2019衡阳中考数学专题训练—几何图形综合题

几何图形综合题

3，过点C作CD∥AB，点E 1.在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC=

5

在边AC上，AE=CD，连接AD，BE的延长线与射线CD、射线AD 分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y．

（1）求证：∠ABE=∠CAD；

（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及x 的取值范围；

（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．

第1题图

（1）证明：∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠ECD，

又∵AE=CD，AB=AC，

∴△DAC≌△EBA（SAS），

∴∠ABE=∠CAD；

（2）解：如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为H，

第1题解图

∵CD∥BA，

∴△CEF∽△AEB，

EAB,

∵当G与D重合时，△CED∽△

（3）由于∠DFG=∠EBA＜∠ABC，所以∠DFG不可能为直角，

①当∠DGF=90°时，∠EGA=90°，

由∠GAE=∠GBA

知△GAE∽△GBA，

在Rt△EHB中，

解得：x=0（舍）或x=5，

②当∠GDF=90°时，∠BAG=90°，

由①知△GAE∽△GBA，

则∠AEB=∠GEA=90°，

2.如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．

（1）求△ADE的周长；

（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？

（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

第2题图

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，

∴CD=AB=9，∠D=90°，

∴DE=9-6=3，

∴AE=2

2AD

DE =5，

∴△ADE的周长为4+3+5=12．

（2）①若∠PEA=90°，如解图，过点P作PH⊥CD于H，

第2题解图

∵四边形ABCD是矩形．

∴∠B=∠C=90°，

∴四边形BCHP是矩形，

∴CH=BP=t，PH=BC=4，

∴HE=CE-CH=6-t，

在Rt△PHE中，PE2=HE2+PH2=（6-t）2+42，

∵∠PEA=90°，

在Rt△PEA中，根据勾股定理得，PE2+AE2=AP2，

∴（6-t）2+42+52=（9-t）2，

2．

∴t=

3

②若∠EPA=90°，t=6；

2时，△PAE为直角三角形；

综上所述，当t=6或t=

3

（3）存在．

理由：∵EA平分∠PED，

∴∠PEA=∠DEA．

∵CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAP，

∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，

∴（6-t）2+42=（9-t）2，

29．

解得t=

6

29．

∴满足条件的t存在，此时t=

6

3.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°AC=BC=2cm，点M（不与A、B重合）从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向终点B运动．在运动过程中，过点M作MN⊥AB，交射线BC于点N，以线段MN为直角边作等腰直角三角形MNQ，且∠MNQ=90°（点B、Q 位于MN两侧）．设△MNQ与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），点M的运动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示线段MN的长；

（2）当点N与点C重合时，求t的值；

（3）求S与t之间的函数关系式．

第3题图

解：（1）如解图①中，

第3题解图①

在Rt△ABC中，∵CA=CB=2 cm，∠ACB=90°，

∴AB=22cm，∠B=45°，

∵AM=2t，

∴BM=22-2t，

∵MN⊥AB，

∴△NMB是等腰直角三角形，

∴MN=BM=22-2t．

（2）如解图①中，作CH⊥AB于H，则AH=BH，

当点N与C重合时，AM=AH=2，

∴2t=2，

∴t=1s时，点N与点C重合．

（3）①如解图②中，当0＜t≤1时，重叠部分是△MFK．

第3题解图②

S =2

1?KF ?KM

=11222

2

t t ???=2

1t 2．

②如解图③中，当1＜t ＜3

4时，重叠部分是四边形MNFK ．

第3题解图③

S =S △MNQ -S △FQK =2

1（22-2t ）2-2

1?（4-2t -t ）2=-2

7t 2+8t -4． ③如解图④中，当43

≤t ＜2时，重叠部分是△MNQ,

第3题解图④

S =2

1（22-2t ）2=t 2-4t +4．

综上所述, 222

1(0<1)2

74

84<<2

3444<23t t S t t t t t t ?

??

?=-+-?

??-+??

≤（1）（≤） ．

4.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为OC 上动点（不与O 、C 重合），作AF ⊥BE ，垂足为G ，分别交BC 、OB 于F 、H ，连接OG 、CG ． （1）求证：AH =BE ；

（2）∠AGO 的度数是否为定值？说明理由； （3）若∠OGC =90°，BG =6，求△OGC 的面积．

第4题图

（1）证明：方法一：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA =OB ，∠AOB =∠BOE =90°， ∵AF ⊥BE ，

∴∠GAE +∠AEG =∠OBE +∠AEG =90°． ∴∠GAE =∠OBE ，

∴△AOH ≌△BOE （ASA ）， ∴AH =BE ．

方法二：∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠ABC =90°，AD =AB ，∠ADO =∠ECD =45°， ∵AF ⊥BE ，

