南京、盐城2018届高三一模数学试卷及答案
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上. 参考公式:
柱体体积公式:V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答
题纸的指定位置上) 1.已知集合{}|(4)0A x x x =-<,{}0,1,5B =,则A
B = ▲ .
2.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位),若(1)i z +?为纯虚数,则a 的值为 ▲ .
3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为 ▲ .
4.执行如图所示的伪代码,若0x =,则输出的y 的值为 ▲ .
5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ .
6.若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
145
x y -=的右焦点重合,则实数p 的值为 ▲ . 时间(单位:分钟) 频率
组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a
0.020
0.010
0.005
第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图
7.设函数1
x x
y e a e =+
-的值域为A ,若[0,)A ?+∞,则实数a 的取值范围是 ▲ . 8.已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=,则αβ+的值为 ▲ .
9.若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增,则实数ω的取值范围是 ▲ . 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018,
则2017S 的值为 ▲ .
11.设函数()f x 是偶函数,当x ≥0时,()f x =(3),03,31,>3x x x x x
-≤≤??
?-+??,若函数
()y f x m =- 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 ▲ .
12.在平面直角坐标系xOy 中,若直线(33)y k x =-上存在一点P ,圆22(1)1
x y +-=上存在一点Q ,满足3OP OQ =,则实数k 的最小值为 ▲ . 13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的
顶点称为“晶格点”.若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”
处,且,A B 的位置所图所示,则CD AB ?的最大值为 ▲ .
14.若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ?都成立,则实数k 的最小值为 ▲ .
二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步
骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)
如图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,点,M N 分别是11,AB A B 的中点. (1)求证:BN ∥平面1A MC ; (2)若11A M AB ⊥,求证:11AB AC ⊥.
16.(本小题满分14分)
在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知5c =. (1)若2C B =,求cos B 的值; (2)若AB AC CA CB ?=?,求cos()4
B π
+的值.
A
第13题图 A
B
C A 1
B 1
C 1 M
N
第15题图
17.(本小题满分14分)
有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB 长为6分米,另一边足够长.现从中截
取矩形ABCD (如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好..能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=?的扇形,且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N . (1)当BE 长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)当BE 的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?
18. (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的下顶点为B ,点
,M N 是椭圆上异于点B 的动点,直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ,且点Q 是线
段OP 的中点.当点N
运动到点处时,点Q
的坐标为. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设直线MN 交y 轴于点D ,当点,M N 均在y 轴右侧,且2DN NM =时,求直
线BM 的方程.
第17题
-图甲 F
第17题-图乙
19.(本小题满分16分)
设数列{}n a 满足2
2
1121()n n n a a a a a λ+-=+-,其中2n ,且n N ∈,λ为常数.
(1)若{}n a 是等差数列,且公差0d ≠,求λ的值;
(2)若1231,2,4a a a ===,且存在[3,7]r ∈,使得n m a n r ?-对任意的*
n N ∈都成立,求m 的最小值;
(3)若0λ≠,且数列{}n a 不是常数列,如果存在正整数T ,使得n T n a a +=对任意的
*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.
20.(本小题满分16分)
设函数()ln f x x =,()b
g x ax c x
=+
-(,,a b c R ∈). (1)当0c =时,若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线,求,a b 的值; (2)当3b a =-时,若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈,总存在不相等的正实数
12,x x ,使得120()()()g x g x f x ==,求c 的最小值;
(3)当1a =时,设函数()y f x =与()y g x =的图象交于
11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点.求证:122121x x x b x x x -<<-.
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.{}1 2.1 3.1200 4.1 5.2
3
6.6 7.(,2]
-∞
8.3
4
π
9.
1
(0,]
4
10.4034 11.
9
[1,)
4
12..24 14.100
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.证明:(1)因为111ABC A B C -是直三棱柱,所以11//AB A B ,且11AB A B =,
又点,M N 分别是11,AB A B 的中点,所以1MB A N =,且1//MB A N .
所以四边形1A NBM 是平行四边形,从而1//A M BN . ……………4分 又
BN ?平面1A MC ,1A M ?平面1A MC ,所以BN ∥面
1A MC . ……………6分
(2)因为111ABC A B C -是直三棱柱,所以1AA ⊥底面ABC ,而1AA ?侧面11ABB A ,
所以侧面11ABB A ⊥底面ABC .
