通电导体在磁场中的运动

高二物理复习：带电导体在磁场中的运动

导体在磁场中受到安培力作用，大小为BIL sin θ，θ角为电流方向与磁场方向间的夹角；在用左手定则时一定要注意电流、磁场、安培力三者间的空间关系，安培力总是垂直于电流方向与磁场方向所确定的平面，因此只有当电流方向与磁场方向垂直时，三者才是两两垂直的关系。

导体在磁场中的运动产生感应电动势，公式有t

n E ??=φ和E =Blv sin θ(θ角为电流方向与磁场方向间的夹角)，前者算出的为平均电动势，后者既可算瞬时的也可算平均的电动势，就看用什么速度了！

一、安培力的静态分析：

本问题属于电磁学与静力学的结合问题，受力分析是基

础，空间想象是解题的关键。 例1：质量为m ，导体棒MN 静止于水平导轨上，导轨间距为L ，通过MN 的电流为I ，匀强磁场的磁感强度为B ，方向垂直MN 且与导轨成α角斜向下，如图1所示．求棒受到的摩

擦力与弹力．

解析：棒MN 受力较多，画出正确的受力图至关重要，而且必须将空间的问题转到平面上来！沿NM 看过去是最佳的视线，受力图如图2所示。分解安培力F 安并结合物体平衡条件可得弹力、摩擦力大小分别为：

F N = mg +F 安sin α = mg +BIL sin α F f = F 安cos α = BIL cos α

点评：为避免弄错安培力方向，受力图中有意画出了磁场方向（虚线）。

二、安培力的动态分析

这类问题就是分析通电直导体或线圈在安培力作用下的运动情况。基本方法有以下几种：

⑴电流元分析法：把环形电流分成很多的小段直线电流，然后用左手定则判断出每段电流元的安培力方向，最后确定出整段电流的合力方向以确定环形电流的运动方向。

⑵等效分析法：把环形电流等效成小磁针，通电螺绕环等效为条形磁体。

⑶平行电流的相互作用规律：同向电流相互吸引，异向电流相互推斥。

⑷特殊位置法：把导体放到特殊的便于分析的位置上来判断安培力的方向，以确定运动方向。 例2：如图3所示，把轻质线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N 极附近，磁铁的轴线穿过线圈圆心且垂直于线圈平面。当线圈通入如图所示的电流后，判断线圈将如何运动？

解析：将环形电流分成很多小段，每一小段都可视作直线电流，现分析上下两段，如图4所示，由于对称

性，合力一定沿轴线向左，故线圈向左运动（同时有扩张的趋势）。 当然本题用等效法也行，环形电流等效为沿轴线放置的小磁针，左边为S 极，与条形磁体的N 极相对，相互吸引，因此线圈向左运动。

例3：如图5所示，在一个蹄形磁铁的正上方放一可自由移动的导线，当导线中能以如图所示的电流时，在不考虑重力的情况下导线的运动情况是（从上向下看） A ．顺时针转动，同时下降 B ．顺时针转动，同时上升

C ．逆时针转动，同时下降

D ．逆时针转动，同时上升

解析：蹄形磁体的磁场分布很复杂，采用特殊位置法比较好：一是图示位置，二是转动90°与纸面垂直的位置。

N 极处磁场方向向上，由左手定则可知导线左侧安培力向外；S 极处磁场方向向下，安培力向内，因此从上向下看导线将逆时针转动。当转到与纸面垂直时电流方向是向里的，导线所处位置的磁场方向向右，因此导线向下运动。C 项正确。 N S I 图 5

图 3

图

4 图 1 图

2 F F 安

点评：分两个独立的步骤进行分析并不是说这两个过程是依次进行的，而是同时进行的，蹄形磁体磁场分布特点致使导线左侧所受安培力斜向外下侧，而右侧的安培力斜向内下侧，因此既转又下降。

三、通电导体在磁场中的加速运动

例4：如图6所示，水平桌面上放置光滑U 形金属导轨左端接电源，现将质量相等的导体棒L 1、L 2放在导轨上并与导轨垂直，导轨所在平面处有竖直向上的匀强磁砀。闭合S ，两导体棒向右运动并先后离开导轨落在水平地面上，测得落地的水平位移分别为s 1、s 2，求闭合S 后：