∴∠OBG +∠BHG =∠OBG +∠AEB =90°， ∴∠BHG =∠AEB ，∴∠AHD =∠AEB ， ∴△ADH ≌△BAE （AAS ）， ∴AH =BE ．

（2）解：∵∠AOH =∠BGH =90°，∠AHO =∠BHG ， ∴△AOH ∽△BGH ，

∴

GH OH =BH AH

， ∴AH OH =BH

GH ， ∵∠OHG =∠AHB ， ∴△OHG ∽△AHB ，

∴∠AGO =∠ABO =45°，即∠AGO 的度数为定值． （3）解：∵∠ABC =90°，AF ⊥BE ，

∴∠BAG =∠FBG ，∠AGB =∠BGF =90°， ∴△ABG ∽△BFG ， ∴

BG AG =GF

BG

， ∴AG ?GF =BG 2=6， ∵△AHB ∽△OHG ， ∴∠BAH =∠GOH =∠GBF ．

∵∠AOB =∠BGF =90°，∠AOG =∠AOD +∠GOH ，∠GFC =∠CBG +∠BGF ， ∴∠AOG =∠GFC ， ∵∠AGO =45°，CG ⊥GO ， ∴∠AGO =∠FGC =45°． ∴△AGO ∽△CGF ， ∴

GF GO =CG

AG

， ∴GO ?CG =AG ?GF =6． ∴S △OGC =2

1CG ?GO =3．

5.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，将对角线AC 绕对角线交点O 旋转，分别交边AD 、BC 于点E 、F ，点P 是边DC 上的一个动点，且保持DP =AE ，连接PE 、PF ，设AE =x （0＜x ＜3）． （1）填空：PC = ，FC = ；（用含x 的代数式表示） （2）求△PEF 面积的最小值；

（3）在运动过程中，PE ⊥PF 是否成立？若成立，求出x 的值；若不成立，请说明理由．

第5题图

解：（1）3-x ，x ；

【解法提示】∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD ∥BC ，DC =AB =3，AO =CO ,

∴∠DAC =∠ACB ，且AO =CO ，∠AOE =∠COF , ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）， ∴AE =CF ，

∵AE =x ，且DP =AE ， ∴DP =x ，CF =x ，DE =4-x ， ∴CP =3-x ，PC =CD -DP =3-x . （2）∵S △EFP =S 梯形EDCF -S △DEP -S △CFP ，

∴S △EFP =

23)4(?-+x x -21×x ×(4?x )-21×x ×（3-x ）=x 2-27x +6=（x -47）2+47

16

， ∴当x =47时，△PEF 面积的最小值为47

16

.

（3）不成立，

理由如下：若PE ⊥PF ，则∠EPD +∠FPC =90°， 又∵∠EPD +∠DEP =90°，

∴∠DEP =∠FPC ，且CF =DP =AE ，∠EDP =∠PCF =90°， ∴△DPE ≌△CFP （AAS ）， ∴DE =CP ， ∴3-x =4-x ， 则方程无解，

∴不存在x 的值使PE ⊥PF ， 即PE ⊥PF 不成立．

6. 如图①，两块直角三角板（Rt △ABC 和Rt △BDE ）按图所示的方式摆放（重合点为B ），其中∠BDE =∠ACB =90°，∠ABC =30°，BD =DE =AC =2，将△BDE 绕着点B 顺时针旋转． （1）当点D 在BC 上时，求CD 的长；

（2）当△BDE 旋转到A ，D ，E 三点共线时，求△CDE 的面积； （3）如图②，连接CD ，点G 是CD 的中点，连接AG ，求AG 的最大值和最小值．

图① 图②

第6题图

解：（1）如解图①中，

第6题解图①

在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AC =2，∠ABC =30°， ∴BC =

tan 30AC

=23， ∵BD =2，

∴CD =BC -BD =23-2．

（2）如解图②中，当A 、D 、E 共线时，易证四边形ACBD 是矩形，

第6题解图②

∴S △CDE =2

1

×DE ×CA =2

1×2×2=2．

如解图③中，当A 、E 、D 共线时，作CH ⊥AD 于H ．

第6题解图③

在Rt △ADB 中，∵AB =2BD ， ∴∠BAD =30°， ∵∠CAB =60°， ∴∠CAH =30°， ∴CH =2

1AC =1，

∴S △CDE =2

1

×DE ×CH =2

1×2×1=1．

（3）如解图④中，取BC 的中点H ，连接GH ．

第6题解图④

∵CG =GD ，CH =HB ， ∴HG =2

1BD =1，

∴点G 的运动轨迹是以H 为圆心1为半径的圆， 在Rt △ACH 中，AH =22CH AC =7， ∴AG 的最小值=AH -GH =7-1， AG 的最大值=AH +GH =7+1．

7.如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF =120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段

AB、AC交于点E、F．

（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；

（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）在旋转过程中，连接EF，设BE=x，△DEF的面积为S，求S 与x之间的函数解析式，并求S的最小值．

第7题图

（1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，

∴∠B=∠C=60°，BD=CD，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA=90°，

∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=360°，

∴∠AED=90°，

∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，

∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF，

（2）解：如解图①，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

第7题解图①

则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．

∵∠A =60°，

∴∠MDN =360°-60°-90°-90°=120°． ∵∠EDF =120°， ∴∠MDE =∠NDF ． 在△MBD 和△NCD 中，

BMD CND B C

BD CD ∠=∠??

∠=∠??=?

