大学物理下册知识点总结(期末)

大学物理下册

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第一部分：气体动理论与热力学基础

一、气体的状态参量：用来描述气体状态特征的物理量。

气体的宏观描述，状态参量：

（1）压强 p ：从力学角度来描写状态。

垂直作用于容器器壁上单位面积上的力，是由分子与器壁碰撞产生的。单位 Pa （2）体积 V ：从几何角度来描写状态。

分子无规则热运动所能达到的空间。单位 m 3

（3）温度T ：从热学的角度来描写状态。

表征气体分子热运动剧烈程度的物理量。单位K 。 二、理想气体压强公式的推导：

三、理想气体状态方程：

112212

PV PV PV C T T T =→=； m PV RT M '=

； P nkT

=

第一部分：气体动理论与热力学基础 第二部分：静电场 第三部分：稳恒磁场 第四部分：电磁感应

第五部分：常见简单公式总结与量子物理基础

8.31J R k mol =g ； 23

1.3810J k k

-=?； 2316.02210A N mol -=?； A R N k =g 四、 理想气体压强公式：

2

3kt p n ε=

212

kt mv ε=分子平均平动动能

五、 理想气体温度公式：

2132

2

kt mv kT

ε==

六、气体分子的平均平动动能与温度的关系：

七、刚 性 气 体 分 子 自 由 度 表

八、能均分原理：

1. 自由度：确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。

2. 运动自由度：

确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目，称为该物体的自由度 （1）质点的自由度：

在空间中：3个独立坐标 在平面上：2 在直线上：1 （2）直线的自由度：

中心位置：3（平动自由度） 直线方位：2（转动自由度） 共5个 3. 气体分子的自由度 单原子分子 (如氦、氖分子)3i

=；刚性双原子分子5i =；刚性多原子分子6i =

4. 能均分原理：在温度为T 的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动都相等，其值为

1

2

kT

推广：平衡态时，任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量更占优势,在各个自由度上，运动的机会均等,且能量均分。 5.一个分子的平均动能为：2

k

i kT ε=

五. 理想气体的能（所有分子热运动动能之和） 1.1mol 理想气体2

i E RT =

5.

一定量理想气体()2i m E RT M

νν'

==

九、气体分子速率分布律（函数）

速率分布曲线峰值对应的速率 v p 称为最可几速率，表征速率分布在 v p ~ v p + d v 中的分子数，比其它速率的都多，它可由对速率分布函数求极值而得。即

十、三个统计速率： a.

平均速率

M

RT M RT m kT

dv v vf N

vdN

v 60.188)(0

===

==

??∞

∞

ππ

b. 方均根速率

M

RT

M

k T

v dv

v f v

N dN

v

v

73.13)(20

2

2

2

==

?

=

=

??∞

C. 最概然速率：与分布函数f(v)的极大值相对应的速率称为最概然速率，其物理意义为：在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在p v 附近的单位速率区间的分子数占气体总分子数的百分比最大。

M

RT M RT m kT v p 41.1220===

三种速率的比较：

各种速率的统计平均值： 理想气体的麦克斯韦速率分布函数

十一、分子的平均碰撞次数及平均自由程：

一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞次数表示为 Z ，一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程叫平均自由程。表示为 λ 平均碰撞次数 Z 的导出：

热力学基础主要容

一、能

41

.1:60.1:73.1::2=p v v v Z

v =

λn v d Z 2

2π=p

d kT 2

2πλ=

n

d Z

v 221πλ=

=

kT

mv e

v kT

m v f 22232

)2(4)(-=ππ?∞

?=0

)(dv

v f v v ?

