(完整word版)高等数学极限习题100道

设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin

sin x x x x →021

[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞

+-1 求极限．lim sin x x x

→+011

求极限．lim

arctan x x

x

x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121

22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限

[]A

x f A

u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0

00试证：，又，且设

设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；

当时，为无穷大。

f x x x

a b x a f x x b f x ()ln ()()=

-→→1

设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x

x x f x ()tan ()=2

．

该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00

x f x g x A

B B x g A x f x x x x >>==→→

设，试证明：

对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0

00010201221εδδδε

．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim

0)(lim 0

{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +

求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121

设　其中、为常数，，求的表达式；

确定，之值，使，．

f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin

cos()

()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121

1

2

1

021211π

π

求的表达式f x x n n ()lim

(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n x

x x x x f ---+∞→++=1

2lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(2

2x f x f x x x x f x x x n n n n ∞

→=?++?+?+=+-=?Λ 求的表达式．f x x x x

x x x

x n n ()lim ()()=+++++++??????→∞-11122221Λ 求的表达式．f x x x n n

n ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k n

k k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1

求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-????

?

?→∞1121212222Λ ．

的表达式，其中求01

)1(1)1(lim

)(≥+++++=∞

→x x x x x x f n

n n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 1

1>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n

求数列的极限．lim ()n n n n →∞?+?-53323 求数列的极限．lim()n n n →?++++-12345321

2

Λ ．

，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞

→q nq q q n n Λ

求数列的极限

其中．

lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++??

??

??>11211231110Λ ??

????+-++?+?∞→)12)(12(1

531311lim n n n Λ求数列的极限 ．求数列的极限??

????+++?+?+?∞→)1(1

431321211lim n n n Λ []

)0( )1(321lim 2222

32>-++++∞→a n n

a n 其中求数列的极限Λ

．求数列的极限??

?

???--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n Λ 求数列的极限．lim ()n n n n →∞

+-+21

[]

求数列的极限．lim ()n n n n →∞

++--2451

．求数列的极限n

n n n n n )

1)(1(63lim 34+---+∞→

．

其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a n

n

n ．求数列的极限)1

1()311)(211(lim 222n

n ---∞→Λ 求数列的极限．lim n n n →∞+1000012

求数列的极限．lim n n n n n →∞++-+2243

351 求数列的极限．lim()n n n →∞

+-1

求数列的极限．lim n n n n →∞

++123

)200( 2

1

22lim

≠>>+-+--+∞

→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限

求数列的极限．lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限．　lim ()n n n n →∞-+-1

213

求极限．lim n n n

n n →∞--?-??+?2103103102102121

．

，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(0

0．试判定是否可得：B A >

是否成立？为什么？

，则，若0)()(lim 0)(1

lim 0)(lim 0

00=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x

[

]

[

]

确定，之值，使，

并在确定好，后求极限a b x x ax b a b x x x ax b x x lim

()lim ()

→+∞

→+∞

++-+=++-+347034722

求极限．lim()x x

x x x →∞+--11

求极限．lim cos sin x x x

x x →∞+-23

求极限lim ()()()()()()

x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222

Λ

[

]

求极限．lim ()x x

x x x →+∞

++-+2251 求极限．lim ()x x x x →-∞

-+++485212

讨论极限．lim x x x

x x e e e e

→∞---+2343232 求极限．lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()

()x x x x x x x →∞+++++-?121314151532

22222222335 求极限．lim ()()()

x x x x →∞--+43326723425 求极限　，．lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限．lim tan tan(

)x x x →

?-π

π

4

24

为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→

求极限．lim x x x x x →-+-+1343243 求极限．lim x x x x →-+-222564 求极限．lim x x x →+--23

322

2

求极限．lim x x x x →--+-2251254

求极限．lim x x x →+-0255 求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132 求极限．lim ()()x x x x →+--023242

