4-2-2二次根式中的经典题型.讲义教师版
板块一 化简求值
【例1】 x a a
22
2424x x x x x x
++++-+的值.
【考点】二次根式化简求值 【难度】5级 【题型】解答 【关键词】
【解析12x a a x a a ?+=+，2
222112(2)42411242(2)4a a x x x x x a a x x x x x a a a a
+
+-+++-+++==+-++-+-+--
10a x a a a =?> 2
2211
242112
24()a a x x x a a a a x x x a a a a a
+
+-
+++=
==+-++-- 【答案】2a
【例2】 已知12x =22
2111
x x x
x x ++---的值 【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2006年，宁波市，中考
【解析】2221112
111112
x x x x x x x x x x +++-=-===-----
【例3】 当25
a =+，求代数式229621
3a a a a a -+-+-的值.
【考点】二次根式化简求值
例题精讲
二次根式中的经典题型
【难度】4星
【题型】河南省竞赛，第七届祖冲之杯数学竞赛 【关键词】
【解析】0
a =<，2296(3)1
3133a a a a a a a -+-==--=--
【巩固】 已知：
x =
y =
.
【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】3)
x =-,3)y =-
【巩固】 当
m =24
22m m m
+
--的值 【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】
22442222
222m m m m m m --==+==+=---
【答案】
【巩固】 先化简，再求值.222
1343
1121
x x x x x x x +++-÷+--+，其中x 【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2006年，江西省，中考
【解析】⑴原式2
13(1)1(1)(1)(1)(3)x x x x x x x +-=-++-++2
111(1)x x x -=-++221(1)2(1)(1)x x x x +--==++
当x =
6=
==-
【答案】6-
【巩固】 化
简二次根式已知a =
. 【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析
|2||21|a a =-++.
∵2a =，
∴原式22133a a a =-++=+=.
3
【例4】 已知：3a b +=，1ab =，且a b >
的值.
【考点】二次根式化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析
=
∵22()()45a b a b ab -=+-=，a b >
，∴a b -=
，原式=
=
【巩固】 已
知12x =
，1
2
y =，求下列各式的值.⑴22x xy y -+； ⑵x y y x +.
【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】
∵1
2x =
，12y =
，∴x y +12
xy =.
⑴222211()33522
x xy y x y xy -+=+-=-?
=.
⑵
2222
1
2()22121
2
x y x y x y xy y x xy xy
-?
++-+====.
【答案】（1）11
5
，（2）12
【例5】 2=的值为__________． 【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2006年，山东省初中数学竞赛
【解析】注意到
22251510x x =--+=，
5=．
【答案】5
板块二 有理数≠无理数
【例6】 已知a 、b 均为有理数，并满足等式42b a =+，求a 、b 的值. 【考点】简单数论 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【
解析】由已知条件可得3(24)(02a b a -+-+=，所以240a b -+=，302a +=，即32
a =-，1
b =
【答案】3
2
a =-，1
b =
【巩固】 已知x 、y 是有理数，且11 2.25034x y ??++-- ????，求x 、y 的值．
【考点】简单数论 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】a 、b 为有理数，m 为无理数，则当且仅当0a b ==时，0a bm +=，由这一性质可解答本题．
已知等式可以变形为
1111
2.25 1.45034212x y x y ???+-+--= ?
???． 因为x 、y 是有理数，所以
11 2.25034
11 1.450.
212x y x y ?+-=???
?--=??，化简得4327617.4.x y x y +=??-=?，解之得 3.64.2x y =??=? 【答案】 3.6
4.2x y =??=?
【例7】 已知a ，b 为有理数，x ，y
分别表示5的整数部分和小数部分，且满足21axy by +=，求
a b +的值.
【考点】简单数论 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】
∵253<-<，∴2x =
，3y =
∵21axy by +=
，∴22(3(31a b ??+=
，即(26(6161)0a b a b --+-=
∵a ，b 为有理数，∴260a b --=，61610a b +-=，解得32
a =，1
2b =-，∴1a b +=
【答案】1a b +=
【例8】 已知p q ，
是有理数，x =
满足30x px q ++=，则b 是一个（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D.3
【考点】简单数论 【难度】5星 【题型】选择
【关键词】安徽省，竞赛
【解析】
将x =
代入310x px ++=
得310p ++=，
化简得)4(24)0p q p ++--=，
∵p q ，是有理数，∴20
240p q p +=??
--=?
