(完整版)《应用数理统计》吴翊_习题解答
第一章 数理统计的基本概念
P26
1.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12n
n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=????L ，，，.
()()()()1
n n n f x F x n F x f x -'=??=??????.
(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>>L ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>L
{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤???????L ()11n
F x =-?-???
()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-????
?.
1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，
，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？
（ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？
解：()~124X N Q ，
，5n =，4
~125
X N ??
∴ ??
?，. （i ）
{}{
}
()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ????
???>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.
{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>>L ，，， {}{}{}5
5
5
1
1
11011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-
()12
~012
X Y N -=
Q ，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---????
∴<=<=<-=<-???
?????
{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=. {}[]5
min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.
（iii ）
{}{}{}{}{}5
5
max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-?
{}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.
1.4 试证：
（i ）()()()2
2
2
1
1
n
n
i i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成立。并由此证明当a x =时，()
2
1
n
i i x a =-∑达到最小。 （ii ）()
2
2
2
1
1
n
n
i i
i i x x x nx ==-=-∑∑，其中11n
i i x x n ==∑。
证明：（i ）()()()
()()()
2
2
2
2
1
1
12n
n
n
i i i i i i i x a x x x a
x x
x x x a x a ===??-=-+-=-+--+-????
∑∑∑ ()()(
)(
)
()
()()()
2
2
2
2
11
122n
n
n
i i i i i i x x
x a x x n x a
x x
x a nx nx n x a
====-+--+-=-+--+-∑∑∑
(
)
()
2
2
1
n
i i x x
n x a
==-+-∑.
当a x =时，()()()()2
2
2
2
1
1
1
n
n
n
i i i i i i x a x x n x x x x ===-=-+-=-∑∑∑达到最小。
（ii ）()()
2
2
2
2
2
22221
1
1
1
1
1
222n n
n n n n
i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x nx x x nx nx x nx ======-=-+=-+=-?+=-∑∑∑∑∑∑.
P27
1.5 设1X ，2X ，…，n X 为正态总体()2
~X N μσ，的样本，令1
1n
i i d X n μ==-∑，试证
()E d ，()221D d n
σπ?
?=- ???。
证明：①()2~X N μσ，，则()2~0i X N μσ-，.
()1111n
n
i i i i E d E X E X n n μ
μ==??=-=- ???∑∑
. 222
2
2
22222220
0222--
-+∞
+∞
+∞-∞
??
-=- ???
?y y y i y E X y e
dy ye
dy e d σ
σ
σσμσ
22
20
y e
σ
+∞
-
=?.
(
)11n i E d n n =∴==?.
② ()()()2
22i i i E X D X E X μμμσ-=-+-=.
(
)2
2
2222
21i i i D X E X E
X μμ
μσσσππ
?
?
∴-=---=-
=- ??
?
.
()2222211111112211n n n
i i i i i i D d D X D X D X n n n n n n σμμμσππ===????????∴=-=-=-=?-=- ? ? ? ?
????????
∑∑∑.
1.6 设总体X 服从正态()2N μσ，，1X ，2X ，…，n X 为其子样，X 与2S 分别为子样均值及方差。又设1n X +与1X ，2X ，…，n X
独立同分布，试求统计量Y = 解：由于1n X +和X 是独立的正态变量，
∴2~X N n σμ??
???，，()21~n X N μσ+，，且它们相互独立.
()()()
110n n E X X E X E X μμ++-=-=-=.
()()()
2
111n n n D X X D X D X n
σ+++-=+=
. 则211~0n n X X N n σ++??
- ???
，
. ()01N ，. 而
()2
2
2
~1nS n χ
σ-，且
2
2
nS σ与1n X X +-相互独立，
则()1T t n -.
1.7 设()~T t n ，求证()2~1T F n ，.
证明：又t 分布的定义可知，若()~01U N ，
，()2~V n χ，且U 与V 相互独立，则
()~T t n ，这时，22
U T V n =，其中，()22~1U χ. 由F 分布的定义可知，()2
2
~1U T F n V n
=，.
1.9 设1X ，2X ，…，1
n X 和1Y ，2Y ，…，2
n Y 分别来自总体()21N μσ，和()22N μσ，，且相互
独立，α和β
(12
X Y αμβμ-+-
其中()
1
2
211
11n i i S X X n ==-∑，()
2
2
221
21n i i S Y Y n ==
-∑。
解：
211~X N n σμ?? ???Q ，，222~Y N n σμ??
