利用一元二次方程解决面积问题教案

1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)

2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)

一、情景导入

如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？

二、合作探究

探究点：利用一元二次方程解决面积问题

如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．

解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x 2

m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．

解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x 2

m. 根据题意，得x ·32－x 2

＝120. 解得x 1＝12，x 2＝20.

又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去．

∴该矩形草坪BC 边的长为12m.

方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．

将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．

解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.

(1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4

)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ；

(2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4

)2＝12，此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.

∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，

∴此方程无解．

∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2.

方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．

三、板书设计

列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：

(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；

(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；

(4)解：求出所列方程的解；

(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；

(6)答：根据题意，选择合理的答案．

经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.

利用一元二次方程解决面积问题教案

教学目标

1、体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法

2、会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力

知识准备

无盖的长方体是如何制作的？教学内容：

一、情境创设

一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3

的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。

二、探索活动

如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？

一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。

三、典型例题

例1、一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。

四．知识梳理

谈谈用一元二次方程解决例1实际问题的方法。

五、目标检测设计

1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（）．

【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系．

2．镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．

（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．

（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．

【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题．

一元二次方程的解法教学设计人教版〔优秀篇〕

《一元二次方程的解法》教案清江中学钱旭东【教学目标】 1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程. 2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法. 3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】一元二次方程解法的理解和运用. 【教学模式】结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】教具准备：多媒体课件. 【教学过程】一、提出问题有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？（学生思考）师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？生：矩形. 师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？生：直角三角形. 师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.

师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x 尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下. 学生独立完成. 师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1 ：我得到的是(x -1)2+(x -3)2=x 2 . 师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x 2-8x +10=0. 设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础. 二、探究新知探索一：从简单开始师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x 2-8x +10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题. 师：如果解方程x 2-8x +10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？生2：x 2=0. 多1尺多3尺1尺多3尺

列一元二次方程解应用题之面积问题.doc

学习必备欢迎下载《列一元二次方程解应用题之面积问题》教学案教学目标： 1.以面积的计算为载体，进一步培养学生运用方程的思想解决实际问题的意识，提高学生建立方程模型的能力 2.体会变换在解决数学问题的作用，进一步强化学生问题转化的意识，进而形成解决问题的能力教学重点：构建方程模型教学难点：应用恰当等积变换，探索问题中隐含的等量关系教学过程：一、解方程(引入) （1）x2-52x+100=0 2 (2) x -36x+35=0 二、例题：某学校准备在一块长32 米，宽 20 米的草地上修筑道路互相垂直的两条道路（道路的宽度相等），使余下的草坪的面积为540 平方米，求这个方案的道路的宽度。变式 1 若改变道路的形状如下图（变式1），其他条件不变，那么应该怎么列方程？变式 1 变式 2. 若改变道路的条数如下图，且设计草坪的总面积是570 平方米。其他条件不变，那么应该怎么列方程？变式 2

学习必备欢迎下载变式 3.方案设计问题：学校准备在一块长32 米，宽 20 米的草地上修筑道路，决定在全校征集修改方案。方案要求 :①两条竖道保存不变。 ②横道不能是直道。 ③所有道路入口要相等，注明图形名称。 ④使余下的草坪的面积仍然为570 平方米。变式 3 你能帮学校修改这个方案吗？并标出入口的宽度三、小结（从数学思想的角度）四、效果反馈某小区中间有一块长方形的草地，长18 米，宽 10 米，中间有两条均匀的小路（小路的人口相等）。已知要求草地的面积为128 平方米求，小路的入口的宽度。五、课后作业如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含的式子表示横向甬道的面积为___________ 平方米（2）当三条甬道的面积是 1500 平方米时，求甬道的宽度。（1552=24025； 1452=21025）

一元二次方程的解法教学设计

一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable

一元二次方程的解法教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。教学重点和难点重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。教学建议：一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