11 ．为自然数，求极限)( )2(lim n m a

x a a x n n m

m a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限．lim ()x x x

→+-04131

设f x ax a x ax a x a

()()()=------221

1222

问：当为何值时，；

当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。()lim ()()lim ()()lim ()1212

301

112

a f x a f x a f x x x x →→→

=∞=

>

求极限．lim

csc cot x x x x →-0 求极限．lim cos x ax

x

→-021 求极限．lim tan sin x x x x →+-+03

11 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→　求极限x x x 求极限　为常数，．lim sin cos sin cos ()x x x

px px p p →+-+-≠0110 讨论极限．lim cos x x x

→-022

．求极限x

x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→

求极限．lim ln()x x x →+013

．求数列的极限1)4

1(arctan lim 2+π-+∞→n n n n 求数列的极限．lim sin n

n e n →∞ ．求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限．lim (cos )n n n →∞-2

1π

[]　答（ ）

存在

不一定存在

都存在，而，不一定存在

存在，但不一定存在存在，但，则

，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(0

0000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈

．

存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞

→+=

>>lim 011 。

存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞

→++==lim 2211

设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．

x x x a

x a x n n n n n 110120>=

+>+→∞

()()lim

设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。x x x x x x x x n n

n

n n 010*******==+

+=+++→∞

Λlim

存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++

=lim )(131211222Λ .lim 131

1311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=Λ

设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211

21

2=

=??=??-??<+→∞

ΛΛΛ()

()

()()lim

求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101

010010001

232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n n

n n x r r x x

x

求极限．lim

tan tan cos()x x x

x →

-+π

π

3

336

求数列的极限．lim !n n n →∞2 ．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02

lim =∞→n n n

．

求数列的极限)1

2111(lim 222n

n n n n +++++∞

→Λ ．求数列的极限1

!

sin lim

3

2+∞

→n n n n

．求数列的极限??

???

?+

++++∞→222)2(1

)2(1)1(1lim n n n n Λ 求极限．lim ln()ln()x x x e e →+∞++233223 求极限．lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734 求极限．lim x x x x x

x

→+∞+++

[]设，，当，当讨论及．

f x x

g x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>??

???

??→→22

0200

ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000

u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。

求极限　、为正整数．lim ()x m n m n x x x x m n →-+-12

　）

答（　无限接近等于小于不确定的值无限循环小数1)(1

)(1)()(9.0D C B A &

{}．求证：适合若数列r

ra a a r a a r a a a n n n n n n n --=

<<-=-∞

→-+1lim )10()(1

211

n n n n

n n x x n a n n a x 1lim , 0!

＋求极限为正整数是常数，　其中设∞→>?=

求数列的极限．lim(sec )n n n

→∞π2

设时，与是等价无穷小且证明：x x x x x f x A

x f x A

x x x x →?=?=→→00

αβαβ()()lim ()()lim ()()

设，且，

试证明必有的某个去心邻域存在，使得在该邻域内有界lim ()()

.

x x

f x A A x f x →=≠001

[][]下述结论：

＂若当时，与是等价无穷小，则当时，与也是等价无穷小＂是否正确？为什么？

x x x x x x x x →→++0011αβαβ()()ln ()ln ()

．求极限应用等阶无穷小性质，x

x x x )

1arctan()1arctan(lim

--+→

求极限．lim

x x x

x x

→+--+0

215132

求极限．lim ()()x x x x →--+012

13

1416 求极限　为自然数．．lim

()()x n

ax x n a →+-≠01

110 求极限．lim ()x x x x →-+--313

522

3

设当时，与是等价无穷小，

且，，证明：．

x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()

()

lim ()()

()

设当时，，是无穷小且证明：．

x x x x x x e e x x x x →-≠--00

αβαβαβαβ()()()()~()()()()

若当时，与是等价无穷小，

是比高阶的无穷小．

则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？

x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()

[][]设当时，、是无穷小，且证明： 与是等价无穷小．

x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().

ln ()ln ()()()

设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．

x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()

吗？为什么？

也是等价无穷小

与无穷小。试判定：等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→

确定及，使当时，

与，是等价无穷小．

A n x f x x x g x Ax n →=++=0122()ln()()

．

时，，使当及求，，　设)(~)(0)(5sin 3sin 2sin )(x g x f x n A Ax x g x x x x f n →=+-=

设，为常数求及，使当时，f x e e e a g x Ax A n x f x g x a x a x a n

()()()()~().