⑴安培力对L 1和L 2所做的功；⑵通过L 1和L 2的电荷量之比。

解析：导体棒运动后会产生反电动势，速度增大反电动势随之增大，电路中总电动势减小，电流减小，导体在运动过程中所受安培力是变化的。

安培力做功等于导体棒在导轨上加速时的动能增量，由平抛运动规律可知导体棒在离开导轨时

的速度之比v 1:v 2= s 1:s 2，因此安培力做功之比W 1:W 2=2221:s s 。 将导体在导轨上的运动分成无数小段，每段时间极短为Δt ，在Δt

内可认为电流i 恒定，速度变化为Δv 。由动量定理可得：BiL Δt =m Δv

i Δt 是这段时间通过导体棒的电量，由于电流、速度变化量方向始终

恒定，因此可逐段加起来得：BQL =mv ，电量Q =mv /BL ，因此电量之比

Q 1：Q 2= v 1:v 2= s 1:s 2。

点评：导体棒在磁场运动时安培力往往是变化的，要慎用牛顿定律，善用动量、能量的方法！

四、导体在电磁感应现象中的动态分析

导体在切割磁感线运动时的动态分析的思路是：导体棒切割磁感线运动→感应电动势→感应电流→导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，导体棒最终达到稳定的运动状态。

例5：如图7所示，水平放置的两条光滑平行金属导轨相距为d ，处在竖直的匀强磁场中，磁感应强度为B 。导轨左侧连接有阻值为R 的电阻，导轨上放有质量为m ，阻值为r 的导体棒MN ，MN 在水平恒力F 作用下沿导轨向右运动，导轨电阻不计，求： ⑴导体棒MN 可以达到的最大速度v m ；

⑵速度最大时MN 两端电压U MN ；

⑶导体棒MN 速度为最大速度1/3时的加速度a ； ⑷导体棒MN 达到最大速度时撤去F ，求这以后电阻R 释放的焦耳热Q 。

解析：MN 棒在恒力F 作用下沿导轨向右加速运动，随着速度的增加，感应电动势增加，感应电流增大，从而使安培力F 安不断增加，当F = F 安时加速结束速度达最大。

⑴速度最大时有：F = F 安= BId ，而r R Bdv I m +=，最大速度v m =2

2)(d B r R F + ⑵欲求MN 两端电压，应准确画出电路图，如图8所示。MN 棒是电源，根据右手定则可知M 端是正极，电动势E = Bdv m ，内阻为r ，MN 两端电压为路端电压，不等于电动势！

U MN = Bd

FR r R R Bdv E r R R m =+=+ ⑶安培力r R v d B F +=22安，因此当速度为最大速度的31时，安培力便为3

F ，加速度为m F a 3=。 ⑷撤去外力F 后，棒在安培力作用下最终会停止，从能量守恒看棒的动能全部转化为焦耳热，

据电路知识可得，R 释放的焦耳热只占总焦耳热的r R R +，因此Q =4

42

22)(2d B F r R mR mv r R R m +=+ 点评：⑴导体切割磁感线时，不仅电磁感应规律是重点，电路的相关知识也是关键！结合右手

图 8

R 图 7

定则画好电路图，并能准确标出电源的正、负极（感应电动势的方向由负极指向正极）是成功解题的良好开端。⑵在磁场中运动的导体会受安培力作用，安培力做多少正功，就有多少电能转化为机械能；安培力做多少负功，就有多少机械能转化为电能。

例6：如图9所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面，两导轨间距为L ，导轨上横放着导体棒ab 和cd 形成回路，ab 和cd 质量均为m ，电阻均为R (其余电阻及摩擦均不计)，磁场垂直轨道平面向上，磁感应强度为B ，初始cd 静止，ab 以v 0水平向右．求：

⑴在运动过程中产生的焦耳热；

⑵ab 棒速度为043v 时，cd 棒的加速度是多少?

