线性代数教案同济版

线性代数

课程教案

学院、部

系、所

授课教师

课程名称线性代数

课程学时45学时

实验学时

教材名称

年月日

线性代数课程教案

授课类型理论课授课时间 3 节

授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式

§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换

本授课单元教学目标或要求：

1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2. 知道n 阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法

设12n p p p L 是1,2,,n L 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ；再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……

最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ；则此排列的逆序数为12n t t t t =+++L 。

2. n 阶行列式

1212111212122212()12(1)n n n

t p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a =

=-∑L L L L M M M L

其中12n p p p L 为自然数1,2,,n L 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列

12()n p p p L 求和。

n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用

1112

112212212122

a a D a a a a a a ==-

1112

2122

2311223312233113213231

132231122133112332

a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---

重点和难点：理解行列式的定义

行列式的定义中应注意两点：

(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的

乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t

-，t 为排列12()n p p p L 的逆序数，

即当12n p p p L 是偶排列时，对应的项取正号；当12n p p p L 是奇排列时，对应的项取负号。

综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。

例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。

解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。

例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。

解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665

a a a a a a 是6阶行列式中的项。

324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不

是6阶行列式中的项。

例：计算行列式0001

002003004000

D =

解：0123

(1)123424D +++=-???=

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。

通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数课程教案

授课类型理论课授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式

§5 行列式的性质

§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则

本授课单元教学目标或要求： 1．知道n 阶行列式的性质。

2．知道代数余子式的定义和性质。

3．会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n 阶行列式。 4．知道克拉默法则。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：

1. 行列式的性质

(1) 行列式D 与它的转置行列式T

D 相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。

(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式；或者行列式的

某一行（列）的各元素有公因子k ，则k 可提到行列式记号之外。

(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。

(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列

式的值不变。

2. 行列式的按行（列）展开

(1) 把n 阶行列式中(,)i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后所成的1n -阶行列式称为(,)i j 元ij a 的

余子式，记作ij M ；记(1)

i j

ij ij A M +=-，则称ij A 为(,)i j 元ij a 的代数余子式。

(2) n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第

i 行展开：

1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=L L ；

或可以按第j 列展开：

1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=L L .

(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

11220,i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L ，

或

11220,i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠L .

3. 克拉默法则

含有n 个未知元12,,n x x x L 的n 个线性方程的方程组

1111221121122222

1122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

??+++=?L L L L L L L L L L L L L L L

当12,,,n b b b L 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。

(1) 如果方程组的系数行列式0D ≠，那么它有唯一解：(1,2,,)i

i D x i n D

=L ，其中(1,2,,)i D i n =L 是把D 中第i 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n 阶行列

式。

(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式0D =。

(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零

解，那么它的系数行列式必定等于零。

用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。

克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

4. 一些常用的行列式

(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即

12111

2222122

112212n n nn nn

n n nn

a a a a a a a a D a a a a a a a =

==L L

L O M M M O L

特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即11

1122nn nn

a a D a a a a =

=L O

类似地，1(1)

2,1

12,111

(1)

n n n n n n n a a D a a a a ---=

=-L N .

(2) 设11111k k kk

a a D a a =L

M L

，11121n

n nn

b b D b b =L M

M L

，则

111112*********k k kk k n n nk

n nn

a a a a D D D c c

b b

c c b b =

=L M M L L L M M M M L

(3) 范德蒙（Vandermonde ）行列式

2212121

1112

111(,,)()n n n n i j n i j n n n n

x x x V x x x x x x x x x x x ≥>≥---==-∏L L L L M M M L

计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。

重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。

例：课本P.12例7—例9

例：课本P.21例13

例：课本P.25例16

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。

本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题

问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？

答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

§5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5) §6 P.26 5 (4)，7 (3) (6) §7 P.28 8(1)，9

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数课程教案

授课类型理论课授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第二章矩阵及其运算 §1 矩阵 §2 矩阵运算 §3 逆矩阵 §4 矩阵分块法本授课单元教学目标或要求：

掌握矩阵的定义,矩阵的加减法\数乘\转置\矩阵求逆\矩阵的行列式\分块矩阵等运算,了解矩阵

多项式运算

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成,第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲: §3逆矩阵;第三讲: §4矩阵分块法

第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算; 基本内容:§1 矩阵:

一矩阵的定义,

定义1 由M ×N 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的数表

m m n n a a a a a a a a a Λ

M M

M Λ

Λ21

2222111211

称为m 行n 列矩阵,简称M ×N 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作

?????

???mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M ΛΛ2122221

11211 这M ×N 个数称为菊阵A 的元素,简称为元,数ij a 位于矩阵A 的第i 行j 列,称为矩阵A 的(I,J)元,以数ij a 为(I,J)元的矩阵可简记为)(ij a 或n m ij a ?)(,M ×N 矩阵A 也记着n m A ?.

