2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析

2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}

2

|320M x x x =-+≤，{

}

|N x y x a ==

-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(,1]-∞

B ．(,1)-∞

C ．(1,)+∞

D ．[1,)+∞

2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）

A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-

B ．(3)-

C ．(3,1)-

D ．(1,3)-

4．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫

=-- ⎪⎝

⎭

在区间,2ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增

B ．单调递减

C ．先递减后递增

D ．先递增后递减

5．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）

A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．

B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．

C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．

6．若6

2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20

B ．15

C ．10

D ．25

7．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题

8．复数1i i

+=（ ） A ．2i - B ．

1

2

i C ．0 D ．2i

9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．

14

B ．

15

C ．

25

D ．

35

10．已知复数21ai

bi i

-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+

B ．1

C ．5

D ．5

11．已知0.2

12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，120.2b -=，

13

log 2c =，则( )

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．b c a >>

D ．a c b >>

12．已知圆2

2

4210x y x y +-++=关于双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．5

B ．5

C ．52

D ．

54

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高

MN =__________m ．

14．曲线21ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭在(1,0)处的切线方程是_________．

15．过抛物线C ：2

2y px =（0p >）的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N

且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若

3

3

MN =

，则l 的斜率为______. 16．已知函数()1x

f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）记抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,D E 在抛物线C 上，且直线DE 的斜率为1，当直线DE 过点F 时，||4DE =. （1）求抛物线C 的方程；

（2）若(2,2)G ，直线DO 与EG 交于点H ，0+=DI EI ，求直线HI 的斜率.

18．（12分）一张边长为2m 的正方形薄铝板ABCD （图甲），点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE CF x ==（单位：m ）.现将该薄铝板沿EF 裁开，再将DAE ∆沿DE 折叠，DCF ∆沿DF 折叠，使DA ，DC 重合，且,A C 重合于点M ，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF -（图乙），记该容器的容积为V （单位：3m ），（注：薄铝板的厚度忽略不计）

（1）若裁开的三角形薄铝板EFB 恰好是该容器的盖，求x ，V 的值； （2）试确定x 的值，使得无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.

19．（12分）已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-. （1）求22a b +的最小值；

（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(

)22

()4f x a b

≤+，求实数x 的取值范围.

20．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．

（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ． 21．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，

直线的参数方程为

（为参数）.直线与曲线交于，两点．

（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；

（II）设，若，，成等比数列，求的值．

22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“312

++”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：

序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况

1 134 11 236 21 156 31 235

2 235 12 234 22 235 32 236

3 235 13 145 23 245 33 235

4 14

5 14 135 24 235 34 135

5 15

6 15 236 25 256 35 156

6 245 16 236 26 156 36 236

7 256 17 156 27 134 37 156

8 235 18 236 28 235 38 134

9 235 19 145 29 246 39 235

10 236 20 235 30 156 40 245

（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.

附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

()

2

P K k

≥0.100 0.050 0.010 0.001

（3）某高校A 在其热门人文专业B 的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A 高校B 专业报名资格的人数为X ，用样本的频率估计概率，求X 的分布列与期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【解题分析】

解一元二次不等式化简集合M 的表示，求解函数y =N 的表示，根据M N M ⋂=可以得

到集合M 、N 之间的关系，结合数轴进行求解即可. 【题目详解】

{}{}

2|320|12M x x x x x =-+≤=≤≤，{{}||N x y x x a ===≥.

因为M N M ⋂=，所以有M N ⊆，因此有1a ≤. 故选：A 【题目点拨】

本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力. 2、D 【解题分析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【题目详解】

A 正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C 正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【题目点拨】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 3、B 【解题分析】

先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【题目详解】

()()0,2,3,1m n =-=

()23,3m n ∴+=-

(

)

(

)

31,33,33

-=-

-

故选B 【题目点拨】

本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 4、C 【解题分析】

先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫

⎛

⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【题目详解】 函数()sin cos 63f x x x ππ⎛

⎫

⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增.

故选：C

本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题. 5、C 【解题分析】

利用图表中的数据进行分析即可求解. 【题目详解】

对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确； 对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确； 对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误； 对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量1

4067.43815.5740001 6.6%

⨯≈<+，故D 正确.

故选：C. 【题目点拨】

本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题. 6、C 【解题分析】

通过二项式展开式的通项分析得到2266

6150C a x x =，即得解.