∞

?=

22)(dv

v f v v

分子热运动的动能(平动、转动、振动)和分子间相互作用势能的总和。能是状态的单值函数。

对于理想气体，忽略分子间的作用 ，则 平衡态下气体能： 二、热量

系统与外界（有温差时）传递热运动能量的一种量度。热量是过程量。

摩尔热容量：( Ck ＝Mc )

1mol 物质温度升高1K 所吸收(或放出)的热量。 Ck 与过程有关。 系统在某一过程吸收（放出）的热量为：

系统吸热或放热会使系统的能发生变化。若传热过程“无限缓慢”，或保持系统与外界无穷小温差，可看成准静态传热过程。 准静态过程中功的计算： 元功:

应用：

单位均用焦耳（J ）表示。

准静态过程（平衡过程）

系统从一个平衡态到另一个平衡态，中间经历的每一状态都可以近似看成平衡态过程。 三.热力学第一定律：

Q E W

=?+；dQ dE dW

=+

1.气体2

1

V V W

Pdv =

?

2.,,Q E W ?符号规定

3.2121()V m V m m m dE

C dT E E C T T M M

''

=

-=-g g 或

2

V m i

C R =

g 热力学第一定律在理想气体的等值过程和绝热过程中的应用： 1. 等体过程

气体容积保持不变 (dV = 0 ) 等容过程中的功 A = 0 （dV = 0）

等容过程能

RdT dE i M 2μ=)

(122

T T

R E i M -=

μ?

210()V m W Q E C T T ν=??

?

=?=-??g 能仅与始末态温度有关。

2. 等压过程:

系统压强保持不变 (P = 常数，dP = 0 ) 等压过程中的功 :

212121()()()p m W p V V R T T Q E W C T T νν=-=-???=?+=-??

g C 2,12C p m p m V m V m i C C R R γ+=+=>g g g g 热容比＝ 3.等温过程:

212211

0T T E E m V m p Q W R T ln R T ln M V M p -=?

?

''?

===?? 绝热过程 : 特征：Q=0

210()V m Q W E C T T ν=??

?

=-?=--??

g

绝热方程1PV C γ=， -12V T C γ= ，13P T C γγ--= 。

四.循环过程:

特点：系统经历一个循环后，0E ?=系统经历一个循环后Q W =（代数和）（代数和）

1. 正循环（顺时针）-----热机 逆循环（逆时针）-----致冷机

)(12T T C M m

Q K k -=

)

(12T T C M m K -=)(12T T Mc M m

-=)(12T T mc Q -=∑∑+i

pi

i

ki E E E ＝内)

(T E E E k ＝理=RT i

M m E 2

=

PdV

PSdl l d F dA ==?=

2. 热机效率：

12

2111

1Q Q Q W Q Q Q η-=

==- 式中：1Q ------在一个循环中，系统从高温热源吸收的热量和； 2Q ------在一个循环中，系统向低温热源放出的热量和； 12W Q Q ＝－------在一个循环中，系统对外做的功（代数和）

。 3.

卡诺热机效率: 21

1c T T η=-

式中：1T ------高温热源温度；2T ------低温热源温度； 4. 制冷机的制冷系数： 卡诺制冷机的制冷系数：221212

Q T e Q Q T T ==

--

五. 热力学第二定律

1. 开尔文表述：从单一热源吸取热量使它完全变为有用功的循环过程是不存在的（热机效率为100%是不可能的）。

2. 克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传到高温物体。

3. 可逆过程和不可逆过程:

可逆过程：任何一个系统状态变化过程若能使系统沿着相反方向经过与原来完全一样的中间状态再回到原状态而不引起其他变化。 说明：1）系统复原；2）外界复原。

不可逆过程：若一过程产生的效果无论用任何复杂的方法，在不引起其他变化的条件下，都不能回复原态。 一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的。

熵是态函数: 熵有相加性;绝热不可逆过程熵增加; 熵是系统混乱度的量度，在平衡态时达最大。 熵增加原理:

在绝热过程中,熵永不减少。任何自发不可逆过程总是向熵增加方向进行。

【例1】（大本练习册P145—38）一定量的理想气体，由状态

a 经

b 到达

c ．(如图，abc 为一直线)求此过程中 （1）气体

对外作的功；（2）气体能的增量；（3）气体吸收的热量．(1 atm ＝1.013×105

Pa)

【例2】（大本练习册P146—41）一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知气体在状态A 的温度为T A ＝300 K ，求