又CA CB =,且M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥.
则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ,侧面11ABB A 底面ABC AB =,
CM AB ⊥,且CM ?底面ABC ,得CM ⊥侧面11ABB A . (8)
分
又1AB ?侧面11ABB A ,所以1AB CM ⊥. ……………10分 又11AB A M ⊥,1,A M MC ?平面1A MC ,且1A M
MC M =,
所以1AB ⊥平面1A MC . ……………12分
又1
AC ?平面1A MC ,所以11AB A C ⊥. ……………14分 16.解:(1)因为52c =,则由正弦定理,得5
sin 2
C B =. ……………2分
又
2C B
=,
所
以
5
sin 2B B =
,即
4sin cos 5B B B =. ……………4分
又B 是ABC ?的内角,所以sin 0B >,故5
cos B =. ……………6分 (2)因为AB AC CA CB ?=?, 所以cos cos cb A ba C =,则由余弦定理,
得222222
b c a b a c +-=+-,得a c =. ……………10分
从而222
()35cos 25
c c c a c b B ac +-+-===, ……………12分
又0B π<<,所以2
4sin 1cos 5
B B =-=.
从
而
32422
cos()cos cos sin sin 444525210
B B B πππ+=-=?-?=-. ……………14分
17.解:(1)在图甲中,连接MO 交EF 于点T .设OE OF OM R ===,
在Rt OET ?中,因为1602EOT EOF ∠=
∠=?,所以2
R
OT =
,则2R
MT OM OT =-=
. 从而2
R
BE MT ==,即22R BE ==. ……………2分
故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ?=-扇形
2
2114sin120323R R ππ=-?=……………4分
又所得柱体的高4EG =,
所以V S EG =?
=163
π
-答:当BE 长为1分米时,折卷成的包装盒的容积
为163π-. …………………6分
(2)设BE x =,则2R x =,所以所得柱体的底面积
OEF OEF S S S ?=-
扇形222114sin120(323
R R x π
π=-?=-.
又所得柱体的高62EG x =-,
所以V S EG =?
=328(3)3x x π
--+,其中03x <<. …………………
10分
令3
2
()3,(0,3)f x x x x =-+∈,则由2
()363(2)0f x x x x x '=-+=--=, 解得2x =. …………………12分
答:当BE 的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大. (14)
分
18.解:(1)由N Q ,得直线NQ 的方程
为3
2
y x =
…………………2分 令0x =,得点B 的坐标为(0,.
所以椭圆的方程为22
213
x y a +
=. …………………4分
将点N
的坐标
2213
+=,解得24a =. 所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=. …………………8分 (2)方法一:设直线BM 的斜率为(0)k k >,则直线BM
的方程为y kx =
在y kx =-中,令0y =,
得P x =
,而点Q 是线段OP 的中点,所
以Q x =
所以直线BN
的斜率2BN BQ k k k ==
=. ………………10分
联立22143y kx x y ?=??+
=??,消去y
,得22
(34)0k x +-=
,解得M x =. 用2k 代k
,得2
316N x k
=+. ..................12分 又2DN NM =,所以2()N M N x x x =-,得23M N x x =. (14)
分
故23=0k >
,解得k =. 所以直线BM
的方程为2
y x =-. ………………16分 方法二:设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .
由(0,B ,得直线BN 的方程
为1
y x =
-,令0y =,
得P x =
同理,得Q x =.
而
点
Q 是
线
段
OP
的中点,所以
2P Q
x x =,
故
= …………………10分
又2DN NM =,所以2122()x x x =-,得21203x x =>
4
=
解得2143y y =
+ …………………12分
将21212343x x y y ?=??
??=+??