【题目详解】 由已知得()

6212316

6()r

r

r r r r

r a T C x C a x

x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭

， 故当2r

时，1236r -=，

于是有226

663150T C a x x ==，

则210a =. 故选：C 【题目点拨】

本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7、B 【解题分析】

由2x

y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解

由函数2x

y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得1

2

x =-，无解，

因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；

p q ∨为真命题，B 正确；

p q ∧为假命题，C 错误；

()p q ∧⌝为真命题，D 错误．

故选：B 【题目点拨】

本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 8、C

【解题分析】略 9、A 【解题分析】

由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【题目详解】

由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412. 则恰好第三次就停止摸球的概率为51204

p ==. 故选：A. 【题目点拨】

本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 10、D 【解题分析】 试题分析：由

21ai

bi i

-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则

12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+=

= D.

考点：1、复数的运算；2、复数的模.

11、B 【解题分析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【题目详解】

由于0.2

110122⎛⎫⎛⎫

<<= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

，

12

0.2

-

=

= 113

3

log 2log 10<=

故b a c >>. 故选：B. 【题目点拨】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题. 12、C 【解题分析】

将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，

.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.

再根据c e a ==.

【题目详解】

已知圆224210x y x y +-++=，

所以其标准方程为：()()2

2

214x y -++=，

所以圆心为()21-，

. 因为双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>，

所以其渐近线方程为b

y x a

=±

， 又因为圆22

4210x y

x y +-++=关于双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上，

所以

12

b a =.

所以c e a ===. 故选：C 【题目点拨】

本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【解题分析】

试题分析：在ABC 中，

45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,100

sin 45AC ∴=

=︒

AMC 中，

75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得

,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即sin 60AM =︒解

得AM =在Rt AMN 中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒

150()m =．

故答案为1．

考点：正弦定理的应用． 14、2(1)y x =- 【解题分析】

利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解. 【题目详解】 求导得22

112ln y x x x x x ⎛

⎫'=-

++ ⎪⎝

⎭， 所以(1)2y '=，所以切线方程为2(1)y x =- 故答案为：2(1)y x =- 【题目点拨】

本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题.

15 【解题分析】

分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，根据抛物线定义和3

3

MN AB =

求得MNN '∠，从而求得直线l 的倾斜角. 【题目详解】

分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，由抛物线的定义知AF AA '=，BF BB ='，

()1122NN AA BB AB '''=

+=，因为33MN AB =，所以32

NN MN '=，所以30MNN '∠=︒，即直线MN 的倾斜角为150︒，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60︒，3AB k =. 故答案为：3

【题目点拨】

此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目. 16、[1,)-+∞ 【解题分析】

求导得到()x

f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故

()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案。

【题目详解】

因为()1x f x e ax =+-，所以()x

f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+.

当10a +，即1a ≥-时，()0f x '

，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；

当10a +<，即1a <-时，因为()x

f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的

0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=.

令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意.综上，a 的取值范围是[1,)-+∞. 故答案为：[1,)-+∞. 【题目点拨】

本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）2

2y x =（2）0 【解题分析】

（1）根据题意，设直线:2

p DE y x =-

，与2:2(0)C y px p =>联立，得22

20y py p --=

，再由弦长公式，12||4=-=DE y 求解. （2）设22

1212,,,22y y D y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据直线DE 的斜率为1，则212

22121

2122y y y y y y -==+-，得到212y y +=，再由0DI EI +=，所以线段DE 中点I 的纵坐标为1I y =，然后直线DO 的方程1

2

y x y =

与直线EG 的方程22

(2)2

y x y =

-+ 联立解得交点H 的纵坐标1H y =，说明直线//HI x 轴，直线HI 的斜率为0. 【题目详解】 （1）依题意，,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，则直线:2p DE y x =-，

联立22,

,

2y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩

得22

20y py p --=；

设()()1122,,,D x y E x y ，

则

12||4DE y =-===，

解得1p =，故抛物线C 的方程为2

2y x =.

（2）22

1212,,,22y y D y E y ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 因为直线DE 的斜率为1，则2122

2121

2

122

y y y y y y -==+-，所以212y y +=， 因为0DI EI +=，所以线段DE 中点I 的纵坐标为1I y =.

直线DO 的方程为1

212

y y x y =

，即

1

2y x y = ① 直线EG 的方程为222

2

2(2)2

2

y y x y --=--，即22(2)2y x y =-+ ② 联立①②解得1,

21.

y x y ⎧

=⎪⎨⎪=⎩即点H 的纵坐标为1H y =，即直线//HI x 轴，

故直线HI 的斜率为0.

