山东省临沂市2020届高三一模考试数学试题(含解析)

山东省临沂市2020届高三一模考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{

}2

|2A x x =∈

}

|21x

B x =>，则A B =（ ）

A. {}1

B. {}1,2

C. {}0,1

D. {}1,0,1-

【答案】A

计算{}1,0,1A =-，{}

0B x x =>，再计算交集得到答案.

【详解】{}

{}2

|21,0,1A x x =∈<=-Z ，{

}{

}

210x

B x x x ==>，故{}1A B ?=.

故选：A .

【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.

2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则1

2

z z 的共轭复数为（ ） A. 1i + B. 1i -+

C. 1i --

D. 1i -

【答案】B

根据题意11z i =-，2z i =，1

2

1z z i z =

=--，再计算共轭复数得到答案. 【详解】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，故11z i =-，2z i =，

()12

2111i i z i z i z i i ---=

===---，故1z i =-+. 故选：B .

【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.

3.若a ∈R ，则“1a >”是“31a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

依次判断充分性和必要性，取2a =-得到不充分，得到答案. 【详解】当1a >时，取2a =-，则381a =-<，故不充分；

当31a >时，根据幂函数3

y x =的单调性得到1a >，故1a >，必要性成立.

故选：B .

【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.

4.已知向量,,a b c →→→

，其中a →与b →是相反向量，且a c b →→→

+=，()3,3a c →→

-=-，则a b →→

?=（ ）

A.

B. C. 2 D. 2-

【答案】D

设(),a x y =，则(),b x y =--，计算得到1x =，1y =-，再计算数量积得到答案. 【详解】设(),a x y =，则(),b x y =--，a

c

b ，故()2,2

c x y =--，

()()3,33,3a c x y -==-，故1x =，1y =-，()()1,11,12a b ?=-?-=-.

故选：D .

【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.已知ln x π=，5log 2y =，0.5z e -=，则（ ） A. x y z >>

B. x z y >>

C. z y x >>

D.

z x y >>

【答案】B

计算得到ln 1x π=>，51log 22y =<，0.5

2

11z e

-=<<，得到答案.

【详解】ln ln 1x e π=>=，551

log 2log 2

y =<=，又2ln2ln4ln 1e =>=，

所以1ln 22>，ln 2

0.5012

1e

z e e --=<=<=，故x z y >>. 故选：B .

【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6.已知函数()2

1212

f x x x =

-+，[]1,4x ∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数()x b

g x a

+=的大致图象为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

计算4a =，1b =，()11

14,144,1

x x x x g x x ++--?≥-==?<-?，对比图像得到答案. 【详解】()()2

211212122

f x x x x =

-+=--，故4a =，1b =. ()11

14,14

4,1x x b

x x x g x a

x +++--?≥-===?<-?

，对比图像知C 满足条件. 故选：C .

【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610=立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）

A. 200两

B. 240两

C. 360两

D. 400两

【答案】D

计算底面半径为12223r ==?，21

32143

V =???=，换算单位得到答案. 【详解】底面半径为12223r ==?，2132143V =???=立方丈6410=?立方寸40000

27

=斛， 故

40000

270100040027

?÷=两. 故选：D .

【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8.点M 为抛物线214y x =

上任意一点，点N 为圆223

204

x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）

A.

5

2

B.

114

C. 3

D.

134

【答案】A

计算()1,2P -，则11

22

MP MN MP MF PD +≥+-

≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.

2

14

y x =

，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()2

2114x y +-=.

1115

32222

MP MN MP MF PD +≥+-

≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .

【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.下列结论正确的是（ ） A. 若tan 2α=，则3cos 25

α=

B. 若sin cos 1αβ+=，则22

1sin cos 2

αβ+≥

C. “0x ?∈Z ，0sin x ∈Z ”的否定是“x ?∈Z ，sin x ?Z ”

D. 将函数cos 2y x =的图象向左平移4

π

个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】BC

根据齐次式计算3cos25α=-，A 错误，2

22111sin cos 2sin 222αβα??+=-+≥ ??

?，B 正确，特称命题的否定是全称命题，C 正确，平移后得到偶函数，D 错误，得到答案.

【详解】tan 2α=，则222222

cos sin 1tan 3

cos 2cos sin 1tan 5

ααααααα--===-++，故A 错误； sin cos 1αβ+=，则()

2

2

222111sin cos sin 1sin 2sin 222αβααα?

?+=+-=-+≥ ??

?，B 正

确；

根据特称命题的否定是全称命题：“0x Z ?∈，0sin x Z ∈”的否定是“x Z ?∈，sin x Z ?”，故C 正确；

将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到cos 2sin 22y x x π?

?=+= ??

?为偶函

数，故D 错误. 故选：BC .

【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题的

否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.