(1) 气体在状态B 、C 的温度；

(2) 各过程中气体对外所作的功； (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)．

【例3】（大本练习册P146—44） 气缸贮有36 g 水蒸汽(视为刚性分子理想气体)，经abcda 循环过程如图所示．其中a －b 、c －d 为等体过程，b －c 为等温过程，d －a 为等压过程．试求：

(1) d －a 过程中水蒸气作的功W da (2) a －b 过程中水蒸气能的增量?E ab (3) 循环过程水蒸汽作的净功W

(4) 循环效率η

(注：循环效率η＝W /Q 1，W 为循环过程水蒸汽对外作的净功，Q 1为循环过程水蒸汽吸收的热量，1 atm= 1.013×105

Pa)

【例4】（教材8—4）一定量理想气体分别经过等压，等温和绝热过程从体积1V 膨胀到体积2V ，如图所示，则下述正确的是 ( )

（A ）C A →吸热最多，能增加 （B ）D A →能增加，作功最少 （C ）B A →吸热最多，能不变 （D ）C A →对外作功，能不变

【例5】（大本练习册P131—19）图示曲线为处于同一温度T 时氦（原子量4）、氖（原子量20）和氩（原子量40）三种

气体分子的速率分布曲线。其中：曲线（a ）是 气分子的速率分布曲线；曲线（c ）是 气分子的速率分布 曲线。

【例6】某理想气体分别进行了如图所示的两个卡诺循环：Ⅰ（abcda ）和Ⅱ)(a d c b a '''''，且两条循环曲线所围面积相等。 设循环Ⅰ的效率为η，每次循环在高温热源处吸收的热量为Q ，循环Ⅱ的效率为η'，每次循环在高温热源处吸收的热量

22

12

Q =

Q -Q =定义：Q e W 0

1 2 3

1 2 3 a

b c

V (L)

p (atm)

A B C

O

V (m 3)

100 200 300

p (atm ) V (L) O a b c

d 25 50 2 6

Q '，则（ ）

Q Q ,'<'< (A)ηη Q Q ,'>'< (B)ηη Q Q ,'<'> (C)ηη Q Q '>'> (D),ηη

【例7】两个卡诺热机的循环曲线如图所示，一个工作在温度为T 1与T 3的两个热源之间，另一个工作在温度为T 2与T 3的两 个热源之间，若这两个循环曲线所包围的面积相等。由此可知（ ）

（A ）两个热机的效率一定相等。（B ）两个热机从高温热源所吸收的热量一定相等。

（C ）两个热机向低温热源所放出的热量一定相等。（D ）两个热机吸收的热量与放出的热量（绝对值）的差值一定相等。 【例8】一热机由温度为727 ℃ 的高温热源吸热，向温度为527 ℃ 的低温热源放热。若热机在最大效率下工作，且每一循环吸热2000 J ，则此热机每一循环作功 J 。

【例9】图示为一理想气体几种状态变化过程的p –V 图，其中MT 为等温线，MQ 为绝热线，

在AM 、BM 、CM 三种准静态过程中降低的是 过程；放热的是 过程。

静 电 场 部 分

真空中的静电场

一、点电荷的电场强度

以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为：

r Q q F E 2

041επ=

=

常见电场公式： 无限大均匀带电板附近电场：εσ

02=

E

二、 电势

⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷有关，而比值q

E pa 0

则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中

某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即

q

E p V 0

=

⑵、对电势的几点说明

①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞

?==

p

p

dr E V q

E 0

即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远

处的线积分。

⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r

q V

επ04=

半径为R 的均匀带点球面电势分布：

R

q V επ04=

()R r ≤≤0 r

q V επ04=

()R r ≥

四、三大定理： 1、场强叠加定理

V

a

b c

d

b '

c '

1

T 2

T 0

p

点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即E E

E n E +++= (2)

1

2、电势叠加定理：

V

1

、

V

2

...

