不可逆过程和环境的熵变计算举例
关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨
在多年的热力学统计物理的教学中，发现有关不可逆过程的熵变的计算始终是学生感觉比较难以接受的知识点，本人通过学习发现不可逆过程熵变的计算有一定的规律性，就把其进行了归纳，希望能被初学者借鉴。
对于孤立系统熵变的一般计算方法：按定义，只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时，则根据熵为一状态函数，体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关；可设法绕道，找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程，由它们的熵变间接地推算出来。孤立系统的选择方法，如果非封闭系统，可以将环境和物体共同看成封闭系统。
不同的具体过程有不同的规律，大致分为：
1、绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变
⑴ 温度为0o C 的1kg 水与温度为100o C 的恒温热源接触后，水温达
到100o C 。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0o C 升至100o C 已
知水的比热容为.18.411--??K g J
【答：S ?水＝16.1304-?K J ，S ?热源＝1-?K J ，S ?总＝.1841-?K J 】
解：题中的热传导过程是不可逆过程，要计算水和热源的熵变，则必
须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算。
要计算水从0o C 吸热升温至100o C 时的熵变，我们设想一个可逆的等压过程：
?-?=??==?37327316.1304312.018.41000273373ln K J mC T dT mC S 水水水＝
对于热源的放热过程，可以设想一个可逆的等温过程： 1
6.120373)273373(18.41000-?-=-??-=-=?K J T Q S 放热源
1184-??+??K J S S S ＝＝热源水总 在0o C 和100o C 之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源，令
水依次与这些温度递增的无限多个热源接触，由0o C 吸热升温至100o C ，这是一个可逆过程，可以证明
0＝＝，故＝热源水总水热源S S S S S ?+???-?
〔2〕 试计算热量 Q 自一高温热源 T 2 直接传递至另一低温热源 T 1 所引起的熵变。
〔解〕 从题意可以看出这是一不可逆热传递过程，应设想另一组始终态相同的可逆过程替代它，才能由它们的热温商计算体系的熵变。为此，可以设想另一变温过程由无数元过程所组成，在每一元过程中体系分别与一温度相差极微的热源接触，热量是经由这一系列温度间隔极微的热源〔(T 2－dT )，(T 2－2dT )，(T 2－3dT )，……，(T 1＋2dT )，(T 1＋dT )，……〕传递到环境去。这样的热传递过程当 dT 愈小时，则愈接近于可逆，则
可见若二热源直接接触并于外界隔离（绝热），则在此二热源间的热传导过程为一自发过程。
2、孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变
均匀杆的温度一端为T 1，另一端为T 2. 试计算达到均匀温度)(2121T T 后的熵增。
解：当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态 时，其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算，这是因为熵 是态函数。而本问题中，杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过 程，而到达一个平衡态。因此，设想下述可逆过程：把杆当作是无数 无限薄的小段组成，每一个小段的初温各不相同，但都将具有相同的 终温。我们再设想所有的小段互相绝热，并保持同样的压力，然后使 每小段连续地跟一系列热源接触，这些热源地温度由各段的初温度至 共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程，用来使该杆由初 始的非平衡态变化到平衡态的终态。
我们考虑长为L 的均匀杆，位于x 处的体积元的质量为
Adx dm ρ=
其中ρ及A 分别为杆的密度及截面积，该段的热容量为 Adx C dm C p p ρ=
最初的温度分布是线性分布的，而使x 处的初温为 x L T T T x T i 211)(--=
若无热量损失，并且为了方便起见，假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变，则终温 221T T T f +=
该体积元的熵增为
?---=--==f
i T T f f p f p i f p p x LT T T T T Adx V x L
T T T T Adx C T T Adx C T dT Adx C )ln(ln ln 211211ρρρρ沿整个杆积分，得熵的总变化等于
?---=?L f L f p dx x LT T T T T A C S 011)ln(ρ
利用积分公式
[]?-++=+1)ln()(1)ln(bx a bx a b dx bx a
经积分并化简后，得到 ).1ln ln 2(ln )ln ln ln 1(2122112112112212+---+=---++=?T T T T T T T T mC T T T T T T T T T mC S P f p
3、绝热系统内功热转化过程的熵变
10A 的电流通过一个25Ω的电阻器，历时1s. (i) 若电阻器保持为室温27o C ，试求电阻器的熵增。(ii) 若电阻器被一绝热壳包
装起来，其初温为27o C ，电阻器的质量为10g ，比热容c p 为,
84.01-??K g J 问电阻器的熵增为何
解：(1) 若电阻器保持一定温度，则它的状态不变，而熵是状态的函 数，故知电阻器熵增为零，即0=?S .我们也可以这样考虑，电功转变 为热，传人电阻器，同时此热量又由电阻器流入恒温器(比如是实验 室)。因此，传入电阻器的净热量为零，故有0=?S .