，解之21p q =-=，， ∴211p q +=-+=-，选（A ）
【答案】A
板块三 估算整数部分、小数部分
【例9】
的整数部分是a ，小数部分是b ，试求(21a ab +的值。
【考点】二次根式化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】1981年，北京市，初中数学竞赛
【解析
，而52332<<
<，，
∴2a =，从而b a =
=
故(214610a ab ++=+=
【答案】10
【巩固】 已1的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b
a b
++的值. 【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】通过估算得知3a =，132b -=.原式=
=
=
.
【例10】 如果x y ，
的整数和小数部分，求2(1x xy +.
【考点】二次根式化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】上海市，初二数学竞赛题
【解析】
=
，23<，536<+，23<<，
∴2x =，2y =
=2(14(1210x xy ++=++?=. 【答案】10
【例11】 x ，小数部分为y ，试求1
x y y
++的值= . 【考点】二次根式化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】宁波市，初中数学竞赛题
【解析422=+-2x =，2y =，
∴122426
x y y ++
=+=+. 【答案】6
【巩固】 m . 【考点】二次根式化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】1m ，23m =-
213m =+2= 【答案】2
板块四 提取公因式
【例12】 2001200019991)1)1)2001--+ 【考点】二次根式的混合运算 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】天津市，竞赛题，提取公因式
【解析】原式19992
1)1)1)220012001??=--+=??
【答案】2001
【巩固】 满足等式2003的正整数对(),x y 的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4 【考点】二次根式的混合运算
【难度】4星 【题型】选择
【关键词】提取公因式
【解析】2003
+
0+=
0=
0．
2003xy =，正整数对()(),2003,1x y =或()1,2003．
【答案】B
【例13】 化．
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第13届，希望杯，培训试题
【解析 【答案】
【巩固】 化_________． 【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第13届，希望杯，培训试题
【解析=
=3333．
【答案】3333
【例14】 化2x =，2y =【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】原式4
===
【答案】4
【巩固】化
【考点】二次根式的化简求值
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】五城市联赛
【解析5
===
【答案】5
【巩固】化.
【考点】二次根式的化简求值
【难度】4星
【题型】填空
【关键词】第13届，希望杯
【解析=
==
【巩固】A=A的值.
【考点】二次根式的化简求值
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】第12届，希望杯，培训题
【解析】略.
【例15】计
.
【考点】二次根式的化简求值【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
原式=
=
=
=.
【巩固】化
【考点】二次根式的化简求值【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】原式
1
+
=
1
+
+
)1
=
板块五
裂项
【例16】下列分母有理化计算.
，
=
=
=
…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
1)
2002
++.
【考点】二次根式的化简求值
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】裂项
【解析】原式11)2001==
【答案】2001
【巩固】 计
2003+
+
+
+
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】全国数学联赛，裂项
【解析】原式1)(2004121=++
+==
【答案】1
【例17】 化
10099++++
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】裂项
【解析
= 原式9(1(
1
10
99=-
+++
+-
=-
= 【答案】
910
【巩固】 计
2025+++=
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2006年，湖北，裂项
【解析】
==
∴原式
2024=
-
-
144
114545
==-
=. 【答案】4445
【例18】计
2007
++
【考点】二次根式的化简求值
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】裂项
【解析】原式1)(20011
=+++=
1
【巩固】计
4947
+++
【考点】二次根式的化简求值
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】天津市，初二数学竞赛，裂项
【解析1
2
=
原式
1113 (1((1)
2277
47
??
=++-++=-=??
??
【答案】3 7
【补充】已知对于正整数n
=，若某个正整数k
2
....
3
++=，则k=_______．【考点】二次根式的化简求值
【难度】4星
【题型】填空
【关键词】第14届，希望杯，裂项
【解析】∵
2
....
3
++=，
=
∴
2
1 (18)
3
k
++=-=?=．
【答案】8
【补充】定义
()
f x=，求(1)(3)(5)(999)
f f f f
++++的值.
【考点】二次根式的化简求值 【难度】6星 【题型】解答
【关键词】裂项，立方差
【解析】()f
x
=
所以(1)f =
(3)f =
(5)f =
；……；(999)f =
以上各式分别相加，得10
(1)(3)(5)(999)52
f f f f +++
+=
==. 【答案】5
【补充】 计算
:
2
112003
+
【考点】二次根式的化简求值
【难度】6星 【题型】解答
【关键词】第九届，华杯赛，裂项，配方
【解析】因为
(
1n n +
=()11n n =++
()()1111111n n n n n n ++==+-++ 所以原式11111111111112233420032004??????