V

n

分别为各点电荷单独存在时在P 点的电势点电荷系 的电场中，某点的电势等于各点电荷单独 存

在时在该点电势的代数和。

3、高斯定理

在真空中的静电场，通过任意封闭曲面的电通量等于该闭合曲面包围的所 有电荷的代数和除以ε

说明： ①高斯定理是反映静电场性质的一条基本定理。

②通过任意闭合曲面的电通量只取决于它所包围的电荷的代数和。

③ 高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。

4、电通量

取电场中任一面元ds ，通过此面元的电场线条数即定义为通过这一面元的电 通量

Φd

① 过任意曲面的电通量为：

??ΦΦ?==s

e e ds E d ②对封闭曲面来说，?Φ?=s

e ds E 并且，对于封闭曲面，取其外法线矢

量为向，即穿入为负、穿出为正。 导体和介质中的静电场 一、导体静电平衡的条件：

1.导体静电平衡的条件：（与导体形状无关）

a 、导体部的场强处处为零，即int 0E =u r ；

b 、导体表面紧邻处的场强和导体表面垂直，即S E ⊥u r

表面；

4、导体静电平衡时的特点：导体是个等势体、表面是个等势面； 二、静电平衡的导体上的电荷分布：

1、处于静电平衡的导体，其部各处的净电荷为零，电荷只能分布在表面；

证明：在导体取一高斯面，由高斯定理可知： 高斯面

int

e S

q E d S εΦ=?=

∑?u r u r ?

由静电平衡条件0E =u r

，可知，int 0q =∑。

面是否会出现等量异号电荷？

反证：若出现等量异号电荷，则导体有电力线，即有电场，与静电平衡条件矛盾。

2、处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比；

3、孤立的导体处于静电平衡时，它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大； 三、电介质的极化 电极化强度

电介质的极化 ：

电介质就是绝缘体，其部没有自由移动的电荷，但在外电场 中又能显示一定的电效应，把电介质放到外电场中，表面出现 极化电荷，这现象叫电介质的极化。

0E u r ：外电场；'E u r ：极化场强；E u r ：总场强。0

r

E E ε=

u r

u r ，相对介电常数0

r

εεε=

，与电介质有关。

极化场强削弱外场强，但不能抵消外场强。 四、电容与电容器

（一）电容的定义：Q C U

=

，SI 单位：法拉，F ；单位换算：6110F F μ-=；12

110pF F -=。 注意：a 、电容是电容器的固有属性，与极板上的电荷、极板间的电势差无关；b 、电容的大小与其本身材料、形状、结构以及周围的介质有关；4、电容器的符号：

（二）电容器电容的计算：

1、设电容器处于工作状态，带电量为Q ；

2、确定极板间的场强；

3、由B

AB A

U E dl ?==??

u r r

确定两板间的电势差；

五、电容器的串联与并联 1C 2C 3C

1、串联：i U

U =∑，i Q Q =， + - 所以电容

11

i i i

U U C Q Q C ===∑∑，

U

串联时，总电容比每个分电容都减小了，但是由于总电压分配到各个电容器上，所以电容器组的耐压能力比每个分电容器都强了。 +

2、并联：i U

U =，i

Q Q =∑，

U

1C 2C 3C

所以电容i

i i

Q Q C C U U =

==∑∑

-

并联时，总电容增加了，但因每个电容器都直接连接到电压源上，所以电容器组的耐压能力受到耐压能力最小那个电容器的限制。 六、静电场能量 电场能量密度

1. 22111

222

Q Q CU W CU QU C =?=

== 2. 电场的能量：电场的能量202

r

W

E Sd εε=

3、电场能量密度：2

02

r e E W

dV dV εεω==??

