数学：第四章《代数式》学案(浙教版七年级上)

数学：第四章《代数式》学案（浙教版七年级上）

重点、难点：

1. 在现实情境中理解字母表示数的意义。

2. 了解代数式、单项式、多项式的概念。

3. 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示及解释一些代数式的实际背景或几何意义。

4. 会求代数式的值 掌握要点： （一）知识要点

1. 用字母表示数或者一些量，还能表示以前学过的运算律和计算公式。

2. 已知两个量之间的关系，通过用字母表示其中的一个量，则另一个量也能用这个字母表示出来。

3. 体会字母表示数的意义 ，形成初步的符号感。 （二）重要提示：

1. 用字母表示数可以给我们研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，是数学发展史上的一大进步。

2. 在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3. 用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义 ，并且符合实际。

【典型例题】

例1. 用字母表示下面实际问题：

（1）行驶中的火车速度为v 米/秒，汽车行驶的速度是火车速度的31

，用v 表示汽车速度；

（2）如图4.1—1，表示圆环的面积；

（3）如图4.1—2，是用火柴摆出的三角形的图案，当摆n 个三角形时，需火柴多少根？

分析：（1）如果是一个数，该题就是求v 的31是多少，可表示为31

v ；

（2）分别用R ，r 把大圆和小圆的面积表示出来，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面； （3）由图4.1—2可以发现，当第一个三角形摆完之后，每增加一个三角形就要增加2根火柴，所以

摆n 个三角形需。

解：（1）汽车的速度可表示为31

v ；

（2）圆环的面积为：πR 2

－πr 2

；

（3）摆成n 个三角形需要火柴3+2（n －1）根。

反思：（1）用含有字母的式子表示实际问题时，我们必须弄清实际问题中的数量关系；（2）字母与字

母，数与字母相乘可以把“?”写成“·”或不写，并把数字写在前面，如31?v 写成31v ，不写成v 31，

同理2?（n －1）写成2（n －1）。

例2. 如图4.1—3表示一圆形纸板，根据需求，需通过多次剪裁，把它剪成若干扇形 面，剪裁过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的 扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁方法进行下去；

（1）请你在下面的圆中，画出第2次剪裁后得到的7个扇形（要求画图准确）； （2）请你通过剪裁和猜想，将第4次和第n 次剪裁后得到扇形的总个数（S ）填入下表： 等分圆及扇形面的

次数（n ） 1

2

3

4

……

n

……

所得扇形的总个数

（s ）

4

7

10

……

……

（3）请你推断，能不能按上述的剪裁方向，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？

分析：寻找规律应从特殊到一般，从个别例子中先找出其变化规律。 解：（1）略（只要画图规范就可以） （2）填表得

等分圆及扇形

面的次数（n ） 1

2

3

4

……

n

……

所得扇形的总

个数（s ）

4

7

10

13

……

3 n+1

……

（3）由（2）得s ＝3n+1，当s ＝33时，3n+1＝33，n ＝1032

，因为n 是自然数， 所以不能将原来的扇形

纸片剪成33片。

反思：此题主要是抓住起始量与增加量的变化规律来解题的。请你推断，能不能按上述的剪裁方向，将原来的圆形纸板剪成34个扇形?

（二）知识要点

1. 用字母列代数式，表示数量关系，解决应用问题。

2. 用实际背景或几何意义解释代数式。

3. 用具体数字代替代数式里的字母，求出代数式的值。 重要提示：

1. 在书写代数式时，需要注意数字与字母，字母与字母 ，数字或数字与括号相乘时，乘号通常简写作“?”，或者省略不写，如4?a 可以写作4?a 或4a ，一般把数写在字母的前面，数字与数字相乘一般仍用“?”号。

2. 在实际问题中出现除法运算时，如果运算结果是和的形式时，要把整个的代数式用括号括起来再写单位，如温度由2℃上升t ℃后是（2+t ）℃。

3. 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：三角形的底是a ，高是h ，则面积是：

2ah 或21

ah 。

4. 代数式含有加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号，不含有等号或不等号的式子叫代数式，单独的一个字母或一个数也是代数式。