()()=+-=→+-222

20

设，　，

确定及，使当时，．

f x x x x

g x A

x

k A x f x g x k ()()()~()=

+-++=→+∞221

设，　，

确定及，使当时，αβαβ()()()()~()

x x x x c x c n x x x n =-+=-→33211

证明不等式：．其中为正整数ln()()111

+

n

求极限，，为正的常数lim()()x bx

x

ax e a b →+01

求极限，，lim()()x x x x

a b a b →+>>01

2

00 求极限，为任意实数．lim ()x n x x n →--111

求极限　lim ln ln ()x x x x x x x →-->00000 )10(lim ≠>--→a a a x a a a

x a x ，，求极限 求极限　，．lim ()x x

a x a a →->≠03101 求极限．lim sin tan x x x e e x →-03 求极限．lim x x x e e x

→-+-022 求极限．lim x x e x →-051

求极限　，且，，lim()()x x x

x xa xb a b a b a b →++>>≠≠≠01

1100112

求极限　，．lim ()()x x x x a a a a →+∞+->≠211

101 求极限．lim ln(sec tan )sin x x x x

→+0 求极限　，为常数，且lim ln()ln()().x ax e b

x

a b a →+∞++>110

． 求极限)0(ln 2)ln()ln(lim 020

000>--++→x x

x x x x x x 求极限　，．lim(cos cos )()x x x k k z →-≠+∈ααααππ1

2

求极限．lim cos x x x →+∞π

求极限lim()x x

x →-01

12 求极限．lim()x x

x x →∞+-21213 求极限．lim()x x x x x x →∞-++-2121

22 求极限lim(sin )tan x x x →π2

2

求极限．lim(sin cos )x x x x →+01 求极限．lim tan()cot x x

x →-??????04π

求极限．lim(cos )x x x →+0

1

求极限．lim()x x

x x →++0

211

[]求极限lim ()ln()()ln()ln x x x x x x x x →+∞

++-+++22211 求极限．lim lncos x x

x

→0

2

[]．求极限x x x x )1ln()1ln(lim --++∞

→ 求极限．－lim ln x x x →-121

[]求数列的极限．lim ln()ln n n n n →∞+-1 求数列的极限lim().n n

n

n e →∞

+1

1

为正整数．

，，其中求数列的极限b a e e

n n

b

n

a n )(lim -∞

→ 是常数其中求数列的极限0 ; ln 2)1ln()1ln(lim 2>??

????--++∞→a a n a n a n n

求数列的极限．lim()n n

n n →∞++211 求数列的极限，其中．lim ()n n n a a →∞

->1

10

．求数列的极限??????-+-+∞

→2)1

2()

12(22lim e e e n n n n

求数列的极限，其中，．lim()n n

n n

a b a b →∞+>>2

00 求数列的极限．lim(

)n n n n →∞+-2121 )

1(224323lim +∞→?

?

?

??+-n n n n n 求数列的极限 计算极限：．lim sin()n n a →∞

+?22π

设，，，则有

， ，， ， 答（ ）

f x x x x

x f x a f x b A a b B a b C a b D a b x x ()sin sin lim ()lim ()()()()()=+==========→→∞11

111221220 计算极限lim ln x x x nx x e e e n →+++021Λ 计算极限lim ln()ln()sec cos x x x x x x x

→+++-+-02211

求极限　，为非零常数lim tan sin ()x mx

nx m n →0 计算极限lim x x x x →+-++-021111 计算极限　lim ()x a x a x a x a a →+-+--≥0220 计算极限．lim cos cos x x x

