清晰的面积单位概念。让学生经历探究的过程。教材在讨论长方形、正方形的面积计算时，注意创设适宜的问题情境，使学生在任务驱动下，亲身经历比较完整的探究过程。此外，在讨论常用面积单位之间的进率时，以及在部分习题中，都注意给学生留下适当的探究空间，使他们能在完成练习的同时，获得探究的体验。

教学建议

1.通过学生自主探究变概念的机械学习为有意义学习。

在数学概念学习中，机械学习是指学生仅能记住数学概念的描述、符号，却不理解它们的内在涵义，更不理解与有关概念的联系。

有意义学习是指学生不仅能记住所学概念的描述或符号，而且理解它们的内在涵义，了解与相关数学概念的实质性联系。通俗地说，也就是在理解的基础上掌握概念。仍就面积单位的学习来说，可以从三方面促进学生理解概念。一是初步动手感知为什么选用正方形作为面积单位的形状;二是知道亲身体验每个面积单位是怎样规定的;三是通过动手比较了解面积单位与相应长度单位的内在联系。

2.加强直观教学，丰富学生的直接经验。

在空间与图形的教学中，提供直观往往是认识的起点，学习的开端。用好直观手段，加强直观教学，对于掌握空间与图形的知识具有重要意义。

在本单元的教学中，应加强动手操作活动，让学生通过手、口、眼、耳多种感官的协同活动，特别是通过动手实验，在做中学，有利于丰富学生的感性认识，有效地提高知识摄取的效果。

在本单元的教学中，还要注意发挥各种直观手段的优势，扬长避短。有些内容，如有条件制作多媒体课件，当然好。但也有些内容，如认识面积单位，与其使用多媒体，不如使用常规教具和学具，让学生真实感受面积单位的实际大小，获得实实在在的直接经验，更有利于表象的形成。

3.让学生探究，主动获取结论。

为了改变以往教学中，过于强调单纯的接受学习，而且是以被动接受为主的倾向，有必要选择适当的内容，提供一定的空间，引导学生主动探究学习。

在本单元中，周长与面积的计算等内容探究的难度不大，结论比较容易发现，而且便于展开直观的操作实验，因此是小学数学中比较适宜让学生探究的课题，教师应当充分利用教学内容的这些特点，组织学生开展动手自主探究学习。