【经典例题】

1.如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的

P 点的电场强度．

L

d

q P

2. 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．

+Q

－Q

R

O

x

y

3. 带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为=

sin ，式中

为一常数，为半径R 与x 轴所成

的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度．

y R

x

φ

O

4. 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a ，其电荷线密度分别为－和＋．试求： 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox 轴如图所示，两线的中点为原点)． -λ

+λ

a O

x

5.【大本练习册P164-38】 如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l ，细线左端离球心距离为r 0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

r 0

l

q

R O

λ

6. 如图所示，一半径为R 的圆环，其上无规则地分布着电荷，已知总电荷为q ．试求圆环轴线上距离圆心

O 为x 的P 点处的电场强度的x 分量．

O

R q

P

x

x

（10题图）

7. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R ，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为，试求轴线上一

点的电场强度．

8. 用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为0

2εσ=

E 9. 一个外半径分别R 1为R 2和的均匀带电球壳，总电荷为Q 1，球壳外同心罩一个半径为 R 3的均匀带电球

面，球面带电荷为Q 2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r 的连续函数？

10.如图所示，一半径为R 的均匀带正电圆环，其电荷线密度为λ。在其轴线上有A 、B 两点，它们与环心的

距离分别为ROBROA8,3

，

一质量为m 、带电量为q 的粒子从A 点运动到B 点，求在此过程中电场力所作的功。

11.【大本练习册P164-35】图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0

(x -a )，λ0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．

a l x

12.【大本练习册P164—36】电荷以相同的面密度σ 分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面

上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V ． (1) 求电荷面密度σ．

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

13.【大本练习册P163—30】一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为

4

πR qr

=

ρ (r ≤R ) (q 为一正的常量) ρ = 0 (r >R )

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球、外各点的电场强度；(3) 球、外各点的电势．

14.【大本练习册P175—4】在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳外的场强分布．如

果将此点电荷从球心移到球壳其它位置，重新测量球壳外的场强分布，则将发现：（ ） (A) 球壳、外场强分布均无变化． (B) 球壳场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳不变． (D) 球壳、外场强分布均改变．

15. 【大本练习册P177—24】如图所示，一半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔

距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳外表面上的电荷。(2) 球心O 点处，

由球壳表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势．

q Q

a b

O r

16.【大本练习册P176—12】C 1和

C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。

把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，则（ ）

(A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 17.【大本练习册P175—10】C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，则（ ）提示：充电后将电源断开，两电容器的总电量不变，即常量=+21q q （A ）C 1和C 2极板上电量都不变（B ）C 1极板上电量增大，C 2极板上电量不变

（C ）C 1极板上电量增大，C 2极板上电量减少（D ）C 1极板上电量减少，C 2极板上电量增大 18.【大本练习册P177—28】

稳恒磁场部分

一、磁感应强度B

磁感应强度可以用磁场力的三个公式（运动电荷所受的磁场力公式、电流所受的磁场力公式、载流线圈所受的磁力矩公式）定义。

例如从安培力的角度，B 定义为单位电流元在该处所受的最大安培力。

()Idl dF B max

安=

二、磁力线 磁通量

磁力线的特征 1. 闭合曲线；2. 与电流相互套连；3. 方向与电流的方向服从右手螺旋定则。 磁通量的定义式

S B d d Φm ?=

??=S

m d ΦS B

三、磁场的基本规律 1、毕?萨定律

2

4r πId d r l B ?=

真空磁导率 m/A T 10470??=-πμ

磁介质的相对磁导率 r μ

磁介质的绝对磁导率（简称磁导率） r μμμ0= 2、叠加原理

∑=i

i B B ， ?=B B d

利用毕?萨定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场分布。 3、B 的高斯定理 (磁通连续方程)

?=?S

d 0S B

4、安培环路定理

真空中

∑?=?内

I

d L

μl B

有磁介质时

∑?=?I d L

l H

H B μ=

四、几种典型电流的磁感应强度

一段载流直导线 ()210cos cos 4φφ-=

r

πI

μB 无限长载流直导线 r

πI

μB 20=

无限长均匀载流薄圆筒 r

πI

μB B 2,00=

=外内 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 0,0==外内B nI μB 圆电流圈的圆心和轴线上 ()