?
?=+-++-++-+
++- ? ? ? ?????????
12003
200312003
20042004=+-=． 【答案】2003
20032004
板块六 互为倒数、化简求值
【例19】
已知：x =
，y =
，求
22y x
x y
+的值. 【考点】二次根式的化简求值
【难度】3星 【题型】解答
【关键词】01年，全国数学联赛
【解析】25x ===-，25y ==+10x y +=，1xy =
2
332222222222
()()3()()970x y x y xy y x y x x y x xy y x y x y x y x y
??++-++-+??+====??? 【答案】970
【巩固】 已知：a =
b =
，求22a ab b -+的值.
【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】7a =
=-7b ==+14a b +=，1ab =，2222()3143193a ab b a b ab -+=+-=-=
【答案】193
【巩固】 已知：x ，y =
，求44x y +的值.
【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】天津市，竞赛题
【解析】2x =
=
=，2y ==+ 4x y +=，1xy =，2
4422222222
()2()22194x y x y x y x y xy x y ??+=+-=+--=??
【答案】194
【例20】 设x =
y ，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n 值.
【考点】二次根式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】(21)x n =+-，(21)y n =++，42x y n +=+，1xy =
22()1931993x y xy ++=，得22(42)1931993n ++=，2(42)900n +=，0n >，得7n =
【答案】7
板块七 换元
【例21】 计+
=_____.
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第10届，希望杯，换元法
【解析】a =b c =，则原式
()()()()()()
a
b
c
a b a c b c b a c a c b =
+
+
------
()()()()()()()()()()()()a b c b c a c a b a b b c c a b c a b c a c a b c a b ------=++--------- ()()()
()()()
a b c b c a c a b a b b c c a ------=
---0=． 【答案】0
【例22】 计． 【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】换元法
【解析】设100x =，那么原式
=
2110099x x =
+-=．
【答案】10099
22006=_________． 【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2006年，希望杯，换元法
【解析】令2005k =，则原式
()()2
2
11k k =+=
+．
()21k =
+()
223121k k k k =++-++2005k ==
【答案】2005
板块八 奇思妙想（补充专题教师选讲）
【例23】 若1x ，则54322171816x x x x x +--+-的值为 . 【考点】二次根式的化简求值 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】湖北省黄冈市，初中数学竞赛题
【解析】∵1x =，∴22160x x +-=，
故原式323222(216)1816(216)2160x x x x x x x x x x x =+---+-=-+-++-=.
【答案】0
【巩固】 已知x =654322x x x x +-+-+ 【考点】二次根式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】换元
【解析】利用已知条件可得210x +=，210x -+=，然后再用“代换法”来求值
∵x x
两边平方，得223x ++=，即210x +-=。
类似可得210x -+=。
∴654322x x x x +-+-++422(1)(1)x x x x x =+-+-++
00x =++
【例24】 若
a =
，则54321996a a a --的值是 .
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，初二
【解析】1
a =
=，
∴543323232
21996(21996)(1)199711)19970a a a a a a a a a ????--=--=--=--=????.
【答案】0
【巩固】 当x =
32001(419971994)x x --的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．20012 D.20012-
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】全国初中联赛题
【解析】∵x =
2(21)1994x -=，即24419930x x --=， ∴2001
32001222001(419971994)(441993)(441993)1(1)1x x x x x x x ??--=--+---=-=-??
【答案】1-
【巩固】 如果
x == .
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第十届，希望杯，初二
【解析】由题设得：2
x =
，∴21x -=，∴原式43
23=
=+.
【答案】4
【例25】
若x 4322621823
815
x x x x x x --++=-+ .
【考点】二次根式的化简求值 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】全国初中数学联赛题
【解析】
∵4x =
∴2(4)3x -=，28130x x -+=.
故原式222(813)(21)1010
581322
x x x x x x -++++===-++.
【答案】5
【巩固】 已
知x =，试求4322
621823
815x x x x x x --++-+的值。 【考点】二次根式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】
因为x =
=
=
4=，
所以4x -=2(4)3x -=，即28152x x -+=。 由综合大除法，得 原式22382021815x x x x x -=+-+
-+2
121(3820)
2
x x x =+-+-2(815)3x x =-++5=。 【答案】5
课后练习
练习 1． 先化简，再求值：
22
111
1121
x x x x x +-÷+--+，其中1x =． 【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，乌鲁木齐，中考
【解析】原式222
2
11(1)11(1)(1)21(1)(1)11(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x --+--=-?=-==++-+++++，
当1x =时，原式)
2
2
2
3
11
=
=
+． 【答案】23
练习 2． 先化简，再求值.2222
22(1)2a b a b a b ab ab
-+÷+-，其中5a =3b =-
【考点】二次根式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2006年，南通，中考
【解析】2222
22
(1)2a b a b a b ab ab
-+÷+-22()()2()2a b a b a ab b ab a b ab +-++=÷-222()a b ab ab a b a b +==++.
