沪教版(上海)数学高一下册-6.3 三角函数(1) 教案
三角函数（1）
●知识梳理
1.三角函数的性质和图象变换.
2.三角函数的恒等变形.
三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.
3.三角函数与其他数学知识的联系.
特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.
【例1】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值. 解：由已知得
???????=-=+②
①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα 所以sin αcos β=
3013，cos αsin β=30
7.
【例2】若实数、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .
（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ；
（3）已知函数()f x 的定义域k D=x|x +k Z x R 24
ππ｛≠，∈，∈｝.任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
解析：(1) (,2)( 2.)x ∈-∞+∞；
(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab ab +>222a b ab ab ab +> 因为33222|2|2()()0a b ab ab a b ab ab ab a b a b +--+-=+->，
所以3322|2|2a b ab ab a b ab ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ；
(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44
x x k k f x x x k k ππππππππ?∈++??=??∈-+??， 性质：1?f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2?f (x )是周期函数，最小正周期2T π
=，
3?函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224
k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4?函数f (x )的值域为2(
,1]．
【例3】在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .
（1）求∠C 的度数；
（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.
解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ，
∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2
B A -. 在△AB
C 中，－
2π＜2B A -＜2π. ∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22
C cos 2C =cos 2C ， （1－2sin 22C ）cos 2
C =0. ∴（1－2sin 2
2C ）=0或cos 2C =0（舍）. ∵0＜C ＜π，∴∠C =2
π. （2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A . ∴△ABC
的内切圆半径 r =
21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1） =22sin （A +4π）－2
1≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤
212-.
【例4】函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，
（1）求g （a ）；
（2）若g （a ）=
2
1，求a 及此时f （x ）的最大值. 解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）
=2cos 2x －2a cos x －1－2a =2（cos x －2
a ）2－22
a －2a －1. 若2
a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，
f （x ）有最小值
g （a ）=2（－1－2
a ）2－22
a －2a －1=1； 若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2
a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1； 若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2
a ）2－22
a －2a －1=1－4a .
∴g （a ）=???
????>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a a a a a a （2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a －1=21或1－4a =2
1. 由??????=---≤≤-21122
222a a a a =－1或a =－3（舍）. 由???
???=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +
21）2+21，得f （x ）max =5. ∴若g （a ）=
2
1，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.
高中数学公式三角函数公式大全
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
高中三角函数公式大全必背知识点
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 上海高考高三数学所有公式汇总 集合命题不等式公式 1、()U C A B ?=_____U U C A C B ?____；()U C A B ?=_____U U C A C B ?______。 2、 A B A ?=?__A B ?___；A B B ?=?__A B ?__； U U C B C A ??__A B ?___； U A C B ?=??____A B ?____；U C A B U ?=?______A B ?_____。 3、含n 个元素的集合有：__2n __个子集，__21n -__个真子集，__21n -__个非空子集，__22n -__个非空真子集。 4、常见结论的否定形式 __原命题______逆否命题______否命题____与____逆命题___互为等价命题。 6、若p q ?，则p 是q 的___充分____条件；q 是p 的____必要____条件。 7、基本不等式： （1）R b a ∈,：________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。 （2）+∈R b a ,：__________a b +≥__________等且仅当b a =时取等号。 （3）绝对值的不等式：__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式： + ∈R b a ,时， _______2 11a b +______≤_____≤___2a b +___≤____ 等且仅当b a =时取等号。 9、分式不等式：()0()f x g x ≥?()()0()0f x g x g x ?≥??≠? ()0()f x g x ≤?()()0()0f x g x g x ?≤??≠? 10 、 绝 对 值不 等 式 ： 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 反三角函数典型例题 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2：求下列反正弦函数值 （1）= 解：3 π （2）arcsin 0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。 思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝ 变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ∴π－x ＝，则x ＝π－ 变式：x [0,]∈π? 解：x ＝x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1 x arcsin 4 =- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2 π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsin a =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上， 再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。 练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x arcsin =x =π-(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+ 例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。 解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。 变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22 ππ ∈--+ 思考：当3x [,]44 ππ ∈-时，求函数y arcsin(cos x)=的值域。 解：当3x [, ]44ππ∈-时t cos x [=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42 ππ∈-。 例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2 π∈π 解：y [0,1]∈，x [,0]2 π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-， 则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈ 解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2 π∈。 