2

32

20轴线022/x R πIS

μB R I μB +==

，中心

五、磁力公式

1、运动电荷所受的磁场力(洛仑兹力) B v f ?=q 洛

2、电流所受的磁场力（安培力）

电流元所受的磁场力 B l F ?=Id d 电流L 所受的磁场力 ??=L

Id B l F

3、载流线圈的磁矩和载流线圈受受的磁力矩

载流线圈的磁矩 S p I m = 载流线圈受的磁力矩 B p M ?=m

1、【大本练习册P199 58题】横截面为矩形的环形螺线管，匝数为N ，通电电流为I ，其横截面积为矩形，芯子材料的磁导率为μ ，圆环外半径分别为R 1和R 2 ，求：

（1）芯子中的B 值和芯子截面磁通量。 （2）在r R 2处的B 值。

2、【大本练习册P200 66题】一半径为R 2的带电薄圆盘，其中半径为R 1的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为σ；其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为–σ。当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心点O 的磁感应强度为0，问R 1与R 2满足什么关系？

3、【结论】（1）在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到很远的电源上，求环中心处的磁感应强

度。

（2）两根长直导线沿铜环的半径方向引向环上的a ，b 两点，如图所示，并且与很远的电源相连。设圆环由均匀导线弯曲而成，电源电流为I ，求各段载流导线在环心O 点产生的磁感强度以及O 点的合磁场的磁感强 （3） （4）

b

1

R 2R o

1题

2题

1

R 2

R O

C

2I -

+

1I A

B

R

O

D

E

F

4题（1）

（4）

4、【大本P195—36题】有一同轴电缆，其尺寸如图(a)所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度。

4、如图，平行的无限长直载流导线A和B，电流强度均为I，垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为a，则(1) AB中点(P点)的磁感强度Bp = ____________．(2) 磁感强度B沿图中环路L的线积分= 。

5. 【大本练习册P200——65题】

电磁感应部分

一、电磁感应现象

1．感应电动势：

当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。

3．电动势的数学定义式：

定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即

()

??

=

l

K

l d

K：非静电力

ρ

ρ

ρ

ε

说明：（1）由于非静电力只存在电源部，电源电动势又可表示为

??

=正极

负极

l d

K

ρ

ρ

ε

表明：（1）电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源部移到正极时，非静电力所做的功。

（2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：

()

??

=

l

K

l d

K：非静电力

ρ

ρ

ρ

ε

（3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源部到正极的方向规定为电动势的方向。

二、电磁感应定律

1、定律表述

在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式：

dt

d

k

i

Φ

-

=

ε

在SI制中，

1

=

k，（S

t

V

Wb:

;

:

;

:ε

Φ

），有dt

d

i

Φ

-

=

ε

上式中“-”号说明方向。

2、i

ε

方向的确定

为确定i

ε

，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据dt

d

i

Φ

-

=

ε

计算i

ε

。

,0>Φ00Φi dt d ε ,0>Φ0

0>?<Φ

i dt d ε

沿回路绕行反方向沿回路绕行方向:0:0<>i

ε

三、楞次定律

此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。

楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。 说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表述。 （2）楞次定律是能量守恒定律的反映。