→--0211 计算极限在　lim ln()ln()ln ()x a x a x a x a →++-->0220

计算极限lim (sin tan )x x x x →-0111

计算极限lim ()(cos )ln()

sin x x e x x x →-?+-+042

21111

lim

sin ()()()()x x

x

A B C D →∞=

∞10 不存在但不是无穷大 答（ ）

lim sin ()()()()x x x

A B C D →∞===∞1

10之值 不存在但不是无穷大 答（ ）

已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为

答（ ）

lim

tan (cos )ln()()

()

()()()()x x A x B x C x D e

A B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-0

11211022222

)1()1)(1)(1(lim 1242n

x x x x x n ++++<∞

→Λ计算极限设

设及存在，试证明：．lim lim

n n n n n

x x x a a →∞→∞+==≤011

求lim(sin cos )x x x x →∞+2212

计算极限　lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---2322332

2

计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-?+021 ??

????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x Λ计算极限 {}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim 01

=<≤=>∞

→+∞→n n n n n n n a r r a a a a

{}，试按极限定义证明：

，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞

→r r a a a n n n n n ．0lim =∞

→n n a

．语言证明，试用　设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim

"")0()(lim 0

试问：当时，，是不是无穷小？x x x x

→=

01

2α()sin

的某去心邻域，使得

试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0

x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >

设，试研究极限f x x x

f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344

[]

　答（ ）

大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量

无穷大量是时，则当，

设数列的通项为)()()()()1(12

D C B A x n n

n n x n n n ∞→--+=

以下极限式正确的是

答（ ）

()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x

e C x e D x

x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001

11111

1111

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞

()lim Λ

a

b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A

x f x b x x e x f x ax ======???

??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 0

01

)(0

答：( )

a

A A b a D A

b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x

ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)

1ln()(0

======??

?

??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ，　，当设

答：（

）

答（ ）

可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，

，当设2

)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(2

2

2

a A

b a D a

A b a C a A b a

B a

A b a A A b a A x f x b x x ax x f x =

==

==

==???

??=≠-=→

[][]设有，，且在的某去心邻域

内复合函数有意义。试判定是否

成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。

lim ()lim ()()lim ()x x u a

x x x a f A x f x f x A →→→===0

0????

设，当， 当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数

答（ ）

f x x x b

x x a x f x A

A a b A

B a A b

C b A a

D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=???

??===-====-=→21

21114344434

设　当 当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数

答（ ）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=???

??=======→11

0033363

360

值。，试求时，且当，设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1)

1()(cos 3

12βα→-=β-+=α

求．lim x x x x x e e e e →∞---+234 ．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a a

x a x x

x ．

____________)

31(lim sin 2

=+→x

x x

当时，在下列无穷小中与不等价的是 答（ ）

x x A x B x C x x D e e x x →-++--+--0121112

22

22()cos ()ln ()()

当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是 答（ ）

x A x x B x C x x D e e

x x

→++---+--01112

22()ln()()()tan sin ()

计算极限lim

cos x x x e x →---0

2

112

_____________________4sin 3

553lim 2

=?++∞→x x x x

1

lim 211--++++-→x n

x x x x n n x Λ计算极限

131)1()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x Λ计算极限 ．计算极限x x x π

+→)(cos lim 0

讨论极限的存在性。limarctan x x →-11

1 的存在性。研究极限x

x 1cot arc lim 0→ 研究极限．lim x x x x →∞++-223

1

　）

答（ 穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B x

x A x 1

cot

arc )(1arctan )(ln )(sin )

(0+→ ________________1

ln 1lim 1=-→x x 。 时，恒有

，使当存在一正整数，试判定下述结论，且设N n N a a n n n >=>∞

→"0lim 0是否成立？"1n n a a <+

若试讨论是否存在？lim lim n n n n a A a →∞

→∞

=

{}存在的

极限，试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞

→+∞

→=-lim 0)(lim 1结论。

{}0lim 1001

=<<≤>∞→+n n n

n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列

是否必存在？

存在，则存在，设)(lim )(lim )()

