《近代物理》模拟试题及答案

一、填空题

1． 电介质的极化有两种，一是位移极化，二是取向

极化。

2． 在硅基体中掺进了3价元素锑，则形成了P 型半

导体，其杂质能级叫受主能级。 3． 频率为ν 的光子的能量ε = h ν，动量p = h ν/c ，静

质量m 0 =0。

4． 在下列给出的条件中那些是产生激光的条件，将

其标号列出（2）（3）（5）。

（1）自发辐射（2）受激辐射（3）粒子数反转（4）两能级系统（5）谐振腔

5． 在太阳能电池中，本征半导体锗的禁带宽度是

0.67eV ，它能吸收的辐射的最大波长是1.85×10-6m 。

6． 放射性衰变的三种形式是γβα、、。

7． 光电效应中从铝中逸出一个电子最少需要 4.2eV

的能量，铝的红限波长为295.98 nm 。

8． 在布喇菲晶体点阵分类中，三维晶格的布喇菲胞

共有 14种。 .9。氢原子中的电子处于量子数为n =4，l =3的量子态，则该电子角动量L 的值为 12。

1、爱因斯坦狭义相对论的两条基本原理是

（1）狭义相对性原理：所有物理定律在一切惯性系中都具有形同的数学表达形式； （2）光速不变原理：光在真空中的传播速率在一切惯性系中都具有相同的值。

2、狭义相对论中动能不能用

22

1

mv 表示，应是

2

02c m mc E k -=

3、玻尔氢原子模型的三点假设是: 定态假设 、频率条件、角动量量子化假设。

4、一维无限深势阱模型的基本内容是阱壁势能无限

大，阱内为零或

()??

?≥≥∞<<=a

x x a x x V ,000

。（用文字表述、或用数学形式、或用图形表示均可）。

5、已知粒子在一维无限深势阱中的波函数为

(

)n x x a πψ=

()

0x a <<,则粒子的第一激

发态在

1

6x a

=处出现的概率密度为a 23

。

6、在NaCl 晶体中，每一个离子周围有6个最近邻异

（同，异）性离子，最近邻原子间距为12a

。（设

NaCl 晶体其立方边长为a ）

7、固体中3p 能带可容纳6N 个电子。（N 个原子组成

的固体）

8、本征半导体的本征载流子为电子、空穴对,在本征半导体中掺入3+价元素,可变为P 型半导体, 在P 型半导体中，空穴是多子（多子，少子）。

9、电介质的极化有两种,一是无极分子的电子位移极化，二是有极分子的取向极化

10、已知Ra

226

88

的半衰期为1200年，则衰变常量λ为

111.83110s -?。

1、普朗克量子假设的内容为

1,2,3

nh n εν==。

2、在某金属的光电效应实验中，测得如图1所示

曲线，则该金属的红限频

率ν0=14

510Hz ?，逸出功A 0=2.07eV eV. 3、频率为ν的光

子的静

止质量为0，能量为h

ν，动量为hc

λ。 4、晶体中粒子结合力的形式有离子键、共价键、金

属键、范德瓦尔斯键。

5、在主量子数n=4的量子态中，角量子数 l 的可能取值有0，1，2，3。

6、固体能带论中价带是指价电子分裂形成的能带。

7、自由粒子一维含时薛定谔方程的数学形式为：

2222x m t i ??-

=??ψψ

8、N 型半导体中的多子是电子，是由杂质产生的。 9、玻尔氢原子模型的三点假设是：定态假设、频率假设、角动量量子化条件

10、电介质中无极分子的极化机理是：无极分子位移极化

2、不确定性关系的数学表达式是

2

x x p ???

≥

.

3、波函数应满足的标准化条件有单值，有限，连续.

4、一维力场中定态薛定谔方程的形式是

2

22

()2d V x E m dx ψ

ψψ

-

+=.

5、氢原子中电子的能量量子化公式是422018n me E h n ε=-

1,2,3

n =

.6、产生激光的两对基本矛盾是受激辐射与受激吸收

的矛盾；受激辐射与自发辐射的矛盾

7、立方晶系包括简单立方；面心立方；体心立方． 8、内建电场的作用是阻碍多子的扩散，促进少子的漂移（阻碍或促进）．

9、根据物质的磁性，可将物质分为抗磁性物质；顺磁性物质；铁磁性物质

10、用α粒子打击94Be 产生126C 并放出一个新粒子，

写出核反应方程49121

2

460He +Be C +n

→

.1。一静止长度为l 0的火箭（可看作S ’系）以恒定速度u 相对参考系S 运动，某时刻从火箭头部A 发出一光信号。(1)对火箭上的观察者，求光信号从火箭头部A 到达火箭尾部B 所需的时间？（2）对S 系中的观察者，求光信号从火箭头部A 到达火箭尾部B 所需的时间？ 解：（1）

c

l t 0

'=

?