(2) 在这过程中，有电功转变为热，是不可逆过程。因为熵是态 函数，我们设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
电阻器终态的温度为T f ，有Q=mC p (T f -T i ), 及
)(6001251024.024.022cal Rt I Q =???== 得 )(6003002.0
10600K
T f =+?=
?
=??===?f i T T i f
p p K cal T T mC T dT mC S )/(386.1300600ln 2.010ln 4、不可逆过程和环境的熵变计算
如计算隔离体系的熵变，则需涉及环境，按原则，环境亦必须在
可逆条件下吸热或放热，常设想环境由一系列温度不同的热源组成，或称理想化环境，当体系放热时，则环境吸热；而体系吸热时则环境放热，故有如下关系：
〔例1〕试计算下列情况下，、2 摩尔理想气体由2X压力降低至压力时的(a)体系熵变；(b)环境熵变；(c)隔离体系熵变--(1)可逆等温膨胀；(2)恒温恒外压膨胀，p e=；(3)自由膨胀。
〔解〕：(1)
(2)
(3)
三例比较，体系始终态相同，ΔS体系为一恒值·K-1)。在可逆情况下，体系将热转变为功的效率达到最大；而当不可逆程度（不平衡情况）愈大时，热量的利用率愈低，转化为做功的能量愈少（也称有效能）。能量继续以热的形式留于隔离体系中的愈
多，相应地隔离体系的熵值增加得愈多。（应该注意：本例属等温过程，在变温过程中熵值的变化应根据决定！）〔例2〕试计算在压力下，2 摩尔液态氨由转变为的氨气时体系的熵变。
氨的正常沸点压力下的沸点)为，在正常沸点下的摩尔汽化热ΔVap H m=·mol1；液态和气态氨的摩尔平均热容分别为
C p,m(NH3,l)=·mol-1·K-1和C p,m(NH3,g)=+ 。
〔解〕此过程为不可逆，计算体系熵变时必须由一组始终态相同的可逆过程替代之：
而体系熵变：
热力学第二定律总结
第三章 热力学第二定律总结 核心内容： 不可逆或自发 02 1 < > -+ =?+?=?? amb r amb iso T Q T Q S S S δ 可逆或平衡 不可能 对于恒T 、V 、W ˊ=0过程： 不可逆或自发 0)(0,,> < ?-?=-?==?'S T U TS U A W V T 可逆或平衡 反向自发 对于恒T 、p 、W ˊ=0过程： 不可逆或自发 0)(0,,> < ?-?=-?=?='S T H TS H G W p T 可逆或平衡 反向自发 主要内容：三种过程（单纯pVT 变化、相变、化学反应）W 、Q 、ΔU 、ΔH 、△S 、△A 、△G 的计算及过程方向的判断。 一、内容提要 1、热力学第二定律的数学形式 不可逆或自发 ?<>?21T Q S δ 可逆或平衡 不可能 上式是判断过程方向的一般熵判据。将系统与环境一起考虑，构成隔离系统则上式变为： 不可逆或自发 02 1 < > -+ =?+?=?? amb r amb iso T Q T Q S S S δ 可逆或平衡 不可能
上式称为实用熵判据。在应用此判据判断过程的方向时，需同时考虑系统和环境的熵变。 将上式应用于恒T 、V 、W ˊ=0或恒T 、p 、W ˊ=0过程有： 不可逆或自发 0)(0,,> < ?-?=-?==?'S T U TS U A W V T 可逆或平衡 反向自发 此式称为亥姆霍兹函数判据。 不可逆或自发 0)(0,,> < ?-?=-?=?='S T H TS H G W p T 可逆或平衡 反向自发 此式称为吉布斯函数判据。 熵判据需同时考虑系统和环境，而亥姆霍兹函数判据和吉布斯函数判据只需考虑系统本身。熵判据是万能判据，而亥姆霍兹函数判据和吉布斯函数判据则是条件判据（只有满足下角标条件时才能应用）。 此外，关于亥姆霍兹函数和吉布斯函数，还有如下关系： r T W A =? r V T W A '=?, r p T W G '=?, 即恒温可逆过程系统的亥姆霍兹函数变化等于过程的可逆功；恒温恒容可逆过程系统的亥姆霍兹函数变化等于过程的可逆非体积功；恒温恒压可逆过程系统的吉布斯函数变化等于过程的可逆非体积功。 下面将△S 、△A 和△G 的计算就三种常见的过程进行展开。 2、三种过程（物质三态pVT 变化、相变、化学反应）△S 、△A 和△G 的计算 （1）物质三态（g 、l 或s 态）pVT 变化（无相变、无化学反应）