代入到椭圆C
的方程中,得2211(41927x y ++=. 又2
21
14(1)3y x =-
,所以2
14(1)319y -=
21120y +=, 解
得1y =(舍)
或1y =.又10x >,所以点M 的坐标
为
(3M .……………14分
故直线BM
的方程为y x = …………………16分 19.解:(1)由题意,可得22
()()n n n a a d a d d λ=+-+,
化简得2
(1)0d λ-=,又0d ≠,所以1λ=. ………………4分 (2)将1231,2,4a a a ===代入条件,可得414λ=?+,解得0λ=,
所以2
11n n n a a a +-=,所以数列{}n a 是首项为1,公比2q =的等比数列,所以
12n n a -=. ……6分
欲存在[3,7]r ∈,使得1
2
n m n r -?-,即12n r n m --?对任意*n N ∈都成立, 则172n n m --?,所以1
72
n n m --对任意*
n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=,则11678222
n n n n n n n n b b +-----=-=,
所以当8n >时,1n n b b +<;当8n =时,98b b =;当8n <时,1n n b b +>.
所以n b 的最大值为981
128
b b ==,所以m 的最小值为1128. (10)
分
(3)因为数列{}n a 不是常数列,所以2T .
①若2T =,则2n n a a +=恒成立,从而31a a =,42a a =,所以
222
2121222
1221()
()
a a a a a a a a λλ?=+-??=+-??,
所以2
21()0a a λ-=,又0λ≠,所以21a a =,可得{}n a 是常数列.矛盾.
所以2T =不合题意. ………………12分
②若3T =,取*
1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-??==-∈??-=?
(*),满足3n n a a +=恒成
立. ………………14分
由22
21321()a a a a a λ=+-,得7λ=. 则条件式变为2
117n n n a a a +-=+.
由2
21(3)7=?-+,知223132321()k k k a a a a a λ--=+-;
由2
(3)217-=?+,知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-; 由2
1(3)27=-?+,知223133221()k k k a a a a a λ++=+-.
所以,数列(*)适合题意.
所以T 的最小值为3. ………………16分
20.解:(1)由()ln f x x =,得(1)0f =,又1
()f x x
'=
,所以(1)1f '=,. 当
c =时,
()b g x ax x
=+
,所
以2()b
g x a x
'=-,
所以
(1)g a b '=-. ………………2分
因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线,
所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=??=?,即10a b a b -=??+=?,解得121
2
a b ?=???
?=-??. ………………4分
(2)当01x >时,则0()0f x >,又3b a =-,设0()t f x =,
则题意可转化为方程3(0)a
ax c t t x
-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根
12,x x . ………………6分
即关于x 的方程2
()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x .
所以2121203()4(3)0
30a c t a a c t x x a a
x x a <
??=+-->?
?+?+=>?
?-=>?
?
,得203()4(3)0a c t a a c t <?+>-??+>?,
所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立. ………………8分
因为03a <<,所
以2(3a +?=(当且仅当3
2
a
=时取等号),
又0t -<,所以t 的取值范围是(,3)-∞,所以3c . 故c 的最小值为3………………10分
(3)当1a =时,因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点,
所以11122
2ln ln b x x c x b x x c
x ?
=+-??
??=+-??
,两式相减,得211221
ln ln (1)x x b x x x x -=-
-. ………………12分
要证明122121x x x b x x x -<<-,即证21
1221212121
ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--,
即证
212211
ln ln 11
x x x x x x -<<-,即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分
令21x t x =,则1t >,此时即证1
1ln 1t t t
-<<-. 令1()ln 1t t t ?=+-,所以22111
()0t t t t t
?-'=-=>,所以当1t >时,函数()t ?单调递
增.
又(1)0?=,所以1()ln 10t t t
?=+->,即1
1ln t t
-<成立; 再令()ln 1m t t t =-+,所以11()10t
m t t t
-'=-=<,所以当1t >时,函数()m t 单调
递减,
又(1)0m =,所以()ln 10m t t t =-+<,即ln 1t t <-也成立.
综上所述, 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分
附加题答案
21.(A )解:如图,连接AE ,OE ,
因为直线DE 与⊙O 相切于点E ,所以DE OE ⊥,
又因为AD 垂直DE 于D ,所以//AD OE ,所以DAE OEA ∠=∠,① 在⊙O 中OE OA =,所以OEA OAE ∠=∠,② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠,即DAE ∠FAE =∠, 又ADE AFE ∠=∠,AE AE =,
所以ADE AFE ???,所以DE FE =,又4DE =,所以4FE =, 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分
A
B
E D
F O · 第21(A)图
(B )解:设()00,P x y 是圆22
1x y +=上任意一点,则22001x y +=,
设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ,则002 00 1x x y y ??
