2024年湖北名师联盟数学高三第一学期期末复习检测试题含解析

2024年湖北名师联盟数学高三第一学期期末复习检测试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数2i

i

z -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．将函数2()3sin 22cos f x x x =

-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

，再向右平移8

π

个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）

A ．3,08π⎛⎫

⎪⎝⎭ B ．3,18⎛⎫

-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫

-

⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫

- ⎪⎝⎭

π 3．已知集合{}

2

|320M x x x =-+≤，{

}

|N x y x a ==

-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(,1]-∞

B ．(,1)-∞

C ．(1,)+∞

D ．[1,)+∞

4．已知平面向量,a b ，满足1

,13

a b =

=，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6

π B ．

3π C ．

23

π D ．

56

π 5．设1,0(){

2,0

x

x x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ）

A ．1-

B ．

14

C ．

12

D ．

32

6．函数()()()2

2

214f x x

x

x =--的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2

:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近

线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．31-

B ．31+

C ．132+

D ．132-

9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5

i 12i

z =-+，则z =（ ） A ．1i +

B ．1i -+

C ．12i -

D ．12i +

10．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3]

B ．[﹣1，3]

C ．{0，1，2，3}

D ．{﹣1，0，1，2，3}

12．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36

B ．72

C ．36-

D ．36±

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数22,0,()2,0,

x x x f x x -⎧-≥=⎨<⎩，则11(lg )(lg )(lg 2)(lg5)52f f f f +++的值为 ____

14．以()1,0a ，()2,0a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()10y ,，()20,y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点()12,a a 的轨迹方程为_________．

15．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．

16．经过椭圆2

212

x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为

点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，5a 是2a 与11a 的等比中项. （1）求n S ；

（2）设数列{}n b 满足12b a =，132n a

n n b b +=+⨯，求数列{}n b 的通项公式.

18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为22cos 3232x y θθ=+⎧⎪

⎨=⎪⎩

（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 的普通方程；

（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标. 19．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2f x x =++x a -.

（1）设1a =，求不等式()7f x ≤的解集；

（2）已知1a >-，且()f x 的最小值等于3，求实数a 的值.

20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩

（θ为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴

为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）直线1cos :sin x t l y t θ

θ

=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标方程.

21．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.

（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形； （2）求证：AM 与AN 不垂直；

（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长.

22．（10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，

~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红

绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.

（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？

（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；

（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C

【解题分析】

化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【题目详解】 解：复数222(2)(2)12i i i

z i i i i i

--=

==--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【题目点拨】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 2、D 【解题分析】

先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为2

2sin 13

4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,

再由正弦函数的对称性得解. 【题目详解】

23sin 22cos y x x =-

()

21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛

⎫=-- ⎪⎝

⎭,

∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

2

2sin 13

6y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,

再向右平移

8

π

个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤

⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦

2

2sin 13

4x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,

233,3428

x k x k k Z ππ

ππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫

- ⎪⎝⎭

π，故选D.

【题目点拨】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 3、A 【解题分析】

解一元二次不等式化简集合M 的表示，求解函数y =N 的表示，根据M N M ⋂=可以得

到集合M 、N 之间的关系，结合数轴进行求解即可. 【题目详解】

{}{}

2|320|12M x x x x x =-+≤=≤≤，{{}||N x y x x a ===≥.

因为M N M ⋂=，所以有M N ⊆，因此有1a ≤. 故选：A 【题目点拨】

本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力. 4、C 【解题分析】

根据2a b a b +=+， 两边平方2

2

2a b a b +=+，化简得()2

23

ab a =-，再利用数量积定义得到

()

2

2cos ,3a b a b a =-求解.

【题目详解】

因为平面向量,a b ，满足1

,13

a b ==，且2a b a b +=+， 所以2

2

2a b a b +=+， 所以()2

23ab a =-，

所以 ()

2

2

cos ,3a b a b a =-，

所以1cos ,2a b =-

， 所以a 与b 的夹角为

23

π

.

【题目点拨】

本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 5、C 【解题分析】

试题分析：

()21224f --==

，()()111211422f f f ⎛⎫

∴-===-= ⎪⎝⎭

．故C 正确． 考点：复合函数求值． 6、A 【解题分析】

先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【题目详解】

函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()

()2

2

2

2

2

21414f x x x x x

x

x f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦

，该函数为偶

函数，排除B 、D 选项； 当01x <<时，()()()

2

2

2140f x x x

x =-->，排除C 选项.