等熵过程
等熵过程 熵增定律仅适合于孤立体系，这是问题的关键。虽然从处理方法上讲，假定自然界存在孤立过程是可以的。但是从本质上讲，把某一事物从自然界中孤立出来，就使理论带上了一定的主观色彩。实际上，绝对的联系和相对的孤立的综合，才是事物运动的本来面目。那么，当系统不再人为地被孤立的时候，它就不再是只有熵增，而是既有熵增，又有熵减了。如果说熵增是混乱度增加，而熵减是有序度增加的话，那么，真正的过程必然是混乱与有序的综合过程。因而，系统就必然出现熵增和熵减诸种情况。 现在，一个中心问题出现了，在系统状态( 点) 上的熵增和熵减过程中，是否存在一个不动点, 使熵增和熵减达到平衡( △ S=0) 。 在孤立体系中，平衡状态也是熵增为零。当进行研究的时候，一旦熵增( 减) 等于零，我们似乎就觉得比较满意了。熵增( 减) 为零，熵为常数。常数还有什么研究的必要呢? 放在公式中就行了。然而，问题并不简单。信息熵等于常数，并不是其它量等于常数。物质、能量的出入使事物的质能变化不是一个常数。如果我们过去往往在物质、能量一定的前提下来讨论熵增加的话，那么，我们是否忽视了一个问题，即在熵恒定的情况下来讨论物质、能量的变化呢? 更进一步说，如果自然界存在这一类过程，即熵恒定的过程，再结合到质、能守恒，那么，我们就有了这样一组十分满意的公式： m (t)=Cm u (t)=Cu s (t)=Cs 其中t 是时间，m 、u 、s 是物质量、能量、信息( 负熵) ，Cm 、Cu 、Cs 是常数。 由此，等式与不等式的分裂可以获得解决。 在系统状态( 点) 的变化过程中，要在每时每刻都保持信息( 负熵) 为恒量，是一个太强的条件。而许多过程可以表现为在某些时间位点上信息( 负熵) 为恒量。这时，系统出现熵振荡过程，当熵振荡的时段极短时，它趋近于等熵过程。
3、5定容过程、定压过程、定温过程和定熵过程
第4章 理想气体的热力过程 主要内容： 本章基本要求： 4.1定容过程 1．定义：气体在状态变化过程中比体积保持不变的过程。 2．过程方程式 v 为定值，dv=0 3．确定初终状态参数之间的关系 121 212 v v v P P R T T v == ===常数 说明：定容过程中工质的绝对压力与绝对温度成正比，已知1122,,P T P T 或中任一个即可求得另一个终态的参数。 4、求过程中的熵 定比热容理想气体进行定容过程时，根据),(ln ln 310v T f C v R T c s g V =++=可知，温度和熵的变化保持如下关系： 10ln C T c s V '+=或0 1ex p V c C s T ' -= 5．求过程中的,q w 根据特力学第一定律解析式 q d u p d v δ=+ ∵0002 1 ==?=?=?pdv w pdv dv v ∴q du δ=
Tds du T du ds T pdv du ds =?=?+= 1210 20 2 1 2 1 t c t c cVdT Tds q t V t V v -===∴?? 或1212u u w u u q v v -=+-= ?-=-=2 121,)(p p v vdp w v t 6．热力过程在P —V 图，T —S 图上表示 121 2.0T P S T u -↑→↑-?>↑?↑加热， 吸热， q>0 12'-↓→↓放热,T P 120S T u '-?<↓?↓ 方热， q<0 4.2定压过程 1．定义：工质在状态变化过程中压力保持不变的过程。 2．过程方程式 P =定值 3．初终态参数之间的关系 P =定值 p R T v g ==定值 说明：定压过程中工质的v T 与成正比 4．求过程中的熵
物理化学重点超强总结归纳