10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折

线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（ ）

A. 全国高考报名人数逐年增加

B. 2018年全国高考录取率最高

C. 2019年高考录取人数约820万

D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小 【答案】BCD

根据图表2016年的人数少于2015年人数，故A 错误，2018年的录取率为81.1%，为最高，

B 正确，2019年高考录取人数为820，故

C 正确，计算占比得到

D 正确，得到答案.

【详解】2016年的人数少于2015年人数，故A 错误； 2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确；

2019年高考录取人数为103179.5%820?≈，故C 正确； 从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：

6.9%,6.3%,5.6%,5.5%,5.9%,

7.4%,6.4%,6.2%,6.1%,5.4%，故D 正确.

故选：BCD .

【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11.

在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =3c =，3A C π+=，则下列结论正确的是（ ）

A. cos C =

B. sin 3

B =

C. 3a =

D.

ABC

S

=【答案】AD

根据正弦定理得到cos C =

，sin sin 23

B C ==，根据余弦定理得到1a =，

ABC

S

=.

【详解】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：

sin sin b c

B C

=，即

32sin cos C C C =?，

sin 0C ≠，故cos 3C =

，sin 3C =，sin sin 22sin cos 3

B C C C ===

. 2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，

若3a =，故4

A C π

==，故2

B π

=

，不满足，故1a =.

11

sin 122ABC S ab C =

=??=△故选：AD .

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12.如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成

SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

A. 存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥

B. 存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBC

C. 存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°

D. 存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD

依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到

2cos 3α=

，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60?，计算得到5

tan 5

θ=，故D 正确，得到答案.

【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确；

若//AE 平面SBC ，因AE ?平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，

这与已知矛盾，故B 错误；

如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，

取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，

1CE BF ==，125DG =

，12cos 5OG α=

，故只需满足12

sin 5

SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：

22

2

1213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα??????=+---∠ ? ? ???????

，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OM

AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，

取二面角D AE B --的平面角为60?，故只需满足22DG GO OM ==， 设OAG OAM θ∠=∠=，

8

4

π

π

θ<<

，则22

DAG π

θ∠=

-，

tan tan

22DG OG

AG πθθ=

=

??- ???

，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5

tan θ=，验证满足，故

D 正确；

故选：ACD .

【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.三名旅游爱好者商定，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______. 【答案】

19

根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有3327=种选择情况，他们选择同一城市有

3种情况，即可求得答案.

【详解】

三人均等可能前往三个城市之一

∴共有3327=种选择情况，

他们选择同一城市有3种情况，

∴概率为

31279=. 故答案为：1

9

.

【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

14.

若21n

x ?? ??

?展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________． 【答案】405

根据系数和得到5n =，再根据二项式定理计算得到答案.

【详解】21n

x ?? ??

?展开式中的各项系数的和为41024n =，故5n =，

故5

21x ?? ???

的展开式的通项为：(555522

155213r

r

r

r

r r r T C C x

x ---+??==? ???

， 取1r =得到常数项为14

53405C ?=.

故答案为：405.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>

的一条渐近线方程为y =，左、右焦点分别为

1F ，2F ，点A 在双曲线上，且212AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为__________，12sin AF F ∠=__________．

【答案】

(1).

(2).

1

2

根据渐近线得到c =，得到离心率，不妨取2,b A c a ??

???

，计算得到答案.

【详解】一条渐近线方程为y =

，故b =

，c =

，故e =212AF F F ⊥，不妨取2,b A c a ?? ???，故221221

21

sin 422b AF a a

AF F b AF a a a

∠====+.

12

. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

16.已知函数()32232,0

,0x x x x f x x e x ?-++≥=?-

，若方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则实

数a 取值范围是__________．

【答案】{|62a a -<≤-，或2

4}a e -=

分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像得到答案.

【详解】当0x ≥时，()3232f x x x =-++，故()()2

3632f x x x x x =-+'=--，故函数

在[]0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()02f =，()26f =； 当0x <时，()2x

f x x e =-，故()()2x

f x xe

x '=-+，故函数在(),2-∞-上单调递减，在

[)2,0-上单调递增，()224f e --=-，画出函数图像，如图所示：

()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像知：26a ≤-<或24a e --=-，

解得62a -<≤-或24a e -=.

故答案为：{|62a a -<≤-，或2

4}a e -=.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a <，2

234n n n a a S -=-．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n a b =，求满足122311

7

n n b b b b b b ++++<

的正整数n 的最大值． 【答案】（1）21n a n =--；（2）8．

（1）根据公式1n n n a S S -=-得到12n n a a --=-得到通项公式. （2）1

21

n b n =-

+，故122311112323n n b b b b b b n +??

+++=- ?+??

，解得答案.