(lim

00x f x g x g x f x x x x x x →→→ ．

，则是否必有，若0)(lim 0)()

(lim 0)(lim 0

00=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x

答（ ）

小量的是时，下列变量中为无穷当1

)

1)((ln 1)

()1ln()(1

sin 1)(012

2-+-+→x

x D x C x B x x A x

．

是常数），试证明，时，设0)()

(lim

()()(0

0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x

若，且在的某去心邻域内，，则必等于，为什么？

lim ()()lim

()

()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0

0000

若，不存在，则是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定的极限时必不存在。

lim ()lim ()lim ()()

()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0

是否为无穷大？，试判定，若)()(lim )(lim )(lim 0

x g x f A x g x f x x x x x x ?=∞=→→→ []．，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0

0x g x f A x g x f x x x x

．，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0

0x g x f A A x g x f x x x x

设，，则当时　与是同阶无穷小，但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小

αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln

()~()()()x x

arcctgx x A B C D 1

答：（ ）

f x x x

x A x B x C x f x D x f x ()sin ()()()()()()()()=

?<<+∞→+∞→+∈+∞→+11

0000　当时为无穷小当时为无穷大当，时有界

当时不是无穷大，但无界． 答（ ）

若，当时为无穷小，则

，　，，　， 答（ ）

f x x x ax b x A a b B a b C a b D a b ()()()()()=+--→∞==-===-=-=-=2

1

11111111

2

1

)63(lim -∞→++x x x x 求 求lim()n n n n n n n n n

→∞+++++++++11222

22Λ ____)1

2(lim =+-∞→n

n n n

lim ()()()()n n n n n

e e e

e A B e C e D e →∞

-??=

1212

1Λ 答（ ）

．

____))1(2121(lim =-+++-+++∞

→n n n ΛΛ

答（ ）

不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .

)( ;)(;

2)( ; 0)(2

cos

lim 2

D C B A x x x +→

.

)(0)2(; )10()()1(sin 1)(是否成为无穷大时，当，内是否有界，在，试判断：设x f x x f x

x x f +→π

=

[

)设，试判断：在，上是否有界当时，是否成为无穷大

f x x x f x x f x ()cos ()()()()=+∞→+∞102

试证明不存在。limcos x x

→01

0)(lim 0)(lim )()(0

0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在

．试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0

答（ ）

不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于之值

.

)( ; )(;

0)( ; 1)(1

1

sin lim

D C B A x

x x →

（ ）

答 高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（ ），则当，设.

)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x x

x

x αββαβαβα→-=β+-=

α

答（ ）

，　，，　，，则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x

）

答（ 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限

时，当. )( ; )(;

0)( ; 2)(1

1)(11

1

2D C B A e

x x x f x x ∞--=→-

的值。．试确定满足和，设当a x x x x ax x x )(~)(cos 1)(1)

1()(02

3

2βα-=β-+=α→

求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=321

12

之值。

，试确定设b a b ax x x x , 0)743(lim 2=--+++∞

→ n n n n x n x x x ∞

→+=+==lim )21(32111，求，，，设Λ

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1142312==+=+→+∞

()lim ΛΛ

计算数列极限lim tan()n n

n →∞+?

?????π41 )1

arctan 1(arctan lim +-+∞→n n n n n n 计算极限

．及，试确定，设当k A Ax x x x x k ~11)(03333--+=α→

设，求与使αα()lim ()

()x x x x A K x x

A A x k =++-+=≠→+∞2210

的值为， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a

x x

b x

答（ ） ． ．　a

be

D e C a b B A a b

)

()(ln )(1)( 设　，试确定，之值。lim

(cos )