四、动生电动势

产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力。一个电子受洛仑兹力为

()→

→→

B ?-=v e f

它是产生动生电动势的非静电力。单位正电荷受洛仑兹力为：（正电荷e 受洛仑兹力为-→

f

）

→→→

→

?=--=

B K v e f

)(

由电动势定义，则动生电动势为：

→→

?K =?l d l

i ε→

→→

??=?l

d B v l

)(

→

→

→

→

??==↓?l

d B v v AB B A )(0边外其他没动，即除

动生电动势公式 ：

→

→

→

??=?l

d B v A B i )(ε

说明：（1）i ε的方向为沿)(→

→

?B v 在→

l d 上分量的方向。0>i εi ε沿B A →方向，即点电势高；点比A B 0

→→??=?l d v l i )(B ε可求出运动回路电动势。

用

→

→→

??=?l

d v B A

i )(B ε可求出非闭合回路运动的动生电动势。这时，AB 相当一个开路电源，其端电压与i ε在数值上相等，但意义不同：

A -U U

B 是单位正电荷从B 移到A 时静电力作的功，i ε是单位正电荷从A 移到B 时非静电力（洛仑兹力）作的功。

感生电动势：

=i ε→

→??l

d E l 涡 =

dt d Φ-

说明：法拉第建立的电磁感应定律的原始形式=i εdt d Φ-

只适用于导体构成的闭

合回路情形；而麦克斯韦关于感应电场的假设所建立的电磁感应定律=i

ε→

→

??l d E l 涡=

dt d Φ

-

，则闭合回路是否由导体组成的无关紧要，

闭合回路是在真空中还是在介质中都适用。这就是说，只要通过某一闭合回路的磁通量发生变化，那么感应电场沿此闭合回路的环流总是满足

=i ε→

→??l

d E l 涡=

dt d Φ

-

。只不过，对导体回路来说，有电荷定向运动，而形成感应电流；而对于非导体回路虽然无感生电流，但感应电

动势还是存在的。

五、自感电动势 自感

1.自感现象：当一回路中有电流时，必然要在自身回路中有磁通量，当磁通量变化时，由法拉第电磁感应定律可知，在回路中要产生感应电动势。由于回路中电流发生变化而在本身回路中引起感应电动势的现象称为自感现象。该电动势称为自感电动势。（实际上，回路中电流不变，而形状改变，则也引起自感电动势。） 2．自感系数：

（1）定义：设通过回路电流为I ，由毕—沙定律可知，这电流在空间任意一点产生的→

B 其大小与I 成正比，所以通过回路本身的磁通量与I 成正比，即LI =

Φ式中：L 定义为自感系数或自感，L 与回路的大小、形状、磁介质有关（当回路无铁磁质时，L 与I 无关）。在SI 单位制中，

L 单位为亨利，记作H 。

（2）自感电动势与L 的意义自感电动势记为

L ε，

L ε=

)(dt dL

I dt dI L dt d +-=Φ-

当回路的形状、大小、磁介质不变时，

dt

dI

L

L -=∴ε

六、磁场的能量 磁场能量密度

（1）2

21I =L W m 对任意线圈均成立。（2）m w 表达式普遍成立。（3）任意磁场中，能量可表示为

V d V d V d w W m m ???BH =B ==νννμ2122

例题部分：

1、在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面，且线圈中两条边与导线平行，当线

圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流 (A) 以情况Ⅰ中为最大． (B) 以情况Ⅱ中为最大． (C) 以情况Ⅲ中为最大． (D) 在情况Ⅰ和Ⅱ中相同．

a b c d

a

b c d

a b

c

d v

v v

Ⅰ

ⅢⅡ

I

2. 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r 1和r 2．管充满均匀介质，其磁导率分别为1和2．设r 1∶r 2=1∶2，1∶2=2∶1，当将两只螺线管串联在电路电稳定后，其自感系数之比L 1∶L 2与磁能之比W m 1∶W m 2分别为： (A) L 1∶L 2=1∶1，W m 1∶W m 2 =1∶1． (B) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶1． (C) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶2． (D) L 1∶L 2=2∶1，W m 1∶W m 2 =2∶1．

3.一面积为S 的平面导线闭合回路，置于载流长螺线管中，回路的法向与螺线管轴线平行．设长螺线管单位长度上的匝数为n ，通过的电流为t I I

m ωsin =（电流的正向与回路的正法向成右手关系），其中I

m

和为常数，t 为时间，则该导

线回路中的感生电动势为__________________．

4.如图所示，aOc 为一折成∠形的金属导线(aO =Oc =L )，位于xy 平面中；磁感强度为B ?

的匀强磁场垂直于xy 平面．当aOc

以速度v ?沿x 轴正向运动时，导线上a 、c 两点间电势差U ac =____________；当aOc 以速度v ?