如果直线EG 的斜率不存在，结论也显然成立， 综上所述，直线HI 的斜率为0. 【题目点拨】

本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 18、（1）1x =，13

V =；（2）当x

1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大. 【解题分析】

（1）由已知求得1x =，求得三角形EBF 的面积，再由已知得到MD ⊥平面EMF ，代入三棱锥体积公式求V 的值； （2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==

，则)EF x =-，2

4(1)

cos x EMF x -∠=，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求． 【题目详解】

解：（1）由题意，EFB ∆为等腰直角三角形，又AE CF x ==， 2(02)BE BF x x ∴==-<<，

EFB ∆恰好是该零件的盖，1x ∴=，则12

EBF S ∆=

， 由图甲知，AD AE ⊥，CD AF ⊥， 则在图乙中，MD ME ⊥，MD MF ⊥，ME

MF M =，

又ME ，MF ⊂平面EMF ，MD ∴⊥平面EMF ，

11111233323

EMF EBF V S MD S MD ∆∴===⨯⨯=；

（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，

则)EF x =-，24(1)

cos x EMF x -∠=

， ∴221116(sin 122

EMF

x S x EMF x x ∆=∠=-

令242

1()()[16(1)]4

EMF f x S x x ∆==--，

32()8(1)(2)(24)f x x x x x x ∴'=--=-+-， 02x <<

，1x ∴．

可得：当1)x ∈时，()0f x '>，当1x ∈，2)时，()0f x '<，

∴

当1x =时，EMF S ∆有最大值．

由（1）知，MD ⊥平面EMF ，

∴该三棱锥容积的最大值为13

EMF V S MD ∆=，且2MD =．

∴当1x =时，()f x 取得最大值，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．

答：当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大． 【题目点拨】

本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．

19、（1）2；（2）7,33⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

.

【解题分析】

（1）化简(1)(1)a b b a -=-得11122a b +=，所以()2

22221122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭

，展开后利用基本不等式求最小值即可；

（2）由（1），原不等式可转化为|21||2|8x x ++-≤，讨论去绝对值即可求得x 的取值范围. 【题目详解】

（1）∵,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-， ∴2a b ab +=，∴

11

122a b

+=.

∴()2

2222222211122224b a b a a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++++

⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

1(2224≥+⨯=. 当且仅当2222b a a b

=且b a a b =即1a b ==时，()

22min

2a b

+=.

（2）由（1）知，(

)

22

min

2a b

+=，

对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(

)22

()4f x a b ≤+，

∴()8f x ≤，即|21||2|8x x ++-≤. ①当210x +<时，有2128x x ---+≤， 解得71

32

x -

≤<-； ②当210x +≥，20x -≤时，有2128x x +-+≤， 解得1

22

x -

≤≤； ③当20x ->时，有2128x x ++-≤， 解得23x <≤； 综上，7

33

x -

≤≤， ∴实数x 的取值范围是7,33

⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

. 【题目点拨】

本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式，考查学生的分类思想和计算能力，属于中档题. 20、（1）见解析（2）见解析 【解题分析】

（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE ，利用三角形中位线可得AP ∥OE ，从而可证AP ∥平面EBD ； （2）先证明BD ⊥平面PCD ，再证明PC ⊥平面BDE ，从而可证BE ⊥PC ． 【题目详解】

证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE 因为四边形ABCD 为平行四边形 ∴O 为AC 中点，

又E为PC中点，

故AP∥OE，

又AP⊄平面EBD，OE⊂平面EBD

所以AP∥平面EBD；

（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点

所以PC⊥DE

因为平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD平面ABCD＝CD，

又BD⊂平面ABCD，BD⊥CD

∴BD⊥平面PCD

又PC⊂平面PCD，故PC⊥BD

又BD DE＝D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE

故PC⊥平面BDE

又BE⊂平面BDE，

所以BE⊥PC．

【题目点拨】

本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.

21、（I），；（II）.

【解题分析】

（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.

【题目详解】

（I）曲线：，两边同时乘以

可得，化简得）；

直线的参数方程为（为参数），可得

x-y=-1，得x-y+1=0；

（II）将（为参数）代入并整理得

韦达定理：

由题意得即

可得

即

解得

【题目点拨】

本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.

22、（1）不需调整（2）列联表见解析；有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解题分析】

（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样

本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为

12

0.3

40

p==．用频率估计概率，则

~(3,0.3)

X B，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．

【题目详解】

（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．

（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：

选物理不选物理合计

选化学19 5 24

不选化学 6 10 16

合计25 15 40

则

2

2

40(191056)

7.111 6.635

25152416

K

⨯-⨯

=≈>

⨯⨯⨯

，

∴有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．

（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为12

0.340

p ==． 用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，分布列如下：

数学期望为()30.30.9E X np ==⨯=． 【题目点拨】

本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．