5. 代数式与公式不同，公式是等式，但不是代数式，代数式是不含“＝”号的。

【典型例题】

例1. 甲、乙两地之间的公路全长为200千米，一辆汽车从甲地到乙地每小时行a 千米，用代数式表示： （1）该汽车从甲地到乙地需要行多少小时？

（2）如果该汽车每小时多行10千米，则汽车从甲地到乙地需要多少小时？ （3）每小时多行10千米后，该汽车从甲地到乙地比原来少用多少小时？

分析：本题从路程、速度、时间之间的关系：时间＝速度路程

入手。 解：（1）该汽车从甲地到乙地需要行a 200

小时； （2）如果每小时多行10千米，需要行10200

+a 小时；

（3）每小时多行10千米后，比原来少用（a 200

－10200+a ）小时。

例2. 某电影院有20排座位，已知第一排座位有18个座位，后面一排比前面一排多2个座位，请写出计算第n排的座位数，并求出第19排的座位数。

分析：将排数与对应的座位数列表，然后从中找出规律，最后得到座位数与排数之间的数量关系。

排数每排座位数（h）

1 18

2 20

3 22

4 24

5 26

…………

第一排为个座位；第二排为个座位；第三排为个座位；……由此可知座位数与排数之间的关系。

解：第n排座位数是个座位，将n＝19代入18+2（n－1）中，得18+2（19－1）＝54

答：第19排的座位数是54个。

反思：寻找规律，正确地把握各个数量间的关系，就能正确地列出代数式，用字母表示数之后有些数量之间的关系用代数式表示，更具有普遍意义了。

（三）知识要点

1. 求代数式的值的方法——代入法。

2. 利用代数式求值推断代数式所反映的规律。

3. 解释代数式的值的实际意义。

重要提示：

1. 代数式的值是由其所含的字母取值所确定的，并随字母取值的变化而变化，字母取不同的值，代数式的值可能不同，也可能相同。

2. 求出代数式的值后，可以根据值的变化趋势进行预测，推断代数式所反映的规律。

3. 有多个字母时，应注意字母的对应规律。

4. 注意括号和乘号在原来省略的地方要添上点。

【典型例题】

例1. 填表观察代数式的值随字母变化的规律

A －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5

2a2

分析：先把a取的值分别代入2 a2中，求出2 a2的值，再通过观察，探索代数式的值随a的值变化的变化规律。

解：填表如下： A －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 2a 2

50

32

18

8

2

2

8

18

32

50

通过观察表格可以发现，当a<0时，随着a 值的逐渐增大，2a 2

的值逐渐减少；当a>0时，随着a 值逐渐增大，2a 2

的值也逐渐增大。

反思：要注意比较字母取值之间的变化，同时也要比较代数式值的变化，才能找出规律。

例2. 北京时间与莫斯科时间的时差为5小时，

（1）若用x 表示莫斯科时间，怎样用关于x 的代数式表示同一时刻的北京时间？

（2）2001年7月13日莫斯科时间17：08，国际奥委员会主席萨马兰奇宣布北京获得2008年夏季奥运会的主办权，问此时北京时间为几时？

解：（1）根据北京时间与莫斯科时间的时差为5小时，则同一时刻的北京时间是：x+5。

（2）x ＝17152代入代数式x+5，得x+5＝17152+5＝22152。

答：国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得2008年夏季奥运会主办权的北京时间为22152

时，即22：

08。

注意：代数式与代数式的值，这两个概念之间既有联系，又有区别，不能混淆。代数式反映的是一般的数量关系，如本例的代数式“x+5”，反映的是莫斯科时间与北京时间的一般关系，不论莫斯科时间x 为

多少，北京时间总是x+5。而代数式的值反映的是特例，如本例中当x ＝17152时，北京时间为22152。

可能有同学会想，为什么不能得出莫斯科时间与北京时间的时差为7呢？但我们知道北京位于莫斯科的东面，也就是北京人比莫斯科人在一天中早见到日出，所以北京的时间应当早于同一时刻的莫斯科时间，所以北京与莫斯科的时差为5小时。

例3. 电脑设计了这样一个程序，如图所示，请问当输入的数值为3时，最后输出结果是多少？

分析：输入n 时，应计算n 2

－n 与28的大小关系，如果n 2

－n>28，则直接输出结果；若不成立，则将

n 2－n 的值当作n 再代入n 2－n 计算，直至n 2

－n>28时再输出。

解：因为n ＝3时，n 2

－n ＝6<28，所以把n 2

－n ＝6看作n ，再次从输入端代入（俗称回代），所以n ＝6时，n 2

－n ＝30>28，所以输出结果为30。

反思：回代这个过程的理解是比较难的，对于知识面要求较广，如果见过数值转换机或计算机程序设计的，可能对于理解上有所帮助，所以在平时的学习中要注意与实际生活相联系，要树立生活即学习，学习即生活的观念。

【模拟试题】（答题时间：20分钟） 一、选择题

1、某班共有x 个学生，其中女生人数占45％，那么男生人数是 （ ）

A 、45％x

B 、（1－45％）x

C 、％x

45

D 、45％-1x

2、x 2

+3的值是（ ） A 、大于3

B 、等于3

C 、大于或等于3

D 、小于3 3、代数式“a －b 2

”的意义表述正确的是（ ）

A 、a 与b 的平方差

B 、a 与b 的差的平方

C 、a 与b 的平方的差

D 、a 减去b 的平方差

4、三个连续偶数，最大的一个为2n+2，那么最小的偶数可表示为（ ）

A 、2n －1

B 、2n －2

C 、2n －4

D 、2n+4

二、填空题

1、如图。正方形的边长为a ，那么阴影部分的面积为（结果保留 ） 。

2、一个三角形的一条边长为a ，这边上的高线长为6，则这个三角形的面积为 。

3、现有甲种糖果a 千克，售价每千克m 元；己种糖果b 千克，售价每千克n 元，若将这两种糖果混在一起出售，则售价应为每千克 元。

4、用语言叙述下列代数式的意义：

（1）某商品的价格是x 元，则21

x 可以解释为 ；

（2）（a+b ）(a －b)可以解释为 ； （3）8a 3

可以解释为 ；

（4）5m

可以解释为 。

三、解答题

1、如果用c 表示摄氏温度，f 表示华氏温度，则c 与f 之间的关系是c ＝95

(f －32)，分别求出当f ＝68，

98.6时c 的值。

2、如图。AB 为墙，现用20米的篱笆围成长方形的养鸡场，设养鸡场的长为x 米。 （1）用x 的代数式表示长方形的面积。 （2）当x ＝10时，求面积。

3、23＝2×10+3 865＝8×102

+6×10+5

类似地5984＝ ×103

+ ×102

+ ×10+ 。若某三位数的个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，则此三位数可表示为 。

4、你见识过拉面吗？你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了很多很细的面条，如下图所示：

（1）这样捏合到第n 次后拉出的面条数是 。 （2）这样捏合到第 次后可拉出128根细面条

【试题答案】 一、1、B

2、C

3、C

4、B

二、1、a 2－4πa 2

2、3a

3、b a bn am ++

4、略

三、1、当f ＝68时，c ＝20； f ＝98.6时，c ＝37。

2、（1）S 长方形＝220－x

·x

（2）当x ＝10时，S ＝50。

3、5984＝5×103

+9×102

+8×10+4 100c+10b+a 4、（1）2n

（2）7