均值不等式应用技巧
均值不等式应用(技巧)
一.均值不等式
1、(1)若R b a ∈,,则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,,则2
2
2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)
2、 (1)若*
,R b a ∈,则
ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*
,R b a ∈,则2
2??
? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3、若0x >,则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”) 3、若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4、若R b a ∈,,则2
)2(2
22b a b a +≤
+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的与的最小值,当两个正数的与为定植时,可以求它们的积的最小值,
正所谓“积定与最小,与定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域
(1)y ＝3x 2
＋12x 2 (2)y ＝x ＋1x
解:(1)y ＝3x 2＋
1
2x
2 ≥23x 2
·12x
2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)
(2)当x ＞0时,y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2; 当x ＜0时, y ＝x ＋1x = －(－ x －1
x )≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为(－∞,－2]∪[2,+∞)
解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5
4x <
,求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1
(42)45
x x --g 不就是常数,所以对42x -要进行拆、凑项,
5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1、 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由
知,
,利用均值不等式求最值,必须与为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,
但其与不就是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当
,即x ＝2时取等号 当x ＝2时,(82)y x x =-的最大值为8。
评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到与为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2
3
0<
=??
? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即??
?
??∈=
23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离
例3、 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解析一:本题瞧似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x ＋1)的项,再将其分离。
当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+?
+=+（(当且仅当x ＝1时取“＝”号)。 技巧四:换元
解析二:本题瞧似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x ＋1,化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当
,即t=
时,4
59y t t
≥?
=(当t=2即x ＝1时取“＝”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =+
+>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。 例:求函数2
y =
的值域。
解:(2)t t =≥,则2
y =1
(2)t t t =
=+≥
因1
0,1t t t >?=,但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52
y ≥。 所以,所求函数的值域为5,2??+∞????
。
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值、
(1)231
,(0)x x y x x ++=
> (2)12,33
y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2.已知01x <<,求函数y ;
3.2
03
x <<
,求函数y = 条件求最值
1、若实数满足2=+b a ,则b
a
33+的最小值就是 、
分析:“与”到“积”就是一个缩小的过程,而且b
a
33?定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: b
a
33和都就是正数,b
a
33+≥632332==?+b a b a
当b a 33=时等号成立,由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时,b
a 33+的最小值就是6.
变式:若44log log 2x y +=,求11
x y
+的最小值、并求x,y 的值
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 2:已知0,0x y >>,且
19
1x y
+=,求x y +的最小值。
错解．．
:Q 0,0x y >>,且191x y +=,∴()1912x y x y x y ??
+=++≥ ???
故 ()min 12x y += 。
错因:解法中两次连用均值不等式,在x y +≥x y =,在19x
y
+≥是
19
x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件
就是解题的必要步骤,而且就是检验转换就是否有误的一种方法。
正解:19
0,0,1x y x y >>+=Q ,()1991061016y x x y x y x y x y
??∴+=++=++≥+= ???
当且仅当
9y x x y
=时,上式等号成立,又191x y +=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。
变式: (1)若+
∈R y x ,且12=+
y x ,求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ,求y x +
的最小值
技巧七、已知x,y 为正实数,且x 2
＋y 2
2 ＝1,求x 1＋y 2
的最大值、
分析:因条件与结论分别就是二次与一次,故采用公式ab ≤a 2
＋b
2
2 。
同时还应化简1＋y 2
中y 2
前面的系数为 12
,x 1＋y 2
＝x
2·1＋y 2
2
＝ 2 x ·
12 ＋y 2
2
下面将x,
12 ＋y
2
2
分别瞧成两个因式: x ·
12 ＋y
2
2
≤x 2
＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2
＋y 2
2 ＋12 2 ＝34
即x 1＋y 2
＝ 2 ·x
12 ＋y 2
2 ≤ 3
4
2 技巧八:已知a,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝
1
ab
的最小值、 分析:这就是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一就是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径就是可行的;二就是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有与的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:a ＝30－2b b ＋1 , ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2
＋30b
b ＋1
由a ＞0得,0＜b ＜15
令t ＝b+1,1＜t ＜16,ab ＝－2t 2
＋34t －31t ＝－2(t ＋16t )＋34∵t ＋16
t ≥2
t ·16
t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18 当且仅当t ＝4,即b ＝3,a ＝6时,等号成立。
法二:由已知得:30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥2 2 ab ∴ 30－ab ≥2 2 ab 令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0, －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ,ab ≤18,∴y ≥118
点评:①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式230
ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围,关键就是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式