【详解】（1）当1n =，2111234a a a -=-，2

11230a a +-=，又0n a <，13a ∴=-． 当2n ≥时，2234n n n a a S -=-，①2

111234n n n a a S ----=-，②

①—②整理得，12n n a a --=-，()321n a n ∴=---，21n a n ∴=--． （2）因为1n n a b =，所以1

21

n b n =-+， 所以()()11

111212322123n n b b n n n n +??=

=- ?++++??

，

故1223111111

1111123557

21232323n n b b b b b b n n n +????

++

+=-+-+

+

-=- ? ?+++????

， 令

1111

23237

n ??-< ?+??，解得9n <，所以n 的最大值为8． 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

18.已知函数()()sin 0,02f x x m π

ω?ω???

=++>-

<< ??

?

满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①3

2

ω=

，②周期T π=，③过点()0,0，④3

32

f π??= ???． （1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离． 【答案】（1）②③④；()1

sin 262

f x x π?

?=-

+ ??

?；

（2）3π

． （1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到2ω=，sin 0m ?+=，23sin 32m π???

++= ???

，

解得6

π

?=-

，1

2

m =

，得到解析式.

（2）根据题意1sin 262x π??-

= ??

?，故6x k π

π=+，或2

x k ππ=+，k ∈Z ，得到答案. 【详解】（1）所满足的三个条件是：②③④，

()f x 的周期T π=，2ω∴=，()()sin 2f x x m ?∴=++，

又过点()0,0，且3

32

f π??=

?

??，sin 0m ?∴+=，23sin 32m π???++= ???， 23sin sin 32π????

∴+-= ???，313cos sin sin 222

???∴--=，

1333cos sin 22????∴-= ? ??

，3sin 62π???∴-= ???，又02π?-<<，6π?∴=-， 又sin 0m ?+=，102m ∴-

+=，12m ∴=，()1sin 262f x x π?

?∴=-+ ??

?．

（2）由()1

sin 2162f x x π?

?=-

+= ?

?

?，得1sin 262x π?

?-= ??

?， 226

6

x k π

π

π∴-

=+

，或5226

6

x k π

π

π-

=+

，k ∈Z ， 6

x k π

π∴=+

，或2

x k π

π=+

，k ∈Z ，

所以函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为

2

6

3

π

π

π

-

=

．

【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，

1A O ⊥平面ABC ，点M 在AO 上，2AM MO =，N 为1OC 与1B C 的交点，且1BB 与平面ABC 所

成的角为

4

π

． （1）求证：//MN 平面11ACC A ； （2）求二面角11A OC B --的正弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）

14

． （1

）连结1AC ，证明相似得到1//MN AC ，得到证明.

（2）以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面11AOC 的法向量为(

)

13,1,0n =，平面1BOC 的法向量为()2=0,1,1n ，计算夹角得到答案.

【详解】（1）连结1AC ，

O 为BC 的中点，11//OC B C ，

1111

2

ON OC NC B C ==， 又2AM MO =，11

2

OM ON AM NC ∴

==，1//MN AC ∴． 又MN ?平面11ACC A ，1AC ?平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ．

（2）因为ABC 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC ，

所以，AO ，BC ，1A O 两两垂直，以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

1BB 与平面ABC 所成的角为

4π，又1AA ∥1BB ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为4

π， 又1A O ⊥平面ABC ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为1A AO ∠，即14

A AO π

∠=．

又ABC 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1

3AO AO == 由题意知，(10,03A ，，()1,0,0B -，(11,3,3C -，

所以，(1

3OA =，()1,0,0OB =-，(1

1,3,3OC =-，

设平面11AOC 的法向量为()1111,,n x y z =，

所以，111100n OA n OC ??=???=??，即111130330

z x y z

?=??-+=??，取(

)

13,1,0n =

，

设平面1BOC 的法向量为()2222,,n x y z =，

由22100n OB n OC ??=???=??，得22

220330x x y z -=???-+=??，取()2=0,1,1n ，

所以121212

2

cos ,22

n n n n n n ?=

=

=

， 设二面角11A OC B --的大小为θ，2

212214

sin 1cos ,144n n θ??∴=-=-= ? ???

． 所以二面角11A OC B --的正弦值为

14

4

．

【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20.动点P 在椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足

3AB AP →

→

=，已知点B 的轨迹是过点()0,3Q 的圆．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，若12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．

【答案】（1）2

219

x y +=；

（2）3． （1）设点(),B x y ，()00,P x y ，得到003x x

y y =??

?=??

，点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，故22

91a b ?=?=?，得到椭圆方程.

（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF

的方程为x my =-

1229

y y m +=+，

12219

y y m =-+

，计算8S =

，利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，则点()0,0A x ，()0,AB x x y =-，()00,AP y =，

3AB AP =，0003x x y y -=?∴?

=?，003x x

y y =??

∴?=??

， 点()00,P x y 在椭圆C 上，22

2219x y a b

∴+=，即为点B 的轨迹方程．

又点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，22

2

9919a b b ?=?