第一章热力学第一定律 1、热力学三大系统： （1）敞开系统：有物质和能量交换； （2）密闭系统：无物质交换，有能量交换； （3）隔绝系统（孤立系统）：无物质和能量交换。 2、状态性质（状态函数）： （1）容量性质（广度性质）：如体积，质量，热容量。 数值与物质的量成正比；具有加和性。 （2）强度性质：如压力，温度，粘度，密度。 数值与物质的量无关；不具有加和性，整个系统的强度性质的数值与各部分的相同。 特征：往往两个容量性质之比成为系统的强度性质。 3、热力学四大平衡： （1）热平衡：没有热隔壁，系统各部分没有温度差。 （2）机械平衡：没有刚壁，系统各部分没有不平衡的力存在，即压力相同 （3）化学平衡：没有化学变化的阻力因素存在，系统组成不随时间而变化。 （4）相平衡：在系统中各个相（包括气、液、固）的数量和组成不随时间而变化。 4、热力学第一定律的数学表达式： ?U = Q + W Q为吸收的热（+），W为得到的功（+）。
12、在通常温度下，对理想气体来说，定容摩尔热容为： 单原子分子系统 ,V m C =32 R 双原子分子（或线型分子）系统 ,V m C =52R 多原子分子（非线型）系统 ,V m C 6 32 R R == 定压摩尔热容： 单原子分子系统 ,52 p m C R = 双原子分子（或线型分子）系统 ,,p m V m C C R -=,72 p m C R = 多原子分子（非线型）系统 ,4p m C R = 可以看出： ,,p m V m C C R -= 13、,p m C 的两种经验公式：,2p m C a bT cT =++ （T 是热力学温度，a,b,c,c ’ 是经 ,2' p m c C a bT T =++ 验常数，与物质和温度范围有关） 14、在发生一绝热过程时，由于0Q δ=，于是dU W δ= 理想气体的绝热可逆过程，有：,V m nC dT pdV =- ? 22 ,11 ln ln V m T V C R T V =- 21,12ln ,ln V m p V C Cp m p V ?= ,,p m V m C pV C γγ=常数 =>1. 15、-焦耳汤姆逊系数：J T T =( )H p μ??- J T μ-＞0 经节流膨胀后，气体温度降低； J T μ-＜0 经节流膨胀后，气体温度升高； J T μ-=0 经节流膨胀后，气体温度不变。 16、气体的节流膨胀为一定焓过程，即0H ?=。 17、化学反应热效应：在定压或定容条件下，当产物的温度与反应物的温度相同而在反应过程中只做体积功不做其他功时，化学反应所 吸收或放出的热，称为此过程的热效应，或“反应热”。 18、化学反应进度：()()() n B n B B ξ ν-= 末初 （对于产物v 取正值，反应物取负值） 1ξ=时，r r m U U ξ ??= ，r r m H H ξ ??= 19、（1）标准摩尔生成焓（0 r m H ?）：在标准压力和指定温度下，由最稳定的单质生成单位物质的量某物质的定压反应热，为该物质的 标准摩尔生成焓。 （2）标准摩尔燃烧焓（0 c m H ?）：在标准压力和指定温度下，单位物质的量的某种物质被氧完全氧化时的反应焓，为该物质的标 准摩尔燃烧焓。 任意一反应的反应焓0 r m H ?等于反应物燃烧焓之和减去产物燃烧焓之和。 20、反应焓与温度的关系-------基尔霍夫方程
不可逆过程和环境的熵变计算举例
关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨 在多年的热力学统计物理的教学中，发现有关不可逆过程的熵变的计算始终是学生感觉比较难以接受的知识点，本人通过学习发现不可逆过程熵变的计算有一定的规律性，就把其进行了归纳，希望能被初学者借鉴。 对于孤立系统熵变的一般计算方法：按定义，只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时，则根据熵为一状态函数，体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关；可设法绕道，找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程，由它们的熵变间接地推算出来。