（2）按照洛仑兹正变换的形式：

2()

u x t t c γ

'

?'?=

?+，将其中各量带入，

有c l u c u c l c u

c l t 0

020))((+-=

-+=?γ

2、在氦氖激光器中，从氖的5s 到3p 能级跃迁时辐射

632.8nm 的激光，已知将氖原子从基态激发到3p 能级

需吸收18.8eV 的能量，求将氖原子从基态激发到5s

能级需要多大的抽运能量？

解：氖原子从5s 到3p 辐射的能量为

1.96eV

J 1014.3108.63210310

63.6199

834

=?=???===--λ

νc

h

h E

抽运能量为

20.8eV 1.968.18=+=E

3、设粒子在一维无限深势阱中运动，波函数为； 求粒子在第一激发态（n=2）中，几率最大的位置。 （1）写出密度函数；（2）求几率最大的位置。

解：在无限深方势阱中粒子的第一激发态（2n

=）的波函数为

2())0x x x a

a

π

ψ=

<<

（1）则其概率密度分布函数为222()sin ()w x x a a πψψ*==

（2）概率最大的地方满足

2822

s i n ()c o s (

)0

dw x x dx a a

a

ππ

π==

可以求出30,

,,,424a a a x a =都是极值点，但只有

在

4a x =

和34a

x =时，几率密度最大。

4、一电子与光子的波长都为0.2nm ，不考虑相对论效应，他们的动量和能量各为多少？

解：由德布罗意关系知道，不论电子还是光子，其动量都是

34

9

2416.626100.2103.31310()electron photon h

p p kg m S λ----?===

?=???但是光

子的能量为

248

1633.313103109.93910() 6.21210()pc J eV ε--==???=?=?

而

电子的能量为

2242

31

18(3.31310)229.1106.03110() 3.76910()p E m J eV ---?=

=??=?=?

5、一维原子链，链上原子等间距分布，最近邻原子间的力常数相间地为β和10β，各原子质量相等为m 。 (1)画出一维单原子链模型图（要求表示出原子位移及力常数）；

（2）写出第2n 个原子的振动方程 解：（1）

（2）

1、均匀矩形薄板，静止时测得长和宽分别为a 0, b 0, 质量为m 0,若沿其长度方向以v=0.8c 的速度相对地面运动，则地面上观察者测得

（1）长变为多少？（2）宽变为多少？（3）质量变

为多少？ 解：（1

）0

0.6a a a a ===

（2）

b b =

（3

）0

5

3m a =

=

=

2、设粒子在一维无限深势阱中运动，波函数

()x a n a x π

ψs in 2=

，a x <<

0，若该粒子处

于第一激发态，则

（1）n 的取值为多少？ （2）求粒子的概率分布函

数 （3）求粒子在第一激发态中概率最大的位置。 解：（1） 2 （2）()x a a x a n a x π

πψ2sin 2sin 22

22

==

（3）

()

2

=dx

x d ψ

04s i n 42=x a a π

π

ππ

k x a

=4且a x ≤≤0?

a

a

a a x ,43,2,4,0=

()[

]0

2

2

2

x d ψ，可得

4

a x =

，

4

3a x =

4、已知硅晶体的禁带宽度eV 2.1=?E ，掺入适量5价元素后，施主能级和导带底的能量差

eV 045.0=?D E ，试计算能吸收的辐射能的最大波

长。（1）导出波长计算公式

（2）代入相应数据计算（34

6.6310

h J s -=?，

s /m 1038?=C ，J 19106.1eV 1-?=）

解

：

(1)

E

hc

E h ?=

??=λν (2)

m E hc 519

8

341076.2106.1045.01031063.6---?=?????=?=λ

5、

Th

23290

的原子质量为u 03821.232求：(1) 计算

原子核的总结合能B E 。

(2) 计算原子核的平均结合能（比结合能）。

解：（1

）

2

B mc E ?=()MeV m m m c 52.1765]9023290[2

Th n H =--+= （2）

A

E B

=

ε7.61MeV =

. 4、已知硅的禁带宽度为1eV 1.，计算硅能吸收的辐射能的最大波长。

解：

348

6.6331010 1.13um

191.1 1.610D hc E λ-???=

==-???