()x x a x b x a a b →+-=

>0

2

221

2

0 设，试确定，之值。lim ()x x ax bx a b →+∞

-++=3122

设，试确定，之值。lim x x ax x b x a b →+++-=13221

3 )(lim x x x x x --++∞→计算极限 x

x x

x x x tan 2cos sin 1lim

0-+→计算极限

计算极限lim tan sin tan sin x x x

x x e e →+-+-044

研究极限的存在性。lim cos ()x ax

x a →->0220 {}．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞

→+=-=∈lim )21(2)20(2

11ΛΛ 设，，，，试研究极限．x x x x n x n n n n n 112

0212<=-=+→∞

()lim ΛΛ

．

，试研究极限，，，设n n n n n x n x x x x ∞

→+=-=>lim )21(222

11ΛΛ

n

n n n n b

n n n n

n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞

→∞

→→∞

→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ

cos 20e e lim x x x

→-计算极限 x x x x x x x ??? ??+-+++∞→lim 计算极限 x x x

x )1

21(lim 2+-∞→计算极限

至少有一

及，则能否得出＂，，且若0lim 0lim 000lim ==≠≠=∞

→∞

→∞

→n n n n n n n n n y x y x y x 式成立＂的结论。

{}{}{}反例。

，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定：

，

都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =

计算极限lim sinln()sinln()x x x x →∞+-+?

?

????1311

极限．；　． ．；　．． 答（ ）

lim(cos )x x x A B C D e →-

=

1

12

2

01

极限的值为（ ）

．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim ()x x x

e e x x A B C D →--+0210123

答（ ）

．．；　．；　．；　．的值为（ ）

极限2

3

326103sin 3cos 1lim

0D C B A x

x x

x -→

下列极限中不正确的是

．；　．；．；．．

答（ ）

A x x

B x

x C x x D x

x x x x x lim tan sin lim cos

lim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==0112

32322121120π

π

极限．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim ln()ln()x x x x x x A B C D →+++-+=

0222

110123

极限．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim(cos )x x

x A B e C D e →-

=

112

12

01

答（ ）

．

．；．；．；　．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→

）

答（ ．低阶无穷小量．

．高阶无穷小量；量；

．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量

当D C B A x x

x

x 12111-+→

为常数，则数组，等价，其中与时，无穷小量当n m mx x x x n 2sin sin 20-→的值为，）中，（n m n m

　答（ ）

．

，．；　，．；　，．；　，．)13()31()23()32(D C B A

已知，则的值为

．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim()

x x

kx e k A B C D →+=-0

1

1111

2

2

极限的值为

．；　．；　．；　． 答（ ）

lim()x x

x

A e

B e

C e

D e

→∞---11

221

4

1

4

下列等式成立的是

．；　．；

．；．．

答（ ）

A x e

B x

e C x e D x

e x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=1211

1111

22222212

答（ ）

．．；　．；　．；　．极限2210

1

)

21(lim e D e C e

B e A x x

x -→=

-

极限的值为（　）

．；　．；　．；　．．

答（ ）

lim(

)x x x x A e B e C e D e →∞+---+11

4

2244

极限的值是

．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim x x x x A B e C e D e →∞----+?? ?

?

?2121121

1

2

2

下列极限中存在的是

．；　．；．；　． 答（ ）

A x x

B e

C x x

D x x x x x x lim lim lim sin lim →∞→→∞→++-201011111

21

极限的值为

．；．　．　．． 答（ ）lim

tan sin x x x

x A B b C D →-∞03

011

2

极限．；　．；　．；　．．

答（ ）

lim

sin x x

x A B C D →-=

-∞ππ

101

已知，则的值为

．；　．；　．；　．．

答（ ）

lim

cos sin x a x x x a A B C D →-=-01

2

0121

已知，则的值为

．；　．；　．；　．． 答（ ）lim

sin ()

x kx

x x k A B C D →+=----02333

2

66

答（ ）

．，．；　，．；　，．；　，．为，的值所组成的数组，，则常数设)11()11()10()01()(0)11

(lim 2-=--++∞→D C B A b a b a b ax x x x