2021-2022学年河北省唐山市度高三年级第一学期期末考试(含答案解析)

2021-2022学年河北省唐山市度高三年级第一学期期末考试

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合A={x|x2−x−6≤0}，B={x|y=√x−1}，则A⋂B=()

A. [1,2]

B. [1,3]

C. [0,2]

D. [0,3]

2.函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是()

A. f(x)+g(x)为奇函数

B. f(x)+g(x)为偶函数

C. f(x)g(x)为奇函数

D. f(x)g(x)为偶函数

3.为了得到函数y=sin2x的图像，只需把函数y=sin(2x+π

2

)的图像()

A. 向左平移π

2个单位 B. 向右平移π

2

个单位

C. 向左平移π

4个单位 D. 向右平移π

4

个单位

4.六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共

有()

A. 15种

B. 90种

C. 540种

D. 720种

5.传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们将1，3，6，10，

15，…，n(n+1)

2

，…，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…，n2，…，称为正方形数。现从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为()

A. 1

5B. 1

10

C. 1

13

D. 2

13

6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)是C上两点，若y22−2y12=4，则|AF|

|BF|

=()

A. 1

2B. √2

2

C. √2

D. 2

7.设a=log23，b=log34，c=log48，则()

A. b

B. c

C. a

D. a

8.已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为()

A. 3π

B. 4π

C. 6π

D. 9π

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知复数z=a+bi(a,b∈R且b≠0)，z是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是()

A. z+z∈R

B. z−z∈R

C. z⋅z∈R

D. z

z

∈R

10. 圆M:x 2+y 2+2x −4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称，记点P (a,b )，下列结论正确的

是( )

A. 点P 的轨迹方程为x −y −3=0

B. 以PM 为直径的圆过定点Q (2,−1)

C. |PM |的最小值为6

D. 若直线PA 与圆M 切于点A ，则|PA |≥4

11. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合

检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为k +1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p (0

A. 0.4

B. 0.3

C. 0.2

D. 0.1

12. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为AB 的中点，将▵AED

沿DE 所在的直线翻折，使A 与A′重合，得到四棱锥．．．A′−BCDE ，则在翻折的过程中( )

A. DE ⊥AA′

B. 存在某个位置，使得A′E ⊥CD

C. 存在某个位置，使得A′B//DE

D. 存在某个位置，使四棱锥A′−BCDE 的体积为1

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 等差数列{a n }的公差为2，若a 3，a 5，a 8成等比数列，则a 1=__________． 14. ▵ABC 中，D 为BC 的中点，BC =4，AD =3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =__________． 15. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为__________．

16. 已知函数f (x )=x 3−ax (a >0)，b ，c 分别是f (x )的极大值点与极小值点，若d >b 且f (d )=f (b )，

则d

c =__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 记▵ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinA +(b −a )sinB =csinC ．

(1)求角C；

(2)求a+b

的取值范围．

c

18. 已知S n是数列{a n}的前n项和，2S n=(n+1)a n，且a1=1．

}为常数列；

(1)证明：{a n

n

(2)若b n=a n⋅2n

，求数列{b n}的前n项和T n．

a n+1⋅a n+2

19. 如图，四棱锥A−OBCD的底面是矩形，AO⊥BC，侧面AOD⊥底面OBCD．

(1)求证：AO⊥底面OBCD；

(2)若OB=OD=1，二面角B−AC−D的大小为120°，求四棱锥A−OBCD的体积．

20. 某统计部门依据《中国统计年鉴一2017》提供的数据，对我国1997一2016年的国内生产总值

(GDP)进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997一2016年我国的国内生产总值(GDP)，图2表示2007一2016年我国的国内生产总值(GDP)．

(1)用r i (i =1,2)表示第i 张图中的年份与GDP 的线性相关系数，r i ∈{0.9647,0.9980}，依据散点图的特征分别写出r i 的结果；

(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数R 2的数值，部分结果如下表所示：

年份 1997一2016 2007一2016

线性回归模型 0.9306

指数回归模型

0.9899

0.978

①将上表中的数据补充完整(结果保留3位小数，直接写在答题卡上)；

②若估计2017年的GDP ，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，

2020年的GDP 能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP 刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明．

21. 已知圆O:x 2+y 2=4，点M 是圆O 上任意一点，M 在x 轴上的射影为N ，点P 满足NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32

NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，记点P 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；

(2)已知F (1,0)，过F 的直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，过F 且与m 垂直的直线n 与圆O 交于C ，D 两点，求|AB |+|CD |的取值范围．

22. 过点P(a,b)可以作出曲线y=lnx的两条切线，切点分别为A，B两点．

(1)证明：0

(2)线段AB的中点M的横坐标为x0，比较x0与a的大小关系．

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题主要考查交集及其运算，属于基础题．

分别化简集合A、B，再求交集即可．

解：A={x|x2−x−6⩽0},A=[−2,3]，

B={x|y=√x−1}，B=[1,+∞),

所以A∩B=[1,3]．

2.答案：C

解析：

本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．

令G(x)=f(x)+g(x)，F(x)=f(x)g(x)，求出G(−x)，F(−x)比较得结果，从而得出结论．解：∵f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，

∴f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)．

令G(x)=f(x)+g(x)

则G(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)，

∴G(−x)不一定与G(x)或−G(x)相等，故A、B错误．

令F(x)=f(x)g(x)，

则F(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F(x)，

∴F(x)=f(x)g(x)为奇函数，故C正确，D错误；

故选：C．

3.答案：D

解析：

本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于基础题．

先把整理为，再根据图象平移规律即可得到结论，(注意平移的是自变量本身，须提系数)．

解：因为：，

根据函数图象的平移规律可得：

须把函数向右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．

4.答案：B

解析：

本题考查分步乘法计数原理，组合及组合数，属于基础题．

利用分步乘法计数原理，结合组合知识求解即可．

解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C62=15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C42=6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到张家口参加活动，有C22=1种方法，

由分步乘法计数原理得共有15×6×1=90种安排方式．

5.答案：D

解析：

本题考查古典概型计算事件概率，属于基础题．

由已知列出从小于100的个整数中所有的三角形数和正方形数，由古典概型的概率公式计算即可得出结果．

解：由题意可得，从小于100的整数中，所有的三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，共13个，从小于100的整数中，所有的正方形数依次为1,4,9,16,25,36,49,64,81，共9个，

所以从小于100的整数中，既是三角形数又是正方形数的为：1,36，共2个．

所以从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为P=2

．

13

6.答案：A

解析：

本题考查抛物线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．利用抛物线定义，结合已知条件转化求解所求的表达式的值即可．

解：∵抛物线C:y2=4x的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)是C上两点，

∴|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，

又y22−2y12=4，∴y22=2y12+4，

∴|AF|

|BF|=x1+1

x2+1

=

y12

4

+1

y22

4

+1

=y12+4

y22+4

=y12+4

2y12+8

=1

2

．

故选：A．

7.答案：A

解析：

本题考查比较大小，涉及对数与对数运算，对数函数及其性质，属于基础题．利用对数的运算和对数函数的性质可得结论．

解：因为log23−1=log23

2>log24

3

>log34

3

=log34−1，

所以有log23>log34>1,则a>b，

又因为log48=1

2

log28=log2√8c，

又因为log34<3

2=3

2

log33=log3√27，则c>b，

所以b

8.答案：B

解析：