当5a =-3b =-+时，原式21
a b ==+.
【答案】1
练习 3． 化简求值：22
222a ab b a b ++-，其中a ，b ． 【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【
解析】原式2()
()()a b a b a b a b a b ++==-+-，而1a ，1b ==，故原式=
【答案】
练习 4． 已知2a b +=-，1
2
ab =
.
【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】∵1
02
ab =>，∴a b ，同号，又∵2a b +=-，∴00a b <<，
2
====
【答案】
练习 5． 设a 是一个无理数，且a ，b 满足1ab a b +-=，求b 【考点】简单数论 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2002年，四川，竞赛题
【解析】由1ab a b +-=可得，
(1)11(1)a b b b +=+=?+，a 是一个无理数，所以1a ≠，则10b +=，所以1b =-
【答案】1b =-
练习 6．
9+
9-a 和b ，求348ab a b -++的值. 【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】天津市，初中数学竞赛
【解析】
∵913a +
，95b =+
，∴3a =
，4b =
∴原式3)(43)4(488=-++=.
【答案】8
练习 7． 已知a
b
32()(2)a b -++的值. 【考点】二次根式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
(完整版)二次根式经典题型分类复习
二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
常考题型： 题型一、形如： 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”，则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ．x ≥1 C ．x ≤－1 D ．x <－1 变式1、要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥﹣2 C ．x≥2 D ．x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣且x≠1 B ． x≠1 C ． D ． 题型二、二次根式的运算（加减乘除）b a ab ?=（a≥0，b≥0）b a b a = （a≥0，b>0） 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于（ ）. A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是（ ） A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是（ ） A ． x 6+x 2=x 3 B ． C ． （x+2y ）2=x 2+2xy+4y 2 D ． 例2、计算1 489 3 -的结果是（ ） (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是（ ） ． 4 B ． C ． 2 = D ． 3 例4、下列各式计算正确的是（ ） A ． 3a 3+2a 2=5a 6 B ． C ． a 4?a 2=a 8 D ． （ab 2）3=ab 6
二次根式知识方法题型总结
?- a(a < 0) 再根据具体情况判断是否需要讨论 a 2 = a = ? . b = 学习必备 欢迎下载 二次根式知识方法题型总结 一、本章知识内容归纳 1.概念： ①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义； ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式； ③同类二次根式—— 的二次根式； 2.性质：① a ≥ 0(a ≥ 0) 非负性; ② ( a ) 2 = a(a ≥ 0) ; ③ ?a(a ≥ 0) (字母从根号中开出来时要带绝对值 ) 3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式 ①乘法和积的算术平方根可互相转化: a ? b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ; ②除法和商的算术平方根可互相转化: a a b (a ≥ 0, b > 0) ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式； ④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； ⑤乘法公式的推广： a ? a ? a ........ ? a =a ? a ? a ....... ? a (a ≥ 0,?a ≥ 0,..... ? a ≥ 0) 二、本章常用方 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 n 法归纳 方法 1.开方 ①偶数次方： a 2n = a n ； ②奇数次方： a 2n +1 = a n ? a 方法 2.分母有理化： ①概念：分母有理化就是通过 使得 其中 叫做该分母的有理化因式； ②常用的有理化因式： a 与 a 、 a + b 与 a - b 、 a + b 与 a - b 互为有理化因式； ③分母有理化步骤： 先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式； 将计算结果化为最简二次根式的形式。 方法 3. 非 0 的二次根式的倒数
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
二次根式知识点及典型例题练习
第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54
初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根 式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式（22211 (1) (2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋ 1 x-2 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式 4 3--x x 有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为 例4 若230a b -+-=，则 2 a b -= 。 例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2 + 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2 +b 2 ； B 、（a 2 +b 2 ）2 =a 2 +b 2 ； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ； 【知识点2】二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （ ）是一个非 负数，即)0(0≥≥a a 。 注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若2 0a b +=，则a=0,b=0。 （2）2 ()a a =（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数。注：二次根式的性质公式2 ()a a =（ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用：若，则2)a a =，如： 2 22)= （3） 例7 a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2 )(____________. 二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 鳥<0)； ［爲工Og叭2“)= 9-0)；3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质：、’、：、「??「〔； E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质：* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理； 2. 二次根式的加减运算先化简，再运算， 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用 .利用二次根式的双重非负性来解题 （岛 0 （a > 0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。A 、弋3 ； i" 2 2 ?