∴?=??，解得2291a b ?=?=?，

所以椭圆C 的方程为2

219

x y +=．

（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，

由（1

）可知()

1F -

，()

2F ，

设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF

的方程为x my =-

由22

19

x my x y ?=-??+=??可得(

)

22910m y +--=，()2232490m m ?=++>，

1242m

y y ∴+=

，12219y y m =-+， (

)

(

)

2

22

1212122

22

32461

499m m y y y y y y m m

+∴-=

+-=

+=++， 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 面积()121

2

S F M F N d =

+ ()21111

22

MF M F M F M d MM d S '''=

+==△， 而2212112121

2MF M F MF F M F S S S F F y y ''=+=-△△△，

2222161122112212242324211

m m S m m +?+∴=??==≤=++

+， 当且仅当2

2

11

m m +=

+，即7m =±时，取等号．

故四边形12F F NM 面积的最大值为3．

【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.

21.某高中学校开展了线上防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：

（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200

名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算()3779P X <<；

（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为

2

3，抽到36元红包的概率为13

．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．

参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；

()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．

【答案】（1）65μ=，14σ≈；()37790.8186P X <<=；（2）分布列详见解析，数学期望为36；总金额为7200元．

（1）计算65μ=，14σ≈，故X 服从正态分布()

2

65,14N ，计算得到答案.

（2）Y 的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）()20350.545355465575 4.58529511300E X =?+?+?+?+?+?+?=，

()65E X ∴=．即65μ=．

()()()()()2

2

2

2

35650.02545650.1555650.265650.25D X =-?+-?+-?+-? ()()()2

2

2

75650.22585650.195650.05210+-?+-?+-?=．

由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.25210=>，故14σ≈， 则X 服从正态分布(

)2

65,14

N ，

()()()()

22377922

P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=

0.95450.6827

0.81862

+=

=．

（2）Y

取值为18，36，54，72．

由题意知，()()12

P X P X μμ<=≥=

，

()12118233P Y ==?=，()111227

362323318P Y ==?+??=，

()1211122542332339P Y ==??+??=，()1111

7223318

P Y ==??=，

所以Y 的分布列为

()1721

1836547236318918

E Y =?+?+?+?=，

估算所需要抽奖红包的总金额为：200367200?=（元）．

【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22.已知函数()ln f x a x =，2

1()2

g x x bx b =

++，,a b ∈R . （1）设() ()F x x f x =，求()F x 在[],2a a 上的最大值；

（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4

2

e a b +≤. 【答案】（1）最大值2

21ln 04

()12ln 24a a a M a a a a ?<≤??=??>

??

（2）证明见解析

()1对函数求导得()(1ln )F x a x '=+，

得到()F x 的

单调区间，分类讨论即可得()F x 最大值．

()()22'(0)x bx a

G x x x

++=

>，()G x 的极大值恒小于0可得3ln 2a b a a -+，从而得到+a b 的最大值，构造函数即可证明4

2

e a b +≤．

【详解】()1由已知0a >，()(1ln )F x a x '

=+，

当10x e

<<

时，()F'0x <，当1

x e >时，()'0F x >，

从而()F x 的单调递增区间是1,e ??

+∞ ???，单调递减区间是10,e ?? ???

，

从而，()(){}

()2,max F x max F a F a =， 于是2

2

2

(2)()(ln 4ln )ln 4F a F a a a a a a -=-=

当14a >

时，()()2F a F a >，所以2

max ()(2)2ln 2F x F a a a == 当104

a <≤时，()()2F a F a ≤，所以2

max ()()ln F x F a a a ==；

综上所得2

21ln 04

()12ln 24a a a M a a a a ?<≤??=??>

??

．

()2依题意()212G x alnx x bx b =+++，则()2'(0)a x bx a

G x x b x x x

++=++=>，

因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程20x bx a ++=有两个不等的正根12,x x ， 不妨12x x <，则12x x a =，则0a >

，且10x <<， 设()2

p x x bx a =++列设表如下：

从而，()()2

11111()ln 12

G x G x a x x b x ==+++极大， 又(

)

2

11bx x a =-+，

从而()2

111 1()ln 02

G x G x a x x a b ==--+<极大对10x <恒成立， 设2

1()ln 2

K x a x x a b =-

-+，(x ∈， 则()2

'0a x K x x

-=>，

所以()K x 在(上递增，从而3()02

a

K x K a b <=+， 所以3ln 2a b a a -+， 55ln ln 222

a a a

a b a a a +-=-+，

设(0)2

a

t t =>，则()25m t tln t t =-+，

又()'42m t ln t =-，

若40,2e t ??

∈ ???，()'0;m t >

若4,2e t ??∈+∞ ???，()'0;m t <

从而()44

2

2e e m t m ??≤= ???，

即4

2

e a b +≤．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．