孤立系统的选择方法，如果非封闭系统，可以将环境和物体共同看成封闭系统。 不同的具体过程有不同的规律，大致分为： 1、绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变 ⑴ 温度为0o C 的1kg 水与温度为100o C 的恒温热源接触后，水温达到100o C 。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0o C 升至100o C 已知水的 比热容为 .18.41 1--??K g J 【答：S ?水＝16.1304-?K J ，S ?热源＝1-?K J ，S ?总＝.1841 -?K J 】 解：题中的热传导过程是不可逆过程，要计算水和热源的熵变，则必须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算。 要计算水从0o C 吸热升温至100o C 时的熵变，我们设想一个
可逆的等压过程： ? -?=??==?373 273 1 6.1304312.018.41000273373 ln K J mC T dT mC S 水水水＝ 对于热源的放热过程，可以设想一个可逆的等温过程： 1 6.120373) 273373(18.41000-?-=-??- =- =?K J T Q S 放热源 1 184-??+??K J S S S ＝＝热源水总 在0o C 和100o C 之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源，令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触，由0o C 吸热升温至100o C ，这是一个可逆过程，可以证明 ＝＝，故＝热源水总水热源S S S S S ?+???-? 〔2〕 试计算热量 Q 自一高温热源 T 2 直接传递至另一低温热源 T 1 所引起的熵变。 〔解〕 从题意可以看出这是一不可逆热传递过程，应设想另一组始终态相同的可逆过程替代它，才能由它们的热温商计算体系的熵变。为此，可以设想另一变温过程由无数元过程所组成，在每一元过程中体系分别与一温度相差极微的热源接触，热量是经由这一系列温度间隔极微的热源〔(T 2－dT )，(T 2－2dT )，(T 2－3dT )，……，(T 1＋2dT )，(T 1＋dT )，……〕传递到环境去。这样的热传递过程当 dT 愈小时，则愈接近于可逆，则
理想气体混合熵的计算
理想气体混合熵 求混合过程的熵变，原则是把混合前的每种气体看成子体系， 混合后的体系 为总体系，总体系的混合熵等于各子体系混合熵变之和 ，AS 总=工△子。 为了讨论方便，我们先看两种理想气体的混合过程。 B(g)(nB,pB,VB,TB)。 抽开隔板，开始混合，混合后的总体系，其状态(终态)为n=nA + nB, V=VA + VB 。现在还有T 和p 不知道。 先求T 。一般混合，可以看成绝热过程，即 AB 只是互相交换能量，而与环 境没有能量(热量)的交换。所以， A 气体放的热量，等于B 气体吸收的热量, 反之亦然。 设混合后的体系的温度为T _ nACp.m (A )(T - T A ) - _ T B ) nRT P 二 --------- 求出T 之后，据 1 ，可以计算出混合后总体系的压强。求出总压 强之后，再根据分压定律，求出气体 A 和B 在总体系中的分压强PA '和PB : 加 Cpm(⑷％ + HB C"⑻ T E 设有两种气体A(g)、 A(g)(nA,pA,VA,TA)和 现在就可以求混合熵了: 幻+勿