等式 J （X 1） = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时，二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 (2) （4）若 x （x 1） . X I X 1，则x 的取值范围是 _______ （ 5）若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时， ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ，则 a 20042= _____________________ ;若 y 4，则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ，贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0，且 y0 时，则（ ） A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a （a b ） （即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 ）来解题 u （a 0） a （a 0） 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则（ ） 4.已知a , b , c 为三角形的三边，则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求． 【详解】 解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B = ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故选：C ． 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式=49?=49?=2×3=6，所以B 选项错误； C 、原式=1336=136 ，所以C 选项错误； D 、原式255164=- =-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， 二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。 人教版初中数学二次根式经典测试题附答案 一、选择题 1．下列各式成立的是（） A．2332 -=B．63 -＝3 C． 2 22 33 ?? -=- ? ? ?? D．2 (3) -＝3 【答案】D 【解析】 分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．详解：A．原式=3，不符合题意； B．原式不能合并，不符合题意； C．原式=2 3 ，不符合题意； D．原式=|﹣3|=3，符合题意． 故选D． 点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 分析已知和所求，要使二次根式2 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 解：∵二次根式2 a＋在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断． 【详解】 解：A 、B 与不能合并，所以A 、B 选项错误； C 、原式= ×=，所以C 选项错误； D 、原式= =3，所以D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列各式中计算正确的是（） A 268+= B ．233+= C 3515= D 42= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案． 【详解】 解：26不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.23 3515= 4，原式计算错误，故本选项错误． 故选： C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键． 5．已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4，故选 A. 二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值． （2）当x __________时，式子3 1 -x 有意义． 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时，二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数，22991 3 x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值． 例4、已知334y x x =-+-+，求23 8163y y xy ++-的值。 题型三 二次根式的性质与化简 例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+ 例6、计算 （1）() 13218---+ （2）()2 11111x x x ??-?- ?-+?? （3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 2 2 22d c ab d c ab +-＝______． 例7、化简求值 （1）化简：() 2 2a a b c a b c -++-++ （2）先化简再求值：2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??，其中21,21x y =+=- （3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y （4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1 (2-+x x 等于（ ） （A ）x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x （5）化简a a 3 -(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a （ 6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A （2）x 8，3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ） 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(3m ?=-?- ?? ，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a 初中数学试卷 八年级二次根式典型题训练 典型例题一 例01．在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+- m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12 (-m 分析 不论m 为任何实数，A 、C 、D 中被开方数的值都不是负数. 说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意义，记住在0≥a 时，式子a 才有意义，这样的题目都不在话下. 例02． y x 是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ． 0>y x C ．0≥x 且0>y D ． 0≥y x 分析 要使 y x 有意义，则被开方数y x 是非负数.应满足条件是0≥x 且0>y 或0≤x ，0 （7）12--a （8）122++a a 说明 判定一个式子是否二次根式，主要观察两方面：第一，被开方数是否非负；第二，是否为二次根式. 例04．求使x x 3132-++有意义的x 的取值范围. 说明 本题主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解. 例05．在实数范围内分解因式： （1）_________32=-x （2）________652 4=+-m m （3）________3222=--x x 例06．若x ，y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则_______=xy . 例07．求231294a a a a -+-+--+的值. 例08．当x 取什么值时，119++x 取值最小，并求出这个最小值. 例09．已知m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，计算)(n m -的值. 说明 一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 13的整数部分是3，但不易知道13的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由13=+n m 可求出13的小数部分n . 练习： 1．