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 上海二期课改高中数学教材目录（全） 高一（上） 第1章集合和命题 一、集合 1.1 集合及其表示法 1.2 集合之间的关系 1.3 集合的运算 二、四种命题的形式 1.4 命题的形式及等价关系 三、充分条件与必要条件 1.5 充分条件, 必要条件 四、逻辑初步（* 拓展内容） 1.6 命题的运算 五、抽屉原则与平均数原则（* 拓展内容） 1.7 抽屉原则与平均数原则 第2章不等式 2.1 不等式的基本性质 2.2 一元二次不等式的解法 2.3 其他不等式的解法 2.4 基本不等式及其应用 课题一最大容积问题 2.5 不等式的证明（拓展内容） 第3章函数的基本性质 3.1 函数的概念 3.2 函数关系的建立 课题二邮件与邮费问题 课题三上海出租车计价问题 3.3 函数的运算 3.4 函数的基本性质 函数的零点（拓展内容） 第4章幂函数、指数函数和对数函数 一、幂函数 4.1 幂函数的性质与图像 二、指数函数 4.2 指数函数的图像与性质 三、对数 4.3 对数概念及其运算 换底公式（拓展内容） 四、反函数 4.4 反函数的概念 五、对数函数 4.5 对数函数的图像与性质 六、指数方程和对数方程 4.6 简单的指数方程 4.7 简单的对数方程 课题四声音传播问题 高一（下） 第5章三角比 一、任意角的三角比 5.1 任意角及其度量 5.2 任意角的三角比 课题一用单位圆中有向线段表示三角比 二、三角恒等式 5.3 同角三角比的关系和诱导公式 5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切 5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切 5.6 三角比的积化和差与和差化积（拓展内容） 三、解斜三角形 5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 课题二测建筑物的高度 第6章三角函数 一、三角函数的性质与图像 6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像 6.2 正切函数的性质和图像 课题三制作弯管 6.3 函数的图像 函数的性质（拓展内容） 二、反三角函数与最简三角方程（拓展内容） 6.4 反三角函数 6.5 最简三角方程 第7章数列 7.1 数列 7.2 等差数列与等比数列 7.3 等差数列与等比数列的通项公式 7.4 等差数列的前n项和 7.5 等比数列的前n项和 雪花曲线（* 拓展内容） 课题五组合贷款购房中的数学问题 第8章数学归纳法 8.1 归纳——猜想——证明 8.2 数归纳法的应用 高二（上） 第9章行列式初步 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 课 题：6.4反三角函数（1） 教学目的： 1．要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合 2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤． 教学重点：已知三角函数值求角 教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 诱导公式应用广泛，不仅已知任意一个角，(角必须属于这个函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，而且反过来，如果已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．这就是本节课的主要内容． 二、讲解新课： 简单理解反正弦函数的意义： 由y =sin 1?在R 上无反函数 2?在??????-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间?? ????-2,2ππ比较简单 ∴在?? ????-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ， 注意：“arcsin x ”表示0, 2π?????? 上的一个角，且这个角的正弦值等于x 如：11arcsin ,arcsin(),arcsin1,arcsin(1)262622 ππππ=-=-=-=- arcsin00= 性质：1、定义域：[]1,1x ∈- 2、值域：,22y ππ??∈- ???? 3、单调性：在[]1,1x ∈-上单调递增； 4、奇偶性：奇函数 注意：（1）由图知：当[1,0)x ∈- 时，arcsin [,0),2x π∈- 当(0,1]x ∈ 时，arcsin (0,]2x π ∈，当0x = arcsin 0x = (2)恒等式：()[]()sin arcsin 1,1x x x =∈- ()arcsin sin ,22x x x ππ? ???=∈- ???? ??? 已知三角函数求角： 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的 三、讲解范例： 例1 、求下列各式值： ()1 ()2arcsin0 ()13arcsin 2??- ??? ()34sin 2arcsin 5?? ??? ()55cos arcsin 313π????+- ? ???? ? 例2、求下列函数的定义域和值域： ()()1 1arcsin 212 y x =- ()2y =()3sin arcsin y x x =+ 例3、用反正弦函数值的形式表示各式中的x ： ()1sin ,,522x x ππ??= ∈-???? ()12sin ,,422x x ππ??=-∈-???? 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 高考中的反三角函数与简单三角方程 一、选择题 1. (86(10)3分)当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是 A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x - B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x - C.π－arccosx ＝arcsin 21x - D.π－arcsinx ＝arccos 21x - 2. (87(8)3分)函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2 ,2ππ])的图象是 3. (88(7)3分)方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是 A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z} B.{x|x ＝k π＋(－1)3 πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3 π，k ∈Z} 4. (88(10)3分)tg[arctg 5 1＋arctg3]的值等于 A.4 B.41 C.8 1 D.8 5. (89(4)3分)cos[arcsin(－5 4)－arccos(－53)]的值等于 A.－1 B.－257 C.25 7 D.－510 6. (89上海)函数y ＝arccos x 1的值域是 A.[0，2 π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. (89上海)下面四个函数中为奇函数的是 A.y ＝x 2sin(x ＋2π) B.y ＝x 2cos(x ＋4 π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx) 8. (90(4)3分)方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 9. (90(15)3分)设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是 A.y ＝－arctg(x －2) B.y ＝arctg(x －2) C.y ＝－arctg(x ＋2) D.y ＝arctg(x ＋2) 10.(90上海)下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是 A.y ＝ctg(arccosx) B.tg(arcsinx) C.sin(arctgx) D.cos(arctgx) 11.(90广东)已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2 π－arcctgx ，那么 A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数 C.①是奇函数，②是偶函数 D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数 12.(91上海)下列四个式子中，正确的是 A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 3 1) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 3 1) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－3 1)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－3 1)] 13.(92(4)3分)方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是 A.10o B.20o C.50o D.70o 14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分) A.[0，arcsina] B.[arcsina ，π－arcsina] C.[π－arcsina ，π] D.[arcsina ，2 π＋arcsina] 15.(92上海)函数y ＝arccos 的值域是 A.[0，2π] B.(0，2 π) C.[0，π] D.(0，π) 16. (94(14)5分)函数y ＝arccos(sinx)(－323 ππ < 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称， 那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝上海高中高考数学所有公式汇总
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