1。一维原子链中原子等距离分布，相距为a, 原子质量为m, 若1β第2n 个原子与第2n+1个原子之间的力

常数，

2β是第2n 个原子与2n-1个原子之间的力常数，设第2n-1， 2n ， 2n+1个原子偏离平衡位置的位移分

别为

21

n u -，

2n

u ，

21

n u +

求（1）第2n-1个原子对第2n 个原子的作用力大小。（2）第2n+1个原子对第2n 个原子的作用力大小（3）第2n 个原子受到的合力。（4）第2n 个原子的振动方程。 解：（1）

()2221n n F u u β-=--左 （2）

()1212n n F u u β+=-右

（3）121122221()n n n F u u u ββββ+-=-++合

（4）

()()12222121222-+---=n n n n n

u u u u dt u d m

ββ

2、有温度不同的两个黑体, 已知

93K 21=T ,K T 321046.4?=,用斯特藩-玻尔

)

(2121n n u u f -=+β右)

(1222--=n n u u f β左][][d d 122221212

22

-+---=n n n n n

u u u u t u m

ββ

兹曼定律求两黑体向空间辐射能量（总辐出度）之比。（1）写出斯特藩-玻尔兹曼定律；（2）完成计算 解;（1）

()4

T T M σ= （2）

()()

4

4

324211 4.4610 5.3710

293M T T M T T ?????===? ? ?????

3、某人测得一静止棒长为0l , 质量为

m ，假设该棒

以0.6v c =的速度沿棒长方向相对于此人运动，

则此人再测得（1）棒的长度为多少？（2）棒的质量为多少？

解：（1

）000.8l l l == （2

）

00/ 1.25m m m ==

5、 波长为m 10

01000.1-?=λ的光子与一静止的自

由电子作弹性碰撞（康普顿散射）,在与入射角成0

90

方向上观察 ，问该方向上散射波波长的改变量λ?为多少 解：

()m c m h

12001043.2cos 1-?=-=

-=?θλλλ 1.

设粒子在一维空间运动，它的状态可以用波函数

0(/2,/2)(,)exp()cos()(/2/2)

x b x b x t i x

A Et b x b b ψπ≤-≥??

=?--<

来描述。

式中，A 为任意常数，E 和b 均为确定的常数。试求：

（1） 归一化的波函数；(2)概率密度w ；（3） 粒

子出现在何处概率最大．

解：（1）在一维空间里归一化条件为

2

(,)1

x t dx ψ∞

-∞

=?

亦即

2

2

2

2

2

2

2

(,)(,)(,)1

b b b b x t dx x t dx x t dx ψψψ-∞

-∞

-++=?

??

代入已知的(,)x t ψ表达式，得

22exp()cos()exp()cos()1b b i

x i x

A Et Et dx b b ππ--=?

即

2222

cos (

)1

b b x

A

dx b

π-=?

2

12b A =所以

A =则归一化波函数为

(/2,/2)(,))cos()(/2/2)

x b x b x t i x

Et b x b b ψπ≤-≥?=--<<

（2）概率密度w 为

2

20

(/2,/2)(,)(,)cos ()(/2/2)2

x b x b w x t x t b x

b x b b ψπ≤-≥??

==?-<

22(cos ())0d x

dx b b π=

求得在0x =处找到粒子的概率最大。 2、 氢原子中的电子处于4,3n l ==的状态。问：

(1)电子轨道角动量L 的值为多少？（2） 这角动量L 在z 轴上的分量有哪些可能值？

解：（1）电子绕核运动的角动量数值

L =

=（2）轨道角动量在轴z 的分量

2m h L m

π

=

0,1,2, 3.m =±±±

则

m

L 可能的取值为

30,,,.22h h h

πππ±

±±

3、 设某双原子分子的两原子间相互作用能由

210()A B

u r r r =-

+

表示，原子间的平衡距离为3A o ，

分子结合能为4eV （以D 表示），试计算A 和B 。 解

：

按

题

意

10190310,4 1.610r m D J

--=?=??021000

()A B

u r D r r =-

+=- （1）

031100

()210(

)0r u r A B

r r r ?=-=? （2）

由（2）式得

801

5B Ar =

（3）

将式（3）代入式（1），可解得 39

27210

A J m -=??

115109410B J m -=??

4、一维原子链，链上原子等间距分布，相距为a ，最近邻原子之间的力常数相间地等于β和10β，设各原子质量相等，写出原子(2)n 和(21)n +的振动方程。 解：第2n 个原子受力为

1212222121222121221()()

10()()(1011)n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u βββββ+-+-+----=---=-+

第21n +个原子受力为

222211212222121222212()()

()10()(1110)n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u βββββ++++++++---=---=-+

于是运动方程为

2

2212212(1011)

n

n n n d u m u u u dt β+-=-+ 221

222122(1110)

n n n n d u m u u u dt β+++=-+ 5、已知硅晶体的禁带宽度 1.2eV E ?=，掺入适量5价元素后，施主能级和导带底的能量差0.045e

D E ?=，试计算能吸收的辐射能的最大波

长。 解：由

c

E h

λ?=，得

834

5max

19310 6.6310 2.761027.60.045 1.610ch m m m E λμ---???===?=???

