2013-2014学年第二学期《微积分B》期末考试试卷(A)
北 京 交 通 大 学 考 试 试 题（A 卷）
课程名称： 微积分BII 学年学期： 2013—2014学年第2学期 课程编号： 73L178Q 开课学院： 理学院 出题教师：
一、选择题（每小题2分，满分10分）
1. 下列级数中，条件收敛的是 （A ）
()-+-=∞
∑12413
1n n n n
（B ）
()
-?? ?
?
?-=∞
∑1231
1n n
n （C ）
()
--=∞
∑111
21n n n （D ）
()--=∞
∑11211
n n
n n
答：（）
（A ）
2. 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果
为
答 ( )
学生学院 班级 学号 姓名 任课教师
------------------------------------装 -------------------------------------------------------------------订--------------------------------------线-----------------
D. 10
3.曲面z x y =+2322在点(,,)1214处的切平面方程为 （A ）41214x y z ++= （B ）41242x y z ++= （C ）41242x y z +-= （D ）41214x y z +-=
答：（
）
D
4. 设∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面下侧，则
答 ( )
(B) 10
5．函数z x y =+2在点（1，2）沿各方向的方向导数的最大值为：
(A) 3
(B) 0
(C)
5
(D) 2
答（ ） 答：(C) 二、填空题（每小题2分，满分10分）
1．设函数z z x y =(,)由方程sin x y z e z
+-=2所确定，则
??z
x
= ——— 。
cos x
e
z
1+ 10分
2.
解：π )d )(2
1(22
?+=
L
s y x
I
3.
设f x x x x (),
,=≤<
≤≤??
??
?0022
π
π
π，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数
展开式的和函数，则()S -3π=______ 。
π
（10分）
4．二次积
分f (x ,y )d y 在极坐标系下先对r 积分的二次积分为
___________.
10
5．设有逐段光滑的平面曲线L ：y =f (x ) (f (x )≥0).将L 绕ox 轴旋围，则所得旋转面面积可用曲线积分表示为___________.
答
三、（10分）
设f u v (,)具有二阶连续偏导数，z f x x
y =(,)，求??22z x
。
z f y
f x u v =+
1
（4分）
??2222221
z x f y f y f u
uv v
=++ （10分）
四、（10分）
求函数z x y x =+-2
2
32在闭域D x y :22
94
1+≤上的最大值和最小值。 由??
?===-=060
22y z x z y
x
得D 内驻点(,)10，且z (,)101=-。
3分
在边界x y 22
94
1+=上， ()z x x x 121
3212
33=--+-≤≤
'=-- 20 z z 1131533()()-== 8分 比较后可知 函数z 在点(,)10取最小值z (,)101=- 在点(,)-30取最大值z (,)-=3015 10 分 五、（10分） 求二元可微函数),(y x ?，满足1)1,0(=?，并使曲线积分 = 1I 及 都与 积分路径无关。 六、（10分） 计算 其中∑是旋转抛物面x 2+y 2=a 2z 在0≤ z ≤1中的部分曲面的下侧，a 为正数。 补平面块∑1：Z =1, x 2+y 2≤a 2, 取上侧。 ∑和∑1围成立体Ω。由高斯公式 七、（10分） 试求级数 () ∑∞ =---1 1 1 21 1n n n 的和。 设幂级数()() ∑∞ =----= 1 1 21 1 21n n n n x x s 此幂级数的收敛域是[]1,1-。 ……3分 当()1,1-∈x 时，有： ()()dx x x s n n n x ?? ? ??-?=∑∞=--1221 01 (5) 分 dx x x 2 11 +?= x arctan = (7) 分 由于()x s 在[]1,1-上连续，故在[]1,1-上， 有()x x s arctan =，从而 ()()4 π 11 211 1 = =--∑∞ =-s n n n ……10分 八、（10分） 试求半球面 222y x z --= 被抛物面z y x =+22所截而适合22y x z +≥的一 部分曲面∑的面积S 。 ??∑ =dS S 2 ∑在xoy 面上的投影域为D ：x 2+y 2≤1. 面积元素为2 22 2222222221y x d x d y d x d y y x y y x x dS --=??? ? ??---+???? ??---+= 5 π -=-?π?=-?θ=--=∴?? ?? π )12(22)12(22222220 1 2 2 2r rdr d y x dxdy S D 10 九、（10分） 修建一座容积为V ，形状为长方体的厂房，已知屋顶每单位面积的造价是墙壁每 单位面积造价的两倍，地面造价不计，问如何设计，可使其造价最低？ 设长方体的长、宽、高分别为x y z ,, 墙壁每单位造价为k 则总造价为 C kxy kxz kyz =++222。 且 xyz V = 令 ()L kxy kxz kyz xyz V =+++-222λ 4分 由 ???????=-==++==++==++=0 022022022V xyz L xy ky kx L xz kz kx L yz kz ky L z y x λλλλ 得 x y z V ===3 8分 由于实际问题的最小值必定存在，因此当厂房的长、宽、高取相 同值V 3时，其造价最低。 10分 十、（10分） 计算曲线积分 其中L 是以点)0,1(C 为中心，R 为半径的圆周 )1(≠R ，取逆时针方向。