初中数学一元二次方程试讲教案

1对1个性化教案学生学科数学年级九年级教师李瑞芳授课日期授课时段课题一元二次方程重点难点重点：掌握一元二次方程的概念、解法及应用难点：一元二次方程的特殊解法、韦达定理及应用教学内容【基础知识：】 1、一元二次方程的概念怎样？其一般形式怎样？ 2、你能说出下列方程是几元几次方程吗？ (1) 2x + 3 = 0 (2) 3x – 8 = 0 (3) 3x + y = 7 (4) 3、分析：一元二次方程一般形式中各部分概念？（即认识：二次项及二次系数、一次项及一次项系数、常数项） 4、方程的根：x = 3是一元一次方程2x – 6 = 0的根吗？ x = 1及x = -3是一元一次方程的根吗？例1、你能找出下列方程的根吗： 5、一元二次方程的解题思想-------降次（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法--------十字相乘法；（5）根与系数的关系-------韦达定理。【重点知识】一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是() 200 ax bx c a ++=≠．典型例题解析:

例1．方程()221 170m m m x x m --++-=是一元二次方程，则m = ．分析：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数a 不为零）．例2：指出下列一元二次方程中a,b,c 的值（1）2x 2+3x-4=0；（2）16y 2+9=24y ；（3）3x 2-2x+2=0；（4）3t 2-36t+2=0；（5）5（x 2+1）-7x=0．二、用适当的方法解方程 1、直接开平方法：形如或者的方程；例1、给下下列等式填上适当的数字。例2、用直接开平方法求出下列方程的根： 2、配方法：方程都能化成或形式，从而去求解。 1、思考：求的根例1：解下列方程：

一元二次方程的应用(面积问题)

的宽分别是多少使图中的草坪面积为540米2. 【元调真题】世博会中国国家馆模型的平面图如图所示,其外框是一个大正方形,中间四个全等的小正方形(阴影部分)是支撑展馆的核心筒,标记了字母的五个全等的正方形是展厅.已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米,外框的面积刚好是四个核心筒面积和的9倍.求核心筒的边长.【能力提升】如图，一个矩形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形的边长是1cm，求这个矩形的面积。【检测】 1．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（） A．1米 B．1.5米

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计一、内容和内容解析（1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式（2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。二、目标和目标解析（1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．三、学情分析教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。四、教学问题诊断分析

一元二次方程面积问题

一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由. 分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．: 解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得， 18x+15x-x2=18×15×13，解得x 1=3，x 2 =30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得， πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米? 分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6 （2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6 解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2 解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x 1 =44（舍去），x 2 =2 答：略练习 1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。 2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是多少元钱

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课编制：张媚九年级（）班姓名学习目标： 1、知识与技能：了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法：通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度：培养学生自学能力与小组合作的意识。重点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。导学过程：一、自学指导：阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为，宽为 .得方程，整理得化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？个 (2)它们最高次数分别是几次？次方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测：下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件）二、合作探究（例题学习）活动1小组讨论例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

用一元二次方程解决图形的面积问题

24.4一元二次方程的应用教材：冀教版年级：九年级单位：遵化市新店子镇中学姓名：果秋红

24.4一元二次方程的应用 ——面积问题教材分析：列一元二次方程解应用题是历年来考查的热点，经常与经济有关，有时与函数相结合，综合性较强，题型以解答题为主。一元二次方程的应用主要有三大类型：面积问题、增长率问题和利润问题，其中面积问题相对简单些，本节课讲解一元二次方程的应用之面积问题。学情分析：学生已经学习过一元一次方程的应用，也会表示图形的面积、解一元二次方程，所以学生对列方程解应用题并不陌生。但是学生对于如何找出等量关系列方程还是弱点，所以引导学生找出题中的等量关系是本节课的主线。教法：本节课采用以导学案为主线，小组合作交流、赋分评比的模式讲授，在内容展开上，让学生根据自己已有的经验，先自主探究，在独立思考的基础上再小组交流，让学生充分体会一元二次方程的建模过程。学法：小组合作探究，其中既有小组成员之间的合作，又有小组之间的竞争。最大限度的调动学生学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣。教学目标： 1、知识与技能：会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题,能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 2、过程与方法：

经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程,体验通过移动变化分析面积问题的方法。 3、情感态度与价值观：让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。教学重点:运用一元二次方程探索和解决面积问题。教学难点：面积问题中的等量分析。教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图（一）基础回顾 1、一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为2m，则另一边长为______m ,所围成的矩形的面积为______平方米，若设一边长是x m，，则另一边长为______m ,若围成的矩形的面积为24 平方米，则所得的方程是_______________ ，x 的值是______。课前两分钟教师巡视检查导学案第一部分复习回顾，并给予适当的指导。正副小组长检查组员完成情况，并帮助做错的同学解答。全对的小组加 5分。复习回顾上节课的知识，检查学生的掌握情况，通过小组长解决学困生的问题。