填空题 （1）当x ______时，1-x 是二次根式. （2）=-2 )6.1(_______. （3）把7写成一个数的平方得_______. （4）在实数范围内因式分解=-22 x _____. （5）=2 )23(________. （6）若x +3不是二次根式，则x 取值范围是_______. （7）2 ) (9=ab . 二次根式典型例题讲解 【知识要点】 10)a ≥的式子叫做二次根式。 注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中0a ≥根式的前提条件。 2、二次根式的性质： （10(0)a ≥ （2）2(0)a a =≥ （3a （4）)0b ,0a (b a ab ≥≥?= （50,0) a b ≥> 3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。 即)0b ,0a (ab b a ≥≥=?。 4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 0,0) a b =≥>。 5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。 6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2 (0)a a =≥。 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。 一般常见的互为有理化因式有如下几种类型： ①；③a a ④ 7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 8、二次根式的加减法 二次根式的加减，就是合并同类二次根式。 二次根式加减法运算的一般步骤： （1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。 【典型例题】 例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ （1 （2 （3 （4 （5 （6 例2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。 二次根式的复习代数式知识结构图： 二次根式典型习题 一、二次根式的定义 1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A 、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、— 2、下列格式中一定是二次根式的是（ ） A 7- B 32m C 、12+x D 3b a 二、二次根式下有关字母的取值范围 3、 4、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ） A 、 与 B 、（ ）2与 C 、 与 D 、 与 5、如果 2 1 2 1--= --x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2 61 1x -是二次根式，则x 的取值范围是 7、式子 3 23+-x x 中x 的取值范围是_______ 三、二次根式的非负性 8、若588+-+-= x x y ，则xy = _______ 9、已知a 为实数，下列四个命题错误的是（ ） A ．若a a 2 =1，则a>0 B.若a<0,则 2a —a= —2a C. 若— 21a = —a 1，则a>0 D.若a ≥—2，则12++a a 有意义 10、化简1 a - ） A a B 、a C 、a - D a - 4-3x - 1-a 2-x 1+x x 2x 12+x 22+x 1-x x 1 四、2 a a =的理解 11、 12、化简2 )21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-± 13、若2)3(-a =3—a ，则a 的取值范围是______________ 14、若2x ＋1＋|y ＋3|＝0，则(x ＋y)2 的值为（ ） A ．52 B ．－52 C ．72 D ．－72 五、实数范围因式分解 15、把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： 16、在实数范围分解因式：x 2—23x+3=___________________ 2x 2－4=_______________ 六、最简二次根式 17、 18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、 a b D 、45 19、二次根式 2 1，12，2 22,40,2,30y x x x ++中最简二次根式是____________ 20、下列根式中，能合并的是（ ） A ．xy 和 2xy B. 3a a 与 a 1 C.xy 与2x D. a 与3a 七、二次根式的计算 21、若 b a b a =成立，则————————————————（ ） 0. 0. ;0,0.;0,0.≥>>≥≥≥b a D b a C b a B b a A 初中数学二次根式经典测试题含答案 一、选择题 1．a 的取值范围为()n n A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ． 2．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选 A. 4．下列各式计算正确的是( ) A ．2＋b ＝2b B = C ．(2a 2)3＝8a 5 D ．a 6÷ a 4＝a 2 【答案】D 【解析】 解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误； B 不是同类二次根式，不能合并，故错误； C ．（2a 2）3=8a 6，故错误； D ．正确． 故选D ． 5．12a =-，则a 的取值范围是（ ） A ．12 a ≥ B ．12a > C ．12a ≤ D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a ，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a ， ∴2a-1≤0， ∴12 a ≤ ． 故选：C ． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 6．m 的值不可以是（ ） A ．18 m = B ．4m = C ．32m = D ．627m = 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A. 18m =4 ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m = ，此选项符合题意 C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意； 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 2中是二次根式的个数有______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿. 4、若 1 a b -+互为相反数，则 ()2005 _____________ a b -=。 （公式)0()(2≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 举一反三： 1、 在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1 3、 ，则斜边长为 （公式的应用）???<-≥==) 0a (a ) 0a (a a a 2 【典型例题】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4） 4 5++x x （5）1 213-+ -x x （6）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （7）若1 31 3++= ++x x x x ，则x 的取值范围是 。 书写格式（4）由5+x ≥0且x +4≠0得x ≥－5且x ≠－4∴当x ≥－5且x ≠－4时代数式 4 5++x x 在实数范围内有意 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4. 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若2004a a -+=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+ -= x x y ，则= +y x 8. 设m 、n 满足3 2 992 2 -+-+ -= m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式=m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10<二次根式知识及典型例题
二次根式知识点归纳及题型总结 精华版
人教版初中数学二次根式经典测试题及答案
二次根式经典练习题汇总
人教版初中数学二次根式经典测试题附答案
二次根式考试题型汇总
二次根式_题型归纳总结
人教版八年级数学下二次根式典型题训练
二次根式典型例题
二次根式典型例题复习
初中数学二次根式经典测试题含答案
(完整word版)《二次根式》典型例题和练习题
人教版九年级上册二次根式典型例题