解析：ab 棒运动产生感应电动势，由右手定则可知电动势是由a 指

向b 的，回路中便产生顺时针的感应电流，因此cd 棒、ab 棒的安培力分别向右、向左，那么cd 棒、ab 棒分别将向右加速、减速。cd 棒运动后产生感应电动势，其方向与ab 棒的相反，回路中的总电动势E =E ab - E cd ，由于E ab 减小而E cd 增加，所以E 不断减小，减为零时回路中不再有电流存在，两棒便以相同的速度做匀速运动。

⑴ab 棒、cd 棒所受安培力的大小相等，方向相反，因此双棒组成的系统动量守恒：mv 0=2mv

产生的焦耳热等于系统的动能损失：Q =22022121

mv mv ?-=204

1mv ⑵ab 棒速度为043v 时，cd 棒速度为v c ，由动量守恒得：mv 0=043mv ＋mv c

回路中的电动势E =Bl 043v - Blv c 回路中电流为 I =

R E 2 cd 棒的加速度为 a =m

BIl 联立以上得cd 棒加速度 a = mR v l B 4022 点评：双棒在磁场中运动时应抓住动量守恒、能量守恒的特点来分析；如果两棒所处导轨间距不相等，则两棒所受安培力大小不等，动量就不守恒。

【总结】

一．力学思路

与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化→导体棒产生感应电动势→感应电流→导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，循环结束时加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态。

二．电学思路

判断产生电磁感应现象的那一部分导体（电源）→利用t

N E ??Φ=或E =BLv 求感应电动势的大小→利用右手定则或楞次定律判断电流方向→分析电路结构→画等效电路图。

三．能量思路

电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。

【典型例题】

例1：水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L ，一端通过导线与阻值为R 的电阻连接；导轨上放一质量为m 的金属杆（见图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v 也会变化，v 与F 的关系如图（取重力加速度 g =10 m/s 2）

（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？

（2）若m ＝0.5kg ，L ＝0.5m ，R ＝0.5Ω，磁感应强度B 为多大？

（3）由v –F 图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？

图 9

例2：如图所示，导体杆ab 的质量为m ，电阻为R ，放置在水平夹角为θ的倾斜金属导轨上。导轨间距为d ，电阻不计，系统处于竖之向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，电池内阻不计，问：

（1）若导轨光滑，电源电动势E 多大能使导体杆静止在导轨上？

（2）若杆与导轨之间的动摩擦因数为μ，且不通电时导体不能静止在导轨上，要使杆静止在导轨上，电池的电动势应多大？

例3.如图所示，粗细均匀的电阻为R 的金属环放在磁感应强度为B 的垂直环面的匀强磁场中，圆环直径为d 。长也为d 、电阻为R /2的金属棒ab 中点与环相切，使ab 始终以垂直棒的速度v 向左运动，当到达圆环直径位置时，ab 棒两端的电势差大小为多少。

例4. 如图所示，倾角为θ=30°的光滑导电轨道，两轨平行，相距L =20cm ，轨道上端接有一电动势E =3V ，内阻r =0.５Ω的电池，轨道上垂直放置一根质量m =30g ，电阻R =1.5Ω的金属棒MN ，为使MN 棒能静止在轨道上。

（1）所需加的匀强磁场的磁感应强度B 最小值为多少？最小磁感应强度的方向怎样？

（2）磁感应强度B 的大小、方向如何时，MN 对轨道的压力最小？

N

M E r

θ

例5 如图所示，两平行金属导轨间的距离L =0.40m ，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=37o，

在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B =0.50T 、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势E=4.5V 、内阻r =0.50Ω的直流电源，另一端接有电阻R =5.0Ω。现把一个质量为m =0.040kg 的导体棒ab 放在金属导轨上，导体棒静止。导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，与金属导轨接触的两点间的导体棒的电阻R 0=5.0Ω，金属导轨电阻不计，g 取10m/s 2。已知sin37o=0.60，cos37o=0.80，求： （1）通过导体棒的电流；（2）导体棒受到的安培力大小； （3）导体棒受到的摩擦力。

例6. 如图所示，正方形导线框abcd 的质量为m 、边长为l ，导线框的总电阻为R 。导线框从垂直纸面向里的水平有界匀强磁场的上方某处由静止自由下落，下落过程中，导线框始终在与磁场垂直的竖直平面内，cd 边保持水平。磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里，磁场上、下两个界面

水平距离为2l 。已知cd 边刚进入磁场时线框恰好做匀速运动。重力加速度

为g 。求：

（1）释放线框时cd 边距磁场上边界的高度。 （2）cd 边刚要离开磁场下边界时线框的动能。

（3）线框cd 边刚刚离开磁场下边界时线框的加速度。

a b d c l

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