一元二次方程复习讲课教案

一元二次方程复习

期末复习——一元二次方程 1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。 2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式 ()来判断。即根的情况可以用判别式一元二次方程?-≠=++ac b a c bx ax 400 22 当时，方程有两个不相等的实数根。b ac 240-> 当时，方程有两个相等的实数根。b ac 240-= 当时，方程没有实数根。b ac 240-< 根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程根与系数关系。 ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+= -?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。（2）不解方程，求某些代数式的值。（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。（4）已知两数和与积，求这两个数。

《一元二次方程的应用(几何面积问题)》教学设计 (九年级数学精品教案)

《一元二次方程的应用（几何面积问题）》教学设计课型：新授教学目标： 1、知识与技能：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程； 2、数学思考：进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义； 3、问题解决：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程； 4．情感态度：培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维能力。教学重点：掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，会列一元二次方程解确决有关几何应用中的面积问题。教学难点：如何将实际问题转化成数学问题，一元二次方程的建模过程，是本节课的一个难点。课标与教材分析：课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。学生已经有了列方程解应用题的基本思路,同时,掌握了解一元二次方程的基本方法,但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。教学过程：一、课前热身这两个一元二次方程是这节课学习一元二次方程的应用（几何面积问题）的方程模型，这两个方程的掌握会对学生直接产生事半功倍的效果，通过练习，让学生熟练掌握这类方程的解法。二、课堂进行时…… 园林设计院计划在一块长16m 、宽12m 的矩形空地上，修建同样宽的道路，剩余部分种植花草，种植花草部分的面积为96m 2，请你在下面的矩形中设计几种既美观又实用的方案：通过一个小小的设计环节，让学生自己动手设计出模型，并由此引出下面模型的计算。下面是几位工人师傅设计出的几个方案，请同学们帮忙计算一下这些方案是否可行。 1、如图，甲工人在空地中间修建两条同样宽且互相垂直的道路，请 ()()()()12362126 x x x x --=++=、、

一元二次方程—面积问题

第3课时几何图形与一元二次方程教学目标： 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究YI实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．教学过程：一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 (2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． (2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．

解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－ 2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型 (2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300. 解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300. 方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题

经典一元二次方程教案

第二十二章一元二次方程课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下： 22．1 一元二次方程 2课时 22．2 降次──解一元二次方程 7课时 22．3 实际问题与一元二次方程 5课时发现一元二次方程根与系数的关系 2课时第1课时 22．1 一元二次方程（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程．方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) a x2+bx+c=0 四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17?≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． ?练习:1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程第2课时 22．1 一元二次方程一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解. 例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、巩固练习教材P33思考题练习1、2．

一元二次方程讲课教案

教案第二十二章一元二次方程考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例题1：方程：①13122 =-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022 =y 中一元二次是（） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 例题2：当a_______时，关于x 的方程0422=+++x x ax 是一元二次方程变式：当k 时，关于x 的方程322 2+=+x x kx 是一元二次方程。例题3：方程8)2(2)1(3++=-x x x 化成一般形式是__________________ 例题4：方程x x 3122=-的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 . 例题5：下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 122 2+=+x x x 例题6：方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

课堂练习知识点1：一元二次方程的概念 1、若0452=+-x ax 是一元二次方程，则不等式032>+a 的解集是（） A 、23->a B 、23-a 且0≠a D 、2 3>a 2、若方程()013112=-+-+x x m m 是一元二次方程，则m 的值为（） A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、不能确定 3、已知关于x 的方程() ()032422=+-+-m x m x m ，当m 时，它是一元二次方程，当m 时，它是一元一次方程。知识点2：一元二次方程的一般形式 1、把方程3 3212-=+x x 化成一般形式，正确的是（） A 、()( )32132-=+x x B 、09322=--x x C 、62332-=+x x D 、09322=-+x x 2、将()()45312++=-x x x 化为一元二次方程的一般形式为，其二次项系数是 ,一次项系数是，常数项是。针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 ★★★4、若方程nx m +2x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 课堂小结通过本节课学习，让学生能真正理解一元二次方程的概念，看到题目能准确的判断是不是一元二次方程，并能化简成一般形式。