????=?????
???????
, 即002x x y y =??=?,解得0012x x y y
?
=???=?, ………………5分
代入22
001x y +=,得2214
x y +=,即为所求的曲线方程. ………………10分
(C )解:以极点O 为原点,极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系,
由cos()13π
ρθ+
=,得(cos cos
sin sin )133
ππ
ρθθ-=,
得直线的直角坐标方程为20x --=. ………………5分
曲线r ρ=,即圆222
x y r +=,
所以圆心到直线的距离为1d ==.
因为直线
cos()13
π
ρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切,所以r d =,即
1r =. ……………10分
(D
)解:由柯西不等式,得2
2
2
22[)][1(
](133
x x ++≥??, 即2
224(3)()3
x y x y +≥+. 而
2231
x y +=,
所
以
24()3
x y +≤
,所
以
x y ≤+≤ ………………5分
由1x x y ?=?????+=?,
得x y ?=????=??
,所以当且仅
当x y ==时
,max ()x y +=
所以当x y +取最大值时x
的值为2x =. ………………10分
22.解:(1)因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥.又OP ⊥底面ABCD ,以O 为原点,直
线,,OA OB OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -. 所以(2,0,4)AP =-,(1,1,2)BM =--,10AP BM ?=,
||25AP =,||6BM =.
则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ?<>=
==. 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为
6
. ………5分 (2)(2,1,0)AB =-,(1,1,2)BM =--.
设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =,
则00
n AB n BM ??=???=??,得2020x y x y z -+=??--+=?,令2x =,得4y =,3z =.
得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =.
又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =,所以n 4OB ?=,||29n =,||1OB =.
则cos ,||||29
n OB n OB n OB ?<>=
==.
故平面ABM 与平面PAC ………………10分
23.解:(1)由条件,()0112112r r n n
n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++???++???+ ①,
在①中令1n =,得()01
1111f C C ==. ………………1分
在①中令2n =,得()011222222226f C C C C =+=,得()23f =. (2)
分
在
①
中
令
3n =,得
()011223
333333332330
f C C C C C C =++=,得
()310f =. ………………3分
(2)猜想()f n =21n
n C -(或()f n =1
21n n C --). ………………5分
欲证猜想成立,只要证等式011211212n r r n n
n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++???++???+成立.
方法一:当1n =时,等式显然成立,
当2n 时,因为1
1!!(1)!=
=!()!(1)!()!(1)!()!
r
r n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --?-=?=-----(),
故1111
1()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==.
故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++???++???+. 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C ---------=++???++???+. C
第22题图
而11r n r n n C C --+=,故即证0111111
211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++???++???+ ②. 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得,左边n
x 的系数为21n n C -.
而
右
边
1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n
n
n n n n n n n C C x C x C x
C C x C x C x ------=+++
+++++,
所以n
x 的系数为0111111
1111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++???++???+.
由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.
综上,()21
n n f n C -=成立. ………………10分 方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有21n -个小球,其中n 个是编号为1,2,…,n 的白球,其余n -1个是编号为1,2,…,n -1的黑球,现从袋中任意摸出n 个小球,一方面,由分步计数原理其中含有r 个黑球(n r -个白球)的n 个小球的组合的个数为
1r n r
n n
C C --,01r n ≤≤-,由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为011
11
111n n n n n n n
n n C C C C C C -----+++.
另一方面,从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n
n C -.故
01111
21111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++,即②成立. 余下同方法一. ………………10分
方法三:由二项式定理,得0122
(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③. 两边求导,得1
121
1
1
(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=++++
+ ④.
③×④,
得210122
121
1
1
(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++
⑤.
左边n x 的系数为21n
n nC -.
右边n
x 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++???++???+
1021112r r n n n n n n n n n n
C C C C rC C nC C --=++???++???+0112112r r n n
n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++???++???+.
由⑤恒成立,可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++???++???+.故()21
n
n f n C -=成立. ………………10分