2019-2020学年江苏省盐城中学高三(上)第一次质检数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省盐城中学高三（上）第一次质检数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）

1. 已知集合A ={x|?1≤x <2}，集合B ={x|1

2. 已知幂函数f(x)=k ·x a 的图像过点(12,1

4)，则k +a =____.

3. 若“?x ∈R ，x 2+2x ?a <0”是真命题，则实数a 的取值范围是______．

4. 函数f(x)=

log 2(2x?1)√x+1

的定义域是______ ．

5. 若角α始边在x 轴的非负半轴，终边经过(?3,5)点则sinα= ______ ．

6. 已知数列{a n }的通项公式a n =?5n +2，则其前n 项和S n =______．

7. 已知f(x)={2x ?3,x >0

g(x),x <0

是奇函数，则f [g(?2)]=_______

8. 若函数f (x )=2sin(ωx)(ω>0)的最小正周期为π

2，则ω=______________．

9. 已知a ? =(m,3)，b ? =(1,m +2)，则“m =?3”是“a ? //b ? ”的 条件.(填“充分不必要”，

“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)

10. 若函数f(x)=(mx ?1)e x 在(0,+∞)上单调递增，则实数m 的取值

范围是_________．

11. 如图，在?ABCD 中，∠DAB =60°，AB =2，E 是DC 中点，若AE ????? ?

DB

?????? =32

，则AD = ______ ． 12. 函数的零点个数为________．

13. 在△ABC 中，若asinA +bsinB ?csinC =√3asinB.则角C 等于______ ． 14. 若函数f(x)=?1

2x 2+blnx 在[1,2]上是增函数，则b 的取值范围为____. 二、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 15. 已知p:

x+4x

>2，q:x 2?4x +4?m 2<0(m >0)，命题“若?p 则?q ”为假命题，命题“若?q 则

?p ”为真命题，求实数m 的取值范围．

16. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =2√2且8sin 2

A+B 2

+4sin 2C =9．

(1)求角C ；

(2)求ΔABC 的面积的最大值．

17. 在△ABC 中，AB =4，∠ABC =30°，D 是边BC 上的一点，且AD ?????? ?AB ????? =AD ?????? ?AC ????? ，则AD ?????? ?AB ????? 的

值等于______ ．

18. 已知函数

．

(Ⅰ)求曲线

在点

处的切线方程；

(Ⅱ)求函数在区间

上的最大值和最小值．

19.已知函数．

(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求函数f(x)的极值点．

20.设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n=4S n+3．

(1)求{a n}的通项公式；

(2)令b n=1

，T n=b1+b2+?+b n，若T n

a n a n+1

-------- 答案与解析 --------

1.答案：(1,2)

解析：解：∵集合A={x|?1≤x<2}，集合B={x|1

∴A∩B=(1,2)

故答案为(1,2)

求解此类题，一般要先化简两个集合，再根据交集定义求出两集合的交集即可，本题中集合已经化简，故直接求交集即可

本题考查交集及其运算，求解本题的关键是正确理解两个集合，及根据定义求其交集，正确理解定义是关键．

2.答案：3

解析：

【分析】本题考查了幂函数，由幂函数定义可得k=1，再代入点(1

2,1

4

)得出a的值即可．

【解答】

解：∵f(x)=k·x a是幂函数，∴k=1，

又幂函数f(x)=x a的图像过点(1

2,1

4

)，∴(1

2

)

a

=1

4

，

则a=2，则k+a=3．

3.答案：(?1,+∞)

解析：

【分析】

本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，属于基础题．根据命题p是真命题，利用判别式△>0求得a的取值范围．【解答】

解；若“?x∈R，x2+2x?a<0是真命题

则Δ=4+4a>0

解得a>?1．

故答案为(?1,+∞)．

4.答案：(1

2

,+∞)

解析：解：由题意得：

{2x?1>0

x+1>0，解得：x>1

2，

故函数的定义域是(1

2

,+∞)，

故答案为：(1

2

,+∞)．

根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．本题考查了对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．

5.答案：5√34

34

解析：解：由题意可得，x=?3，y=5，r=√(?3)2+52=√34，

∴sinα=y

r =5√34

34

，

故答案为：5√34

34

．

由条件求出r，再利用任意角的三角函数的定义求出sinα=y

r

的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

6.答案：?5n2+n

2

解析：解：a1=?3，

a n+1?a n=?5(n+1)+2?(?5n+2)=?5，

∴{a n}是首项为?3，公差为?5的等差数列，

∴S n=na1+n(n?1)

2d=?3n?5n(n?1)