故选：A. 【题目点拨】

本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7、C 【解题分析】

方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .

方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线

()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA .

【题目详解】

方法一：由题意得抛物线2

4y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的

则1

||||2

OB AF =

，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12

， 所以13

||122

FB =+

=，所以||2||3FA FB ==．

方法二：抛物线2

4y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >， 则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+

又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①

222224(24)01(1)

A B y x

k x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨

=+⎩ ② 由①②得2

20,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.

故选：C 【题目点拨】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 8、D 【解题分析】

由双曲线的方程22

221x y a b

-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，

且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥,

点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +=

=，即22(,)33

a c b

P +，

代入双曲线的方程可得22

(2)1

144

a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 9、A 【解题分析】

分析：题设中复数满足的等式可以化为5

12z i i

=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有5

12112z i i i i i

=

+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 10、B 【解题分析】

根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【题目详解】

解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示， 56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．

故选：B ． 【题目点拨】

本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题． 11、C

【解题分析】

先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【题目详解】

解：∵集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }＝{y |y ＞﹣1}， B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 【题目点拨】

本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 12、A 【解题分析】

根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【题目详解】

等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以44a ==±，又2

420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性

质可得9549936S b a ===. 故选：A 【题目点拨】

本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、4 【解题分析】 根据11

lg ,lg

,lg 2,lg552

的正负值，代入对应的函数解析式求解即可. 【题目详解】

解：11(lg )(lg )(lg 2)(lg5)5

2

f f f f +++

11lg

lg

lg2lg5lg5lg2lg2lg55

2

2

2

22222222224--+++=++--+=-=-.

故答案为：4. 【题目点拨】

本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.

14、21

x

y x =

- 【解题分析】

根据圆的性质可知()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上，由此得到21112y a =-，同理可得2

2212y a =-，由对数运算法

则可知121y y =，从而化简得到1

2121

a a a =-，由此确定轨迹方程.

【题目详解】

()1212ln ln ln 0y y y y +==，121y y ∴=，

()1,0A 和()10,B y 的中点坐标为11,22y ⎛⎫

⎪⎝⎭

，且()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上，

1

11211

12

y y a ∴⋅=---，即21112y a =-，同理可得：2

2212y a =-， ()()()2

121212121a a y y ∴--==，1

2121

a a a ∴=

-，

∴点()12,a a 的轨迹方程为21

x

y x =

-． 故答案为：21

x

y x =-． 【题目点拨】

本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出12,a a 满足的方程，由此得到结果. 15、2 【解题分析】

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的

值． 【题目详解】 二项式的展开式中的通项公式为，

令

，求得

，可得常数项为

，

，

故答案为：． 【题目点拨】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16、0

【解题分析】

作出图形，设点()00,M x y ，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，利用点差法得出1

2

MN MP k k ⋅=-，利用斜率公式得出1

2

NP MN k k =，进而可得出1MN MP k k =-，可得出MN MP ⊥，由此可求得cos NMP ∠的值. 【题目详解】

设点()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，

则22

002211

121

2

x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()22

22

101002x x y y -+-=，即221022

1012y y x x -=--， 即22

10101022

10101012

MP NP

y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-， 由斜率公式得000011222NP NE MN y y k k k x x ==

=⋅=，111222

MP NP MP MN MN MP k k k k k k ⎛⎫∴-==⋅= ⎪⎝⎭，1MN MP k k ∴=-，故MN MP ⊥，

因此，cos 0NMP ∠=. 故答案为：0. 【题目点拨】

本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）232

n n +；（2）+1

329n n b =⨯-.

【解题分析】

（1）根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前n 项和；

（2）由（1）中所求，结合累加法求得n b . 【题目详解】

（1）由题意可得()()()12

11124

410a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩即12124,2.

a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠，所以12

1a d =⎧⎨=⎩，所以1n a n =+.

()2213S 22

n n n n n

+++==

（2）由条件及（1）可得123b a ==.

由已知得1

+132n n n b b +-=⨯，()-132

2n

n n b b n -=⨯≥

所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+

()()122+13222233229n n n n n --=+++

+⨯-+=≥.

又13b =满足上式，

所以+1

329n n b =⨯-

【题目点拨】

本题考查等差数列通项公式和前n 项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题. 18、（1）2

2

(2)4x y +-=（2）

3

π

)． 【解题分析】

（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式cos ,sin x y ρθρθ==求解.