, ∴△MBD ≌△NCD （AAS ）， ∴BM =CN ，DM =DN ． 在△EMD 和△FND 中，

EMD FND DM DN

MDE NDF ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△EMD ≌△FND （ASA ）, ∴EM =FN ，

∴BE +CF =BM +EM +CF =BM +FN +CF =BM +CN ， =2BM =2BD ×cos 60°=BD

=2

1

BC =2，

（3）解：如姐图②，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，

第7题解图②

∵BE =x ，∴AE =4-x ，CF =2-x ， ∴AF =2+x ，

∵S △DEF =S △ABC -S △AEF -S △BDE -S △DCF ，

∴S =2

1

BC ×AB ×sin60°-2

1AE ×AF ×sin60°-2

1BE ×BD ×sin60°-2

1CF ×CD ×sin60°

=43-21×（4-x ）×（2+x ）×23-21×x ×2×23-21×（2-x ）×2×2

3， ∴S =

43（x -1）2+4

33， ∴当x =1时，S 最小值为

4

33. 8.如图，两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起（如图①）固定△ABC 不动，将△DEF 沿线段AB 向右平移．

图① 图②

第8题图

（1）若∠A =60°，斜边AB =4，设AD =x （0≤x ≤4），两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y ，试求出y 与x 的函数关系式；

（2）在运动过程中，四边形CDBF 能否为正方形，若能，请指出此时点D 的位置，并说明理由；若不能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF 为正方形？ 解：（1）如解图，

第8题解图

∵DF ∥AC ，

∴∠DGB =∠C =90°，∠GDB =∠A =60°，∠GBD =30°， ∵BD =4-x ， ∴GD =

2

4x

-，BG =22DG BD -=2)4(3x -，

y =S △BDG =21×2

4x

-×2)4(3x -=8)4(32x -（0≤x ≤4）；

（2）不能为正方形，添加条件：AC =BC 时，当点D 运动到AB 中点位置时四边形CDBF 为正方形．

∵∠ACB =∠DFE =90°，D 是AB 的中点， ∴CD =2

1AB ，BF =2

1DE ， ∴CD =BD =BF =BE ， ∵CF =BD ，

∴CD =BD =BF =CF ， ∴四边形CDBF 是菱形； ∵AC =BC ，D 是AB 的中点． ∴CD ⊥AB 即∠CDB =90°， ∵四边形CDBF 为菱形， ∴四边形CDBF 是正方形．

9.如图，等腰Rt △ABC （∠ACB =90°）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y.

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当△ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为2

3

时，求x 的值．

第9题图

解：（1）∵AC =DE =2， ∴当0≤x ＜2时，如解图①，

第9题解图①

由题意知，DG ∥BC ， ∴∠DAH =∠DHA =45°， ∴DH =AD =AC -CD =2-x ， ∴y =S

梯形CDHB =2

1

（DH +BC ）?CD =2

1（2-x +2）×

x =-2

1x 2+2x ； 当2≤x ≤4时，如解图②，

第9题解图②

由运动知，CE =CD -DE =x -2，∴AE =AC -CE =2-（x -2）=4-x ∴y =S △APE =21

AE 2=21（4-x ）2=2

1（x -4）2，

∴y =2

212(0<2)2

14)(22

x x x x x ?-+????-??≤（≤≤4），

（2）∵△ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为2

3时， ∴当0≤x ＜2时，y =-2

1x 2+2x =2

3， ∴x =1或x =3（舍），

当2≤x ≤4时，y =2

1（x -4）2=2

3， ∴x =4-3或x =4+3（舍），

即：△ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为2

3时，x 的值为1或4-3.

10.如图，在直角坐标系xOy 中，已知A （6，0），B （8，6），将线段OA 平移至CB ，点D 在x 轴正半轴上（不与点A 重合），连接OC ，AB ，CD ，BD ． （1）写出点C 的坐标；

（2）当△ODC 的面积是△ABD 的面积的3倍时，求点D 的坐标； （3）设∠OCD =α，∠DBA =β，∠BDC =θ，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．

第10题图 解：（1）如解图①，

第10题解图①

∵A （6，0），B （8，6）， ∴FC =AE =8-6=2，OF =BE =6， ∴C （2，6）；

（2）设D （x ，0），当△ODC 的面积是△ABD 的面积的3倍时，若点D 在线段OA 上， ∵OD =3AD ，

∴2

1×6x =3×2

1×6（6-x ）， ∴x =29， ∴D （29，0）；

若点D 在线段OA 延长线上， ∵OD =3AD ，

∴21×6x =3×2

1×6（x -6）， ∴x =9，∴D （9，0）; （3）如解图②．

第10题解图②

过点D 作DE ∥OC ， 由平移的性质知OC ∥AB ． ∴OC ∥AB ∥DE ．

∴∠OCD =∠CDE ，∠EDB =∠DBA ． 若点D 在线段OA 上，

∠CDB =∠CDE +∠EDB =∠OCD +∠DBA ， 即α+β=θ；

若点D 在线段OA 延长线上，

∠CDB =∠CDE -∠EDB =∠OCD -∠DBA ， 即α-β=θ．