2

=?5n2+n

2

．

故答案为：?5n2+n

2

．

判断{a n}是等差数列，代入求和公式即可．

本题考查了等差数列的判断与前n项和公式，属于基础题．

7.答案：1

解析：

【分析】

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．【解答】

解：∵f(x)是奇函数，

∴g(?2)=f(?2)=?f(2)=?(22?3)=?1，

则f(?1)=?f(1)=?(2?3)=1，

故f[g(?2)]=1，

故答案为1．

8.答案：4

解析：

【分析】

本题主要考查了函数的最小正周期，属于基础题，由函数y=Asin(ωx+φ)的周期计算公式可得．【解答】

解：函数的最小正周期为，

=π，解得ω=4，

则2π

ω

故答案为4．

9.答案：充分不必要

解析：

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断的知识点，属于基础题．

根据已知条件a?=(m,3)，b? =(1,m+2)，得到答案．

【解答】

解：当m=?3时，a?=(?3,3)，b? =(1,?1)，

则a?//b? ，所以m=?3”是“a?//b? ”的充分条件；

当a?//b? 时，m(m+2)=3，所以m=1或m=?3，

所以“m=?3”是“a?//b? ”的充分不必要条件，

故答案为充分不必要．

10.答案：[1,+∞)

解析：

【分析】

由f′(x)≥0可得mx+m?1≥0在(0,+∞)上恒成立，即可得出结论．

正确把问题等价转化、熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．

【解答】

解：∵f(x)=(mx?1)e x，

∴f′(x)=(mx +m ?1)e x ，

由f′(x)≥0可得mx +m ?1≥0在(0,+∞)上恒成立， ∴m ≥

1x+1

∵1

x+1<1， ∴m ≥1， 故答案为[1,+∞).

11.答案：1

解析：解：设|AD

?????? |=x >0． ∵AE ????? =AD ?????? +DE ?????? =AD ?????? +12

AB ????? ，DB ?????? =DA ????? +AB ????? =?AD ?????? +AB ????? ， ∴3

2

=AE ????? ?DB ?????? =(AD ?????? +12

AB ????? )?(AB ????? ?AD ?????? )=12

AB ????? ?AD ?????? +12

AB ????? 2

?AD ?????? 2

， 化为2x 2?x ?1=0， ∵x >0，解得x =1． 故答案为：1．

设|AD ?????? |=x >0.由向量的三角形法则可得AE ????? =AD ?????? +DE ?????? =AD ?????? +12AB ????? ，DB ?????? =DA ????? +AB ????? =?AD ?????? +AB ????? ，代入AE ????? ?DB ?????? =32，利用数量积的运算性质展开即可得出． 本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质，属于基础题．

12.答案：2

解析： 【分析】

本题考查分段函数的应用，属基础题．

根据x 的范围，分段解方程，求出满足条件的根，即可得解． 【解答】

解：当 x ≤0时，令x 2+2x ?3=0，解得 x =?3; 当 x >0时，令?2+lnx =0，解得 x =e 2， 所以原函数有2个零点 ． 故答案为：2．

13.答案：π

6

解析：解：∵asinA+bsinB?csinC=√3asinB．∴由正弦定理可得a2+b2?c2=√3ab，

∴由余弦定理可得cosC=a2+b2?c2

2ab =√3

2

，

∵0

∴C=π

6

．

故答案为：π

6

．

根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．

本题主要考查三角函数角的求解，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，属于基础题．14.答案：[4,+∞)

解析：

【分析】

本题主要考查了函数的单调性与其导数之间的关系，将单调问题转化为恒成立问题，从而利用最值问题即可得到结果．

【解答】

解：根据题意可知，函数的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=?x+b

x =?x2+b

x

，

又函数f(x)=?1

2

x2+blnx在[1,2]上是增函数，

∴f′(x)=?x2+b

x

≥0在[1,2]上恒成立，

∴b≥x2在[1,2]上恒成立，

又当x∈[1,2]时，x2∈[1,4]，

∴b≥4，

故答案为[4,+∞)．

15.答案：解：由题意P ：

x+4x

>2可得0

q: x 2?4x +4?m 2<0 (m >0)可得2?m 4或{2?m <02+m ≥4， 解得m >2．

解析：先求出命题p ，q 为真时x 的取值范围，再由命题“若?p 则?q ”为假命题，命题“若?q 则?p ”为真命题，得出命题p 与命题q 的关系，借助集合间的关系求出m 的取值范围即可．

16.答案：解：(1)由8sin 2

A+B 2

+4sin 2C =9，

得：4(1?cos(A +B))+4sin 2C =9 整理得：4cos 2C ?4cosC +1=0 即(2cosC ?1)2=0， 所以cosC =1

2， 又

所以C =π

3; (2)由正弦定理：

，R =

2√63

，

，

所以当2A ?π

6=π

2，即A =π

3时，三角形面积最大，S max =2√3．

解析：本题考查二倍角余弦公式、二倍角公式、面积公式和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．

(1)利用二倍角公式，结合C 是三角形的内角，可求C ；

(2)利用三角形内角关系以及和差倍角公式把问题转化成三角函数最值问题再利用三角形的面积公式，即可求得结论．

17.答案：4

解析：解：由AD ?????? ?AB ????? =AD ?????? ?AC ????? ， 得AD ?????? ?(AB ????? ?AC ????? )=0， 即AD ?????? ?CB