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

行数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵, n 阶矩阵A 也记作n A . 只有一行的矩阵

)(21

n a a a A Λ

称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作

),,,(21n a a a A Λ=

只有一列的矩阵

????

? ??=n b b b A M 21

称为列矩阵,又称为列向量.

两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=)(ij a ,B=)(ij b 是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即

n j m i b a ij ij ΛΛ,2,1,,,2,1(===),

那么就称矩阵A 与矩阵B 相等,级作

A=B

元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.

§2 矩阵的运算

一矩阵的加法

定义2 设有两个n m ?矩阵A=)(ij a 和B=)(ij b ,那么矩阵A 与B 的和记着A+B,规定为

???

???+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a Λ

M M

M Λ

Λ221

12222

2221

211112121111

两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.

矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C 都是n m ?矩阵): (i ) A+B=B+A;

(ii )(A+B)+C=A+(B+C)

A=)(ij a 的负矩阵记为 -A=)(ij a -

A+(-A)=O 规定矩阵的减法为

A-B=A+(-B)

二矩阵的数乘

定义3 数λ与矩阵A 的乘积记作A λ或λA ,规定为

???

???????=mn m m n n a a a a a a a a a A λλλλλλλλλλΛ

M M M Λ

Λ21

22221

11211

矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B 为n m ?矩阵,μλ,为数): (1) )()(A A μλλμ=; (2) A A A μλμλ+=+)( (3)

B A B A λλλ+=+)(

重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵

的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.

三矩阵乘矩阵

定义4 设A=(ij a )是一个s m ?矩阵,B=(ij b )是一个n s ?矩阵,那么矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ?矩阵C=(ij c ),其中

)

,,2,1;,,2,1(1

2211n j m i b a b a b a b a c s

k kj

ik sj is j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=

把此乘积记为 C=AB 且有

=????

? ??sj j j is i i b b b a a a M Λ2121),,,(ij s

k kj ik sj is j i j i c b a b a b a b a ==+++∑=12211Λ

例4 求矩阵

A=???? ??-20121301与????

?-=4311102

311

4B 的乘积

解 C=AB=?

??-20121301?????

? ?

?-431110231

1014=???

??--1199129

例5 求矩阵

A=???

??--2142与B=???? ??--6342

的乘积AB 与BA

解 AB=?

??--2142???? ??--6342=???

? ??--1683216 BA=?

???

??--6342

???? ??--2142=???

? ??0000AB ≠ 对于两个n 阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A 与B 可交换

从上面等式可以得出结论:若O A ≠而0)(=-Y X A 也不能得出X=Y 的结论矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律

(1) (AB)C=A(BC)

(2)

λλλλ)()()(B A B A AB ==为数

(3) A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

对于单位矩阵E,有

n m n n m n m n m m A E A A A E ????==, 即:

EA=AE=A

特殊矩阵: 1 单位矩阵;

E=???????

?100010

001ΛΛΛΛΛΛΛ 2 数量矩阵

=E λ??????

?λλλ

ΛΛΛΛΛ

Λ0

000

00 3 对角矩阵

????

?nn a a a Λ

ΛΛΛΛΛΛ0000

002211 4 ;三角矩阵

???????

?nn n n a a a a a a Λ

ΛΛΛΛΛ0000

22211211或????

??nn n n a a a a a a Λ

ΛΛΛΛΛ

2221

000 可以得到:

)()(n n n n n E A A A E λλλ== 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换

定义矩阵的幂为

kl l k l k l

k A A A A A A A A A A ====+)(,,,1

其中k 为正整数

例6 证明

???

??-=???? ?

?-??????

??n n n n n

cos sin sin cos cos sin sin cos 证用数学归纳法,1=n 时显然成立,设n =k 时成立,即 ???

??-=???? ??-??

????k k k k k

cos sin sin cos cos sin sin cos 当1+=k n 时,有

???? ??-=???? ??-+????????k k k k k cos sin sin cos cos sin sin cos 1????

??-????cos sin sin cos

=????

??-+---????????????????sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos k k k k k k k k

=???

??+++-+????)1cos()1sin()1sin()1cos(k k k k

等式得证.

四矩阵的转置

定义5 把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T

?????

?????mn m m n n a a a a a a a a a Λ

M M M ΛΛ212222111211.则=T A ?????

??????mn n n m m a a a a a a a a a ΛM M M ΛΛ

212221212111 A 的转置也是一种运算,满足 (1) A A T

=)(

(2) T

T T B A B A +=+)( (3) T

A A λλ=)(

(4) (AB)T

T T A B =

证明(4) 设s m ij a A ?=)(,B=n s ij b ?)(,记m n ij T

T n m ij d D A B c C AB ??====)(,)(,有

∑==

k ki jk

ji b a

c 1

而T B 的第i 行为),,,(21si i i b b b Λ,T

A 的第j 列为T js j a a ),,(1Λ,因此

线性代数教案 同济版

线性代数教案同济版