沿y 轴正向运动时，a 、c 两点

的电势相比较, 是____________点电势高．

.

v ?B ? y O x

v ? c a θ

×

××

××××

×

×

5.金属杆AB 以匀速v =2 m/s 平行于长直载流导线运动，导线与AB 共面且相互垂直，

如图所示．已知导线载有电流I = 40 A ，则此金属杆中的感应电动势 i =____________，电势较高端为______．(ln2 = 0.69) I

1 m

1 m

A B

v ?

6.载有电流的I 长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径

为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度 v ?

平行导线平移，求半圆环感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压U M 、U N ．

b

M

N

e a

I O

v ?

7.如图所示，长直导线中电流为i ，矩形线框abcd 与长直导线共面，且ad ∥AB ，dc 边固定，ab 边沿da 及cb 以速度v ?

无摩擦地匀速平动．t = 0时，ab 边与cd 边重合．设线框自感忽略不计． (1) 如i =I 0，求ab 中的感应电动势．ab 两点哪点电势高？

(2)如i =I 0cos t ，求ab 边运动到图示位置时线框中的总感应电动势．

常用简单公式总结：

1． 理想气体状态方程：RT M PV μ

=或P=nkT （n=N/V ，ｋ=Ｒ/N 0）

2.能量均分原理：在平衡态下，物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其大小都为kT/2。

3.热力学第一定律：ΔE=Q+A 4．热力学第二定律：

孤立系统：ΔS>0（熵增加原理）

毕奥－沙伐尔定律：20

04r r l Id B d ?

????=πμ 磁场叠加原理：??=L r

r l Id B 2

04?

??πμ 运动电荷的磁场：2

04r r v q B ?????=πμ 磁场的高斯定理：0=???S

S d B ?

?

磁通量：???=S

m S d B ?

?Φ

安培环路定理：∑?=?I l d B L

0μ?

?

载流直导线：()120sin sin 4ββπμ-=a

I

B

圆电流轴线上任一点:

(

)

2

32

22

03

2

022R

x IR

r IR

B +=

=

μμ

载流螺线管轴线上任一点:

()120cos cos 2

ββμ-=

nI

B

安培力：B l Id f d ????=, ??=L

B l Id f ?

??

载流线圈在均匀磁场中所受的磁力矩：B P M m ?

???=洛仑兹力：B v q f ????=

磁力的功：?ΦΦΦΦ

I A Id A I =??→?=

=?恒量

2

1

b

IB

R U H

AA ='

，nq R H 1= 法拉第电磁感应定律：dt d i Φ

ε-= 动生电动势：???=a b

ab

l d )B v (??

?ε

感生电动势，涡旋电场：S d t

B l d E L

k i ???

????-=?=??

?ε 自感：I

N L Φ=

， dt dI L L -=ε，2

21LI W m =

互感：212112I N M Φ=

，1

21221I N M Φ

= 2112

M M = dt dI M 21212-=ε， dt

dI

M 12121-=ε

磁场的能量：μω2212

B BH m ==，?=V

m m dV W ω

狭义相对论动力学：

① 2

01β

-=

m m

② 2

01β

-=

=v m mv P

③ 2mc E =， 2

mc E ??=202c m mc E k -= ④ 2

02

22

E c P E +=

斯特藩-玻尔兹曼定律: 4T )T (E B σ=4281067.5---???=K m W σ

唯恩位移定律:b T m =?λ, K m .b ??=-3108972 普朗克公式: 1

2),(5

2-=

-T

k hc B e hc T e λλπλ 爱因斯坦方程：A mv h +=

2

2

1ν 红限频率：h A =

0ν 康普顿散射公式：)cos 1(?λ?-=c

m h

e 光子：

νεh =， λ

h

P =

三条基本假设：定态，nh h

n L =?=π

2，m n E E h -=ν 两条基本公式：

2

220me n h r n πε=o

A n 2

529.0=2220418n

h me E n ?-=εeV n 26.13-=ΛΛ,3,2,1=n

i l 1

l 0

l 2 a

b

c

d A B

v ?

.

粒子的能量：νh mc E ==2

粒子的动量：λ

h

mv P =

=

测不准关系 h P x x ≥???