???，，1X μ-与2Y μ-相互独立，
211~0X N n σμ??
- ???，，222~0Y N n σμ??- ???，，
()()
222212
12~0X Y N n n ασβσαμβμ??
∴-+-+ ??
?
，()~01X Y N αμβμ-+-，. ()2
2
1112
~1n S n χσ
-Q ，
()2222
22
~1n S n χσ
-，且21S 与22S 相互独立，
()2221122
122
2
~2n S n S n n χσ
σ
∴
+
+-.
(()12
12~2X Y t n n αμβμ-+-
+-，
(()12
12~2X Y t n n αμβμ-+-+-.
第二章 参数估计（续）
P68
2.13 设总体X 服从几何分布：{}()
1
1k P X k p p -==-，12k =L ，，，
01p <<，证明样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。
证明：Q 总体X 服从几何分布，
∴()1=
E X p ，()21-=p D X p
. 1o
()()11111
11==????===??== ? ?????∑∑Q n n i i i i E X E X E X n E X n n n
p p .
∴样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的无偏估计量。
2o
()2222
11111
11==--????===??= ? ?????∑∑n n i i i i p p D X D X D X n n n n
p np . ()()()()11
11ln ln 1ln 1ln 1-??=-=+--?
?
；X f X p p p p X p .
()111
ln 111111f X p X X p p p p p
?--=-=+?--；.
()()2112
22ln 11
1f X p X p p p ?-=-+?-；.
()()()()2111222
22ln 111111f X p X X I p E E E p p p p p ???????--=-=--+=+???????--??????????
； ()()()()12222221111111111111??-=
+-=+?-=+? ?---??p
E X p p p p p
p p p ()()()()
222
1111
111-+=+==---p p p p p p p p p .
()()()
2
422
111111??'???? ???
????===-????-n p p e p D X n I p n np p p .
∴样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的有效估计量。
3o
证法一：()
2
1lim lim
0→∞
→∞-==Q n n p
D X np ，01p <<.
∴样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的相合估计量。
证法二：
()()
2
11??'???? ???????==??Q n p e D X n I p ，()()
2
1??'???? ???????∴=?p D X n I p . ()()2
1lim lim 0→∞→∞??'???? ???
????==?Q n n p D X n I p . ∴样本均值1
1n i i X X n ==∑是()E X 的相合估计量。
证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的， 即对于任给0>ε，有(){}
lim 0→∞
-≥=n P X E X ε.
因此，样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的相合估计量。
综上所述，样本均值1
1n
i i X X n ==∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。
2.14 设总体X 服从泊松分布()P λ，1X ，2X ，…，n X 为其子样。试求参数2
θλ=的
无偏估计量的克拉美——劳不等式下界。 解：2
θλ=. ()2g λλ=. ()2g λλ'=.
{}!
-==
k
P X k e k λλ. 012=L ，，，k
()111ln ln ln !=--；f X X X λλλ.
()11ln 1?=-?；f X X λλλ.
()211
22
ln ?=-?；f X X λλλ
. ()()[]2111122222ln 1???????=-=--====?????????????；E X f X X X I E E E λλλλλλλλλ. ∴参数2θλ=的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为：
()()()22
2
33
22441g nI n n n θλλλλθλλ
='????==?
=.
2.19 设总体X 服从泊松分布()P λ，0λ>，1X ，2X ，…，n X 为来自X 的一个样本。
假设λ有先验分布，其密度为()0
00
e h λλλλ-?>=?≤?，，，求在平方损失下λ的贝叶斯估计量。
解：X 服从泊松分布()!
i
x
i P e x λλλ-=
，12=L ，
，，i x n . λ的先验分布密度为()000e h λλλλ-?>=?
≤?
，，. 给定λ，样本的分布列为：
()()1121211
120!!!!00=--==?∑?==>?
==???
≤?
∏∏L L L ，，，，；，，，，n
i
i x n nx n n i n n n i i i i e e x n x x x g x x x P x x λλλλλλλλ λ的后验概率密度为：
()()()
()()1212120000+∞
?>??=??
≤??