从此式中，可以看出，二组分理想气体的混合熵，是各自pVT 变化熵的加 和。 特别是，化学反应中的混合，常常是等温等压条件下的混合，即混合前后子 体系与总体系的温度和压强均不发生变化，这种情况下求混合熵就更简单。 E4 式中，（A 气体的体积分数）在定压条件下等于 A 气体的摩尔分数yB 所以，若有k 种理想B 气体定温定压混合，过程的混合熵为 仏二-R 若血1吨） =^A AS4 + AS 二 T Cp r m （j4） 111 ■ P A ■ 3启 T 4用（￡）hi —— T ? T Cv r m （A ）In — T A ■ + /?ln — V A ■ ■ T Cv, ill — T B ■ ■ v + 7?ln — V B ■ 6S =
热力学第二定律复习题
热力学第二定律 （r δ/0Q T =∑）→熵函数引出 0< (不可能发生的过程) 0= (可逆过程) 0>(自发、不可逆过程) S ?环) I R ηη≤ 不等式：) 0A B i A B S →→?≥ 函数G 和Helmholtz 函数A 的目的 A U TS ≡-，G H TS ≡- d d d d d d d d T S p V T S V p S T p V S T V p -+---+ W ' =0，组成恒定封闭系统的 可逆和不可逆过程。但积分时 要用可逆途径的V ~p 或T ~S 间 的函数关系。 应用条件： V )S =-(?p /?S )V , (?T /?p )S =(?V /?S )p V )T =(?p /?T )V , (?S /?p )T =-(?V /?T )p 应用：用易于测量的量表示不 能直接测量的量，常用于热力 学关系式的推导和证明 <0 (自发过程) =0 (平衡(可逆)过程) 判据△A T ，V ，W ’=0 判据△G T ，p ，W ’=0 <0 (自发过程) =0 (平衡(可逆)过程)
基本计算公式 /()/ r S Q T dU W T δδ ?==- ??, △S环=-Q体/T环△A=△U-△(TS) ，d A=-S d T-p d V △G=△H-△(TS) ，d G=-S d T-V d p 不同变化过程△S、△A、△G 的计算简单pVT 变化(常压 下) 凝聚相及 实际气体 恒温：△S =-Q r/T；△A T≈0 ，△G T≈V△p≈0(仅对凝聚相) △A=△U-△(TS),△G=△H-△(TS); △A≈△G 恒压变温 2 1 , (/) T p m T S nC T dT ?=?nC p,m ln(T2/T1) C p,m=常数 恒容变温 2 1 , (/) T V m T S nC T dT ?=?nC V,m ln(T2/T1) C V,m=常数 △A=△U-△(TS),△G=△H-△(TS); △A≈△G 理想气体 △A、△G 的计算 恒温:△A T=△G T=nRT ln(p2/p1)=- nRT ln(V2/V1) 变温：△A=△U-△(TS),△G=△H-△(TS) 计算△S△S=nC V,m ln(T2/T1)+nR ln(V2/V1) = nC p,m ln(T2/T1)-nR ln(p2/p1) = nC V,m ln(p2/p1)+ nC p,m ln(V2/V1) 纯物质两 相平衡时 T~p关系g?l或s两相 平衡时T~p关系 任意两相平衡T~p关系： m m d/d/ p T T V H ββ αα =??(Clapeyron方程) 微分式：vap m 2 d ln d H p T RT ? =(C-C方程) 定积分式：ln(p2/p1)=-△vap H m/R(1/T2-1/T1) 不定积分式：ln p=-△vap H m/RT+C 恒压相变化 不可逆：设计始、末态相同的可逆过程计 S=△H/T；△G=0；△A ≈0（凝聚态间相变） =-△n(g)RT (g?l或s) 化学 变化 标准摩尔生成Gibbs函数 r m,B G ?定义 r m B m,B B S S ν ?=∑，r m B f m,B B H H ν ?=? ∑， r m r m r m G H T S ?=?-?或 r m B f m,B G G ν ?=? ∑ G-H方程 (?△G/?T)p=(△G-△H)/T或[?(△G/T)/?T]p=-△H/T2 (?△A/?T)V=(△A-△U)/T或[?(△A/T)/?T]V=-△U/T2 积分式：2 r m0 ()//ln1/21/6 G T T H T IR a T bT cT ?=?+-?-?-? 应用：利用G-H方程的积分式，可通过已知T1时的△G(T1)或 △A(T1)求T2时的△G(T2)或△A(T2) 微分式 热力学第三定律及其物理意义 规定熵、标准摩尔熵定义 任一物质标准摩尔熵的计算
