第五章 微分方程题库
第五章 微分方程（共32题）
一、 选择题
（较易）1、微分方程y ″+y=0的解是（ ） A ．y=1 B ．y=x C ．y=cosx D ．y=e x （中等）2、微分方程1y y =-'的通解是（ ）
A.y=Ce x
B.y=Ce x +1
C.y=(C+1)e x
D.y=Ce x -1
（中等）3、微分方程xy ″=y ′的通解为（ ） A ．y=C 1x+C 2 B ．y=x 2+C
C ．y=C 1x 2+C 2
D ．y=C x 2
1
2+
（较易）4、微分方程y '=2y 的通解是（ ） A.y=Ce x B.y=e 2x +C C.y=2e Cx
D.y=Ce 2x
（较易）5、微分方程()()
01122=+++dx y dy x 的通解是( ) A ．C y x =+arctan arctan B ．C y x =+tan tan C ．C y x =+ln ln D ． C y x =+cot cot （较易）6、y y ='满足2|0==x y 的特解是( )
A ．1+=x e y
B ．x
e y 2= C ．2
2x
e y ?= D ． x
e y ?=3 （较易）7、微分方程y ＇- y=x 2
+1是（ ） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 （较易）8、微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程 （较易）9、微分方程0x 3y )y (y y 2=-+''+'''的阶数是（ ） A.1 B.2 C.3
D.4
二 、填空题
（较易）1、微分方程xdx+ydy=0的通解为_______________. （中等）2、微分方程0=-''x y 的通解是___________.
（较易）3、微分方程x e y dx
dy
dx y
d =++2
)(
22
2的阶数是______________. （较易）4、微分方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______.
（中等）5、已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为
)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为____________.
（中等）6、已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x
（C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.
三、 计算题
（较易）1、求微分方程dy x y dx y x )1()1(22+=+的通解. （中等）2、求微分方程
x e y dx
dy
-=+的通解. （中等）3、求微分方程x y y +='
'
'的通解. （较难）4、求微分方程02
'''=-y yy 的通解. （中等）5、.1
21
2的通解求方程--+-=
'y x y x y .
（较难）6、2()dy
x y dx
=+求
的通解 （较难）7、的通解求方程022
=-+'x xy y y . （较难）8、的通解求方程x y y y x ln 2
=+'. （中等）9、求方程230y y y '''--=的通解.
（中等）10、求方程20y y y '''-+=的通解.
（中等）11、求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.
（中等）12、求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解.
（难） 13、已知y *=
811-2
1
x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=8
3
， y ′(0)=27的特解.
四、应用题
1. 设位于第一象限的曲线()y f x =过点()1,1，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交
点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.求曲线()y f x =的方程.（难）
2. 设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为 A ，已知||||MA OA =，且L 过点33,22??
???
，求L 的方程.（难）
3. 设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等0
1()x
f t dt x ?，
求()f x 的一般表达式.（中等）
4. 有一汽艇以h km /10的速度在静水中行进时关闭了发动机，经过s 20后，汽艇的速度减 至h km /6．已知汽艇在静水中行进时受到水的阻力与速度成正比．试确定发动机停止后汽 艇的速度随时间变化的规律．（较难）
常微分方程四、五章作业答案 (1)
《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解 则：()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ （3） ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得： ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2．（1）特征方程为：42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++= 特征根为：1,213i λ=-± 通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ （4）原方程对应的齐线性方程的通解为： 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
常微分方程第5章答案
1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.
第五章微分方程模型
第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：
（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
常微分方程第四章考试卷
常微分方程第四章测试试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形 如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。 ６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。 ７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.
二． 计算（30分） １． 求通解y y y 2'1''2 += ２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解 ４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、 三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。
第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1
第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
常微分方程第4章习题答案
习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211
由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==
第五章常微分方程习题
第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5． x y dy e dx -= 答案 1．通解2 x y ce =；特解2 x y e = 2．通解1ln 1y c x = ++；另有解0y =；特解11ln 1y x = ++ 3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln y cy x += 5．y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1．（1）（ ）是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ） （2）（ ）不是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ）
2.求微分方程的通解 ；（2）。 （1） 3.求微分方程的特解 （1）；（2） 4．解下列微分方程 ；（2）； （1） 答案1．(1)B；(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4．(1)； (2)y=Csinx； §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ；（2）； （1） （3） （5） 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解
（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2. 3.(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
常微分方程第四章考试卷1
常微分方程第四章测验试卷（1） 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分） 1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。 2、形如————————————————的方程称为欧拉 方程。 3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。 4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。 5、微分方程t x x 3 sin 1 = +''的基本解组为——————————。 6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。 7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。 8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。 9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分） 1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。 2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x
3已知。的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''= x x x t t x t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。 5、的解。求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分） 1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当 )()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0, t ],[b a ∈. 2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则 有：当12lim ()()n x t x t →∞ -存在。
常微分方程应用题和答案
应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为
【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 21d d y x y -=过点)1,2 (π 共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 x x y x y +-=d d 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 y x y =d d 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
第五章 微分方程
第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.
独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解
常微分方程练习题及答案(复习题)
常微分方程练习题及答案(复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.