?L L L ，，，，，，，，，，，n n n g x x x h g x x x g x x x h d λλλλλλλ
λ 从而在平方损失下，λ的贝叶斯估计为：
()12?=L ，，，n E x x x λλ
()()()()()120
120120
+∞
+∞
+∞
==???
L L L ，，，，，，，，，n n
n g x x x h d g x x x d g x x x h d λλλλ
λλλλλλ
.
()()0
111
10
1
!
!
nx n n
n nx i
i nx n n nx n
i
i e e d x e d e
e
d e d x λ
λλλλ
λλλλ
λλλλλ
λ
-+∞
-+∞
-++=-+∞
-++∞
-=?
?=
=
??
∏??
?
∏………………………………………（*）
其中，
()()11110011
n n nx nx e d d e n λλλλλ+∞
+∞-+-+++??
=-
??+?? ()()11110011n n nx nx e e d n λλλλ+∞-+-+++∞
+??=--?
???+? ()()()1100110111n n nx nx nx nx e d e d n n λλ
λλλλ+∞+∞-+-++??=--+=???
?++??…………………（**） 将（**）式代入（*）式得：
()()()101210
111?1n nx n n nx nx e d nx n E x x x n e d λ
λλλλλλλ
+∞-++∞
-++++===+??L ，，，， 即为在平方损失下λ的贝叶斯估计量。
第三章 假设检验
P131
3.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解：本题需检验0H ：0μμ≥，1H ：0μμ<.
Q 元件寿命服从正态分布，0σ已知， ∴当0H
成立时，选取统计量u =
，其拒绝域为{}V u u α=<.
其中950X =，01000μ=，25n =，0100σ=.
则 2.5u =
=-.
查表得0.05 1.645u =-，得0.05u u <，
落在拒绝域中，拒绝0H ，即认为这批元件不合格。
3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2
N
μσ，，其中40σ=（kg / cm 2
）
。现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20（kg / cm 2）。设总体方差不变，问在0.01α=下能否认为这批钢索质量有显著提高？
解：本题需检验0H ：0μμ=，1H ：0μμ>.
Q 钢索的断裂强度服从正态分布，0σ已知， ∴当0H
成立时，选取统计量X u =
，其拒绝域为{}1V u u α-=>.
其中040σ=，9n =，020X μ-=，0.01α=.
则 1.5u =
=.
查表得10.990.01 2.33u u u u αα-==-=-=，得0.99u u <，
未落在拒绝域中，接受0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高。
3.5 测定某种溶液中的水分。它的10个测定值给出0.452%X =，0.035%S =。设总体为正态分布()2
N
μσ，，试在水平5%检验假设：
（i ）0H ：0.5%μ>； 1H ：0.5%μ<. （ii ）0H ：0.04%σ≥； 1H ：0.04%σ<. 解：（i ）总体服从正态分布，0σ未知， 当0H
成立时，选取统计量X t =
(){}
1V t t n α=<-.
查表得()()0.050.9599 1.8331t t =-=-.
而()4.114 1.83311t t n α=
=-<-=-.
落在拒绝域中，拒绝0H .
（ii ）总体服从正态分布，μ未知， 当0H 成立时，选取统计量2
2
20
nS χσ=，其拒绝域为(){}2
21V n αχ
χ=
<-.
查表得()2
0.059 3.325χ=.
而()
()
()2
2
2
2
100.035%7.65610.04%n αχχ?=
=>-.
未落在拒绝域中，接受0H .
3.6 使用A （电学法）与B （混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡 / 克）：
方法A ：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，
80.02，80.00，80.02
方法B ：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97
假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。检验0H ：两种方法的总体均值是否相等。（0.05α=） 解：
假设方法A 、方法B 所得数据分别服从正态分布()21
1
~X N μσ，和()22
2
~Y N μσ，.
其中113n =，28n =，12σσσ==. 本题需检验0H ：12μμ=，1H ：12μμ≠. 测得的数据服从正态分布，σ未知， 当0H 成立时， 选取统计量
X Y
t =
其拒绝域为()12122V t t n n α-
??
=>+-????
.
查表得()0.97519 2.093t =，
又计算得80.020X =，79.98Y =，
()
13
2
21
1
10.0005313i i S X X
==-=∑，
()
8
2
22
1
10.000868i i S Y Y
==-=∑.
代入得()1212
3.3082 2.093t t
n n α
-
=>+-=，
落在拒绝域内，拒绝0H .