（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可. 【题目详解】

（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=， ∴24sin ρρθ=，则224x y y +=, 即2

2(2)4x y +-=.

（2

）22222cos 2cos 121)22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩

，

∴y =，1x >

联立2

2

(2)4x y +-=

可得223x x +=，

0x =

（舍）或x =

公共点

3)，化为极坐标

，3

π)． 【题目点拨】

本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养. 19、 (1) 82,3

⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

(2) 2a =

【解题分析】

（1）把f （x ）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论． （2）把f （x ）去绝对值写成分段函数，画出f （x ）的图像，找出()min f x ，利用条件求得a 的值． 【题目详解】

（1）1a =时，()121f x x x =++-.

当1x <-时，()7f x ≤即为317x -+≤，解得21x -≤<-. 当11x -≤≤时，37x -+≤ ，解得11x -≤≤. 当1x >时，317x -≤ ，解得8

13

x <≤

. 综上，()7f x ≤的解集为82,3⎡⎤-⎢

⎥⎣⎦

. （2）1a >-.()()321(1)21(1)321x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-<-⎪

∴=-++-≤<⎨⎪-+≥⎩

，

由()y f x =的图象知，

()()min 13f x f a a ==+=，2a ∴=.

【题目点拨】

本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 20、（1）2sin 0ρθ-=；（2）10x y +-=. 【解题分析】

（1）利用22cos cos 1θθ+=消去参数θ，得到曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可求出结论；

（2）由（1）得曲线C 表示圆，直线曲线C 交于A ，B 两点，||AB 最大值为圆的直径，直线l 过圆心，即可求出直线

l 的方程.

【题目详解】

（1）由曲线C 的参数方程cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩

（θ为参数），

可得曲线C 的普通方程为2

2

(1)1y x +-=， 因为cos ,x ρθ=sin y ρθ=，

所以曲线C 的极坐标方程为2

2

(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=， 即2sin 0ρθ-=.

（2）因为直线1cos :sin x t l y t θ

θ

=+⎧⎨

=⎩（t 为参数）表示的是过点(1,0)的直线，

曲线C 的普通方程为2

2

(1)1y x +-=， 所以当||AB 最大时，直线l 经过圆心(0,1).

∴直线l 的斜率为1-，方程为1y x =-+，

所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. 【题目点拨】

本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.

21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC . 【解题分析】

（1）由平面11ABB A 与平面11DCC D 没有交点，可得AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面，所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ，得证；（2）由四边形1AMC N 是平行四边形，且1MN AC ≠，则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直；（3）先证11Rt ABM Rt C B M ≅，可得M 为1BB 的中点，从而得出B 是PC 的中点，可得PC . 【题目详解】

（1）依题意1A M C N ，，，都在平面1AC 上， 因此AM ⊆平面1AC ，1NC ⊆平面1AC ， 又AM ⊆平面11ABB A ，1NC ⊆平面11DCC D ，

平面11ABB A 与平面11DCC D 平行，即两个平面没有交点， 则AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面， 所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ， 所以四边形1AMC N 是平行四边形；

（2）因为M ，N 两点不在棱的端点处，所以11MN BD AC <=， 又四边形1AMC N 是平行四边形，1MN AC ≠， 则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直； （3）如图，延长1C M 交CB 的延长线于点P ，

若四边形1AMC N 为菱形，则1AM MC =，易证11Rt ABM Rt C B M ≅， 所以1BM B M =，即M 为1BB 的中点， 因此11

2

BM CC =

，且1//BM CC ，所以BM 是1PCC 的中位线， 则B 是PC 的中点，所以22PC BC ==. 【题目点拨】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题. 22、（1）6种；（2）11

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；（3）I F C B A →→→→. 【解题分析】

（1）从4条街中选择2条横街即可；

（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，I F E D A →→→→，

I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率；

（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免. 【题目详解】

（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C =条. （2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线：

①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313

124432p =⨯⨯⨯=；

②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率213113

2444128p =⨯⨯⨯=；

③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111

124432p =⨯⨯⨯=；

④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率411313

2444128

p =⨯⨯⨯=.

所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率

1234331311321283212864

p p p p p =+++=

+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则

①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫

→→→→ ⎪⎝⎭，则()134E X =；

②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫

→→→→ ⎪⎝⎭

，则()239344E X =⨯=；

③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→；

3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫

→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==

综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→. 【题目点拨】

本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.