三、应用题

1．1932年，科可洛夫赫瓦尔顿用加速后的质子轰击

锂（

Li

7

3）原子发生裂变反应，产生了两个完全相同

的粒子，并放出大量能量。 （1）写出此裂变反应式 （2）求反应放出的能量（单位取

Mev ）。（锂核（

Li

7

3）质量

7.016005u ，氦核(

He 4

2)

质量4.002603u ，质子(H 1

1)质量1.007825u ）

解：（1） Q He He Li H ++→+4

2427311 （2）质量亏损：

17.3MeV 2

=?=mc Q 1、用你所学过的相关知识分析激光产生的基本原理。 （1） 用图或文字描述原子发光的三个过程。(2)产生激光的过程是哪一个？如何突出该过程？ （2） 原子发光的三个过程： 解：（1）自发辐射、受激吸收、受激幅射

自发辐射： 1. 由高到低 2. 频率条件

3随机发生 受激幅射： 1. 入射光频率

2. 全同光子 频率.振动方向.相位均

相同 受激吸收： 1. 由低到高 2.入射光减弱

（2）产生激光的过程是哪一个？如何突出该过程？

受激幅射 1、 实现粒子数反转 2、 设计光学谐振腔

按以下题序，分析普通光源为何不发激光 1、原子发光的三个基本过程为自发辐射、受激吸收、受激辐射

2、三个基本过程中，产生激光的基本过程是受激辐射

3、产生激光的两个基本物理条件是(1)受激吸收与受激辐射的矛盾,受激吸收占主导

(2)自发辐射与受激辐射的矛盾,自发辐射占主导

1、N 型半导体硅中含有杂质磷(P)原子。在计算施主

能级时，作为初步近似，可看作一个电子围绕离子实

P +运动组成一个类氢原子，浸在无限大的硅电介质

中，已知硅的相对介电常数11.5r ε=，求这半导体的

施主能级D E (取*e

m m =)。 解：设电子绕P +

做匀速圆周运动，则有

22204r v e m r r πεε=

（1） 又设电子圆周运动的角动量满足量子化条件： ,

2h mvr n π= 1,2,3n = （2） 由式（1）、（2）可解得

2

202r n h r n me εεπ= （3）

0.0186u

4.0026u 2u )0078.1016.7(=?-+=?m 2

1

E E h ν-=2

1

E E h

ν-=21

E E h ν-=

电子能量

2

20124n n r n e E mv r πεε=-

由（1）式可得

2

20128n r n e mv r πεε=

所以

208n r n e E r πεε=-

将式（3）代入得

431194

2222212223420202

2119.110(1.610)88(8.8510)(11.5)(6.6310)1.64100.103eV n r me E J n h n J n n

εε-----???=-=-??????=-=- 通常电子处于基态，1n =，10.103eV

E =-。 所以施主能级

0.103eV

D E ?≈-。

四、综述题

按要求写出本学期学过的量子力学部分所满足的下列物理规律。

1． 光子满足的两个基本效应：（4分） 2.德布罗

意假设：

2． 自由粒子一维定态薛定谔方程：（3分）

解：1、光电效应、康普顿效应。

λγ

h

p h E =

=

2、一切实物粒子都具有波粒二象

0)()

(2)(2

2=ψ-+ψx V E m dx x d 、

1、从能带的角度分析金属、半导体和绝缘体的导电性能。

解： 金属的能带图：（4分） 特点：

（1) 价带未填满电子(Na) （2）价带与导带重叠(Mg )

半导体的能带图：（3分）

特点：(1)价带是满带，(2)禁带宽度较窄 绝缘体的能带图：（3分） 特点： （1）价带是满带 （2）禁带较宽

1、天然放射性衰变的现象、规律与描述 （1）、三种天然放射性衰变是指α衰变、β衰变、γ衰变。

（2）、三种衰变满足指数衰变规律的数学形式是指数衰变规律

t

e N N λ==0（3）、描述放射性衰变的4

个物理量（符号与名称）分别是衰变常量λ 放射性活度()t A 半衰期2

1

T 平均寿命τ

1、用加速后的质子

11(H)

轰击锂

73(Li)

原子引起核反

应，核反应的结果产生了两个能量相同的

α42(He)粒子。（1）写出核反应方程；（2）试计算反应能Q

解：（1）7144

3122Li +H He +He Q →+

(2) 质量亏损为：

(7.0160 1.0078)u 2 4.0026u 0.0186u

M ?=+-?= 反应能为：

0.0186931.5MeV =17.3MeV Q =?。