????? =0， ∴AD ?????? ⊥CB ????? ，即AD ⊥CB ， 又AB =4，∠ABC =30°，

∴AD =AB ×sin30°=2，∠BAD =60°，

∴AD ?????? ?AB ????? =AD ×ABcos∠BAD =2×4×cos60°=4， 故答案为：4．

根据AD ?????? ?AB ????? =AD ?????? ?AC ????? ，可推得AD ⊥CB ，通过解直角三角形可得AD =2及∠BAD =60°，由数量积定义可求答案．

本题考查平面向量数量积的运算及其定义，属基础题．熟练掌握数量积的运算性质是解决相关问题的关键．

18.答案：解：(Ⅰ)因为

，所以，

f′(0)=0． 又因为f(0)=1，

所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1． (Ⅱ)设?(x)=e x (cosx ?sinx)?1， 则．

当

时，?′(x)<0，

所以?(x)在区间上单调递减． 所以对任意有?(x)

即f′(x)<0． 所以函数f(x)在区间上单调递减．

因此f(x)在区间

上的最大值为f(0)=1，最小值为

．

解析：本替考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值，属于中档题目． (1)利用导数的几何意义求出即可；

(2)求导判断出函数f(x)的单调性求出最值即可．

19.答案：解：f(x)的定义域为

，

(Ⅰ)若a =1，则

，此时f(1)=2，

因为f ′(x)=2x +1?1

2x ，所以f ′(1)=5

2，

故所求切线方程为y ?2=5

2(x ?1)，即5x ?2y ?1=0； (Ⅱ)由于，，

(1)当a ?0时，

，f ′(x)=2x +a ?1

2x

=

4x 2+2ax?1

2x

，

令f ′(x)=0，得x 1=?a+√a

2+4

4

>0，x 2=

?a?√a 2+4

4

<0(舍去)，

且当x ∈(0,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0， 所以f(x)在(0,x 1)上单调递减，在上单调递增，

f(x)的极小值点为x =?a+√a

2+4

4

．

(2)当a <0时，

①当x ??a 时，f ′(x)=

4x 2+2ax?1

2x

，

令f ′(x)=0，得x 1=?a+√a

2+4

4

，x 2=?a?√a

2+4

4

若?a+√a

2+4

4??a ，即a ??√2

2

时，则f ′(x)?0，所以f(x)在

上单调递增；

若?a+√a

2+4

4

>?a ，即?

√22

则当x ∈(?a,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0， 所以f(x)在区间(?a,x 1)上单调递减，在上单调递增；

②当0

(x)=?2x ?a ?

12x

=

?4x 2?2ax?1

2x

，

令f ′(x)=0，得?4x 2?2ax ?1=0，记，

当

，即?2?a <0时，f ′(x)?0，

所以f(x)在(0,?a)上单调递减； 当

，即a

2?4

4

，x 4=?a+√a

2?4

4

且0

当x ∈(0,x 3)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)>0；当x ∈(x 4,?a)时，f ′(x)<0， 所以f(x)在区间(0,x 3)上单调递减，在(x 3,x 4)上单调递增；在(x 4,?a)上单调递减；

综上所述，当a

2?4

4

和x =?a ，极大值点为x =?a+√a

2?4

4

；

当?2?a ?√2

2

时，f(x)的极小值点为x =?a ；

当a >?√22时，f(x)的极小值点为x =?a+√a

2+4

4

．

解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数求函数的极值，考查分类讨论思想，属于较难题． (1)求出f(1)，利用导数求出f′(1)，即得切线斜率，由点斜式求得切线方程；

(2)当a ?0时，去绝对值，求出导函数，得到导函数的零点，即可求得原函数的单调性，求得极值点，当a <0时，分段去绝对值，化为分段函数，再根据分段函数分别研究单调性，求得极值．

20.答案：解：(1)由题知：a n >0，a n 2

+2a n =4S n +3……① 令n =1得：a 12+2a 1=4S 1+3，解得：a 1=3 当n ≥2时，a n?12+2a n?1=4S n?1+3……②

①?②得：(a n +a n?1)(a n ?a n?1?2)=0 ， ∴a n ?a n?1?2=0，即a n ?a n?1=2， ∴{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =3+2(n ?1)=2n +1 经验证a 1=3满足a n =2n +1，

∴a n =2n +1(n ∈N ?) .

(2)由(1)知：b n =1

(2n+1)(2n+3)=1

2(1

2n+1?1

2n+3)

∴T n =

12×[(13?15)+(15?17)+???+(12n +1?1

2n +3

)] =1

2

×(1

3

?

12n+3

)=16

?

1

4n+6

∵14n+6>0 ， ∴T n <1

6 ，

∴m ≥1

6

．

即m ∈[1

6,+∞) ．

解析：本题考查根据递推关系求通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题．

(1)根据a n 2+2a n =4S n +3可得a n ?a n?1=2，所以{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即可

求得a n =2n +1；

(2)由(1)知：b n =1

(2n+1)(2n+3)=1

2(1

2n+1?1

2n+3)利用裂项相消法求和即可求解．