3.7 今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件测其口径，数据记为1X ，
2X ，…，6X 及1Y ，2Y ，…，9Y ，计算得
6
1
204.6i
i X
==∑，621
6978.93i
i X ==∑；91
370.8i i Y ==∑，9
21
15280.173i i Y ==∑
假定零件口径服从正态分布，给定显著性水平0.05α=，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方差无显著性差异？
解：本题需检验0H ：12σσ=，1H ：12σσ≠.
Q 零件口径服从正态分布，均值未知，
∴选取统计量()()2
1212
212
11n n S F n n S -=-， 其拒绝域为()()121212
21111V F F n n F F
n n αα-????
=<-->--?????
??
?
U ，，. 查表得()0.97558 4.82F =，，()()
0.0250.97511
580.14885 6.76
F F ==
=，
，. 而()
1
11
2
222
1
11
1111112n n n i i i i i i S X X
X X X n X n n ===??=-=-+ ???
∑∑∑ 2
1204.6204.66978.932204.660.345666????=-??+?=?? ???????. 同理得2
20.357S =.
故()()2
1212
212
1 1.031n n S F n n S -==-，落在拒绝域外，无显著差异。
P132
3.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO 2的含量，得如下结果
重量法：5n =次测量，20.5%X =，10.206%S =， 比色法：5n =次测量，21.3%Y =，20.358%S =，
假设两种分析法结果都服从正态分布，问
（i ）两种分析方法的精度（σ）是否相同？
（ii ）两种分析方法的均值（μ）是否相同？（0.01α=）. 解：（i ）本题需检验0H ：12σσ=，1H ：12σσ≠.
Q 两种分析法结果都服从正态分布，且1μ、2μ未知，
∴选取统计量()()21212
212
11n n S F n n S -=-， 其拒绝域为()()121212
2
1111V F F n n F F
n n αα-
????=<-->--?????
??
?
U ，，. 查表得()()
0.0050.9951440.04344F F ==，
，，()0.9954423.15F =，.
12n n =，2
122
0.3311S F S ==，
未落在拒绝域内，无显著性差异。
（ii ）本题需检验0H ：12μμ=，1H ：12μμ≠. 由（i ）知12σσσ==（未知），
∴选取统计量
X Y
t =
，
其拒绝域为()12122V t t
n n α-??
=>+-????
. 查表得()0.9958 3.3554t =， 计算()1212
3.872t t
n n α
-
=->+-，
落在拒绝域内，差异显著。
P133
3.14 调查
患慢性气管炎 未患慢性气管炎 43 162 13 121 56 283
∑ 205 134 339 患病率 21.0 9.7 16.5
试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同（0.01α=）？
解：设X ——抽一人是否吸烟，Y ——抽一人是否患病. 本题需检验0H ：X 与Y 独立，1H ：X 与Y 不独立.
2r s ==，
()()2
2
11221221
2
1212
43121162133397.46956134205283
n n n n n n n n n χ????-?-?==?
=???.
()2
20.991 6.635χχ=<，
∴拒绝0H ，认为吸烟者的慢性气管炎患病率要高。
3.15 下表为某种药治疗感冒效果的33?列联表。
试问疗效与年龄是否有关（0.05α=）？ 解：
设X ——该药治疗感冒疗效，Y ——患者年龄，
X ——显著、一般、较差，Y ——儿童、成年、老年. 本题需检验0H ：X 与Y 独立，1H ：X 与Y 不独立. 数据3r s ==. 当0H 成立时，
显 著 58 38 32 128 一 般 28 44 45 117 较 差 23 18 14 55 ∑
109
100
91
300
选取统计量()()()2
332
2111
~11i j ij
i j i j n n n n n r s n n αχχ-==????- ???=--∑∑
. 其拒绝域为：()()()22111r s α
χχ->--.
式中：ij n 是列联表中第i 行第j 列位置上的数字；
i n ?是列联表中第i 行各数据求和； j n ?是列联表中第j 列各数据求和；
计算2
χ数据得
222
2
128109128100559158381430030030030013.591281091281005591χ???????????---??
? ? ?????????=+++
=?????????
L . 查表得()2
2
0.9549.48813.59χχ=<=，
故拒绝0H ，认为药品疗效与患者年龄有关。