集合重点难点易错题完整版

集合与简易逻辑（重点、易错点）

一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如

（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q

中元素的有________个。 （答：8） （2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点

)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________ （答：5,1<->n m ）； （3）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_ _个 （答：7） 二．遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的

情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如

集合{|10}A x ax =-=，{}

2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝__ _.（答：1

0,1,2

a =）

已知集合A={x|x 2

＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R *

=?，则实数m 的取值范围是_________．（答：m>－4）

三．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，

12-n

.22-n 如 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有___个。 （答：7）

四．集合的运算性质：

⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??； ⑶A B ??B C A C U U ?；

⑷B A B C A U ??Φ=?； ⑸B A U B A C U ??=?； ⑹()U C A B U U C A C B =；

⑺()U U U C A

B C A C B =.如：

（1） 设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝__ __，

B ＝__ _. （答：{2,3}A =，{2,4}B =）

（2） 设全集U={x|0

（答：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}）

五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；

{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如

（1）设集合{|2}M x y x ==

-，集合N ＝{}

2|,y y x x M =∈，则M

N =__ _（答：[4,)+∞）；

（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____ （答：)}2,2{(--）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补

集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如： （1）已知函数12)2(24)(2

2

+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实

数p 的取值范围。 （答：3(3,)2

-）

（2）已知集合P ＝{x |4≤x ≤5，x ∈R}，Q ＝{x|k ＋1≤x ≤2k －1，x ∈R}，求当P ∩Q ≠Q 时，实数k 的取值范围． （答：k ≥2且k ≠3）

七．集合语言的转化：由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题

设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决。 如：},05224|),{(},1|),{(2

2

=+-+=+==y x x y x B x y y x A 设集合},|),{(b kx y y x C +==问是否存

在自然数k,b ，使Φ=??C B A )(，试证明你的结论。 （答：b =2， k =1）

八.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：

在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件； ⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________ （答：⑴⑶）

九．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；

逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。 提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题

与逆命题、否命题都不等价；

（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；

（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题

的结论否定； （4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反

证法的理论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？

如：（1）“在△ABC 中，若∠C=900

，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为__________

（答：在ABC ?中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；

（2）已知函数2

(),11

x

x f x a a x -=+

>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 十．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可

推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若B A ?，则A 是B 的充分条件；若B A ?，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。如： （1）给出下列命题：

① 实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；

② 若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；

③ 已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”； ④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______ （答：①④）； （2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2

≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则

实数a 的取值范围是 （答：1

[0,]2

）

十一．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则

b x a >

；若0a <,则b

x a

<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。如 已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31

,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a

的解集为_______

（答：{|3}x x <-）

十二．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示吗？设0a >,12,x x 是

方程2

0ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：

如解关于x 的不等式：01)1(<++-x a ax 。 （答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <

；当01a <<时，1

1x a

<<；当1a =时，x ∈?；当1a >时，

1

1x a

<<）

十三．对于方程02

=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有

042≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，

则a 的取值范围是_______ （答：(1,2]）； （2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)，特别地，若在

[0,]2

π

内有两个不等的实根满足等式cos 221x x k =+，则实数k 的范围是_______.

（答：[0,1)）

十四．一元二次方程根的分布理论。方程2

()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、

在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？

（0

()02f k b k a ?≥>->?

??

????、0()0()02f m f n b m a

n ?≥>><-

??、()0f k <）。

若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．

如 实系数方程2

20x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

2--a b 的取值范围___

（答：（4

1

，1））

十五．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程2

0ax bx c ++=的两个根即为二次不等

式2

0(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。 如（1）32ax >+

的解集是(4,)b ，则a =__________ （答：18

）； （2）若关于x 的不等式02

<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<

<+-a bx cx 的解集为________ （答：),1

()1,(+∞--

-∞n

m ）；

（3）不等式2

3210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______ （答：?）。 （4）已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}

2|,C z z x x A ==∈,且C B ?,求a 的取值

范围 （答：

1

32

a ≤≤） （5）已知集合

{}{

}22230,0

A x x x

B x x ax b =-->=++≤,且{}

,34A

B R A B x x =<≤，

{}

,34A B R A B x x ==<≤，求a ,b 的值。 （答：

a=-3,b=-4.）

集合（难点-集合思想及应用）

●难点磁场

已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠?,求实数m 的取值范围. ●案例探究

［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩

C =?，证明此结论.

［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

●锦囊妙计

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

2.注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论.

●难点训练 一、选择题

1.集合M ={x |x =

4

2π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =

22π

π+k ,k ∈Z },则( ) A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =? 2.已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1

3.已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.

4. x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|b

y

a x - =1,a >0,

b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.

三、解答题

5.集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ?和A ∩C =?同时成立.

6.已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,n

S

n )|n ∈

N *},B ={(x ,y )|4

1

x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明. (1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素；

(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠?.

7.已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =2

1

zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.

8.设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }. (1)求证：A ?B ;

(2)如果A ={－1，3}，求B .

参考答案

难点磁场

解：由???≤≤=+-=+-+)

20(010

22x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0

①

∵A ∩B ≠?

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

故所求m 的取值范围是m ≤－1. 歼灭难点训练

一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4

π

,n ∈Z }∪{x |x = n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2

π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n

∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4

5π

,n ∈Z }.

答案：C

2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ?A,又B ≠?,

∴??

?

??-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4. 答案：D 二、3.a =0或a ≥

8

9 4.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线

b y

a x -=1相切，则1=

2

2b a ab +,即ab =22b a +. 答案：ab =22b a +

三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =?，∴2和

－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ?,即A ∩B ≠?,

∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.

当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =?不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =?，A ∩B ?，∴a =－2.

6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,n

S n ）的坐标适合方程y 21

=(x +a 1),于是点(a n ,

n

S n )均在直线y =21x +21

a 1上.

(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组???????

=-+=14

12121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0

时，方程(*)无解，此时

A ∩

B =?；当a 1≠0

时，方程(*)只有一个解

x =1

2

1

24a a --,此时，方程组也只有一解

???

?

???-=--=

12

112

14424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解. ∴A ∩B 至多有一个元素.

(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,

n

S n

>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其

横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠?,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而

x 0=52

2412

1-=--a a ＜0,y 0=4

3201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）?A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =?，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠?是不正确的.

7.解：由w =

21zi +b 得z =i

b

w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|i

b

w 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.

∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.

又A ∩B =B ，即B ?A ，∴两圆内含.

因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2. 8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).

即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ?B .

(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },

∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得

???-=-=???

?=?---=+-3

1

3)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.

于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根. 将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得x =1,3,3,－3. 故B ={－3，－1，3，3}.