(完整word版)熵变的计算.docx
1 2.3 熵变的计算 计算过程的熵变时， 应注意熵是状态函数， 确定体系的始末态， 在始末态之间设计 一个可逆过程来求体系的熵变。 2.3.1 理想气体简单状态变化的体系熵变的计算 （ 1）单纯的状态变化 B S S B S A A Q （1） T r 恒压过程： B S A dH B C p dT （2） T A T 恒容过程： B S A dU B C V dT T （3） A T 恒温过程： Q r U W r （4） S T T 一般过程： S nRln V B C V ln T B （8） V A T A S C p ln T B nR ln p B （9） T A p A S C p ln V B C V ln p B （10） V A p A 环境和隔离体系熵变的计算 环境熵变按定义 B Q S 环 A T 环 计算。 Q 为体系实际进行的过程中体系所吸收的热，不是虚拟的过程中体系所吸收的
2热。上例中体系实际进行的过程中体系所吸收的热和虚拟的过程中体系所吸收的热是相 等的，因为两个过程都是恒压的。 体系的热效应可能是不可逆的，但由于环境很大，对环境可看作是可逆热效应，所以， 任何可逆变化时环境的熵变 dS(环 )Q R (体系 ) / T (环) 2.3.2 相变过程的熵变 （ a）可逆相变相变分可逆相变和不可逆相变。在相平衡条件下发生的相变为可 逆相变。如一大气压下， 100℃的水蒸发为 100℃的水蒸气就是可逆相变； 0℃的冰融化为 0℃的水也是可逆相变。对于恒温恒压非体积功为零的条件下发生的可逆相变， S Q r H （24）T T （ b）等温等压不可逆相变不在相平衡条件下发生的相变为不可逆相变。如一大气压下，（ - 10）℃的冰融化为（- 10）℃的水就是不可逆相变。 过冷蒸气的液化、过冷液体的凝固及过热液体的气化等过程, 均属于不可逆相变过程 .对这一类不可逆过程, 利用状态函数法，可以设计一个可逆相变过程来求解。以过冷液体的 等压不可逆凝固相变过程为例: 设指定物质 A的可逆相变温度为T R , 相变潜热为S H m .其实际相变温度为T I , 实际热效应为 Q .因在 T I时是不可逆相变过程, 体系的熵不能用Q 来求解 , 需设计可逆过程 , 故可有: A ( , T I )S m(,) l A s T I ↓Δ S m, 1↑S m, 3 A(l ,T R )S S m, 2A( s,T R ) 熵是状态函数 , 只与始末态有关 , 故S m S m,1S S m,2S m,3 过程 1 和过程3 都是等压可逆变温过程, 而过程 2是等温等压可逆相变过程, 故有 : S m,1T R C p, m (l )dT , V S m,2S H m , S m,3T I C p ,m (s)dT T I T T R T T R 所以 :S m S H m / T R T I(C p ,m (s) C p,m (l )) / TdT T R 若 C p, m( l) 和 C p, m( s) 均为与温度无关的常数, 则上式积分如下 :
等熵膨胀制冷
等熵膨胀制冷 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
等熵膨胀制冷 高压气体绝热可逆膨胀过程，称为等熵膨胀。气体等熵膨胀时，有功输出，同时气体的温度降低，产生冷效应。这是获得制冷的重要方法之一，尤其在低温技术领域中。 常用微分等熵效应来表示气体等熵膨胀过程中温度随压力的变化，其定义为：（1） 因总为正值，故气体等熵膨胀时温度总是降低，产生冷效应。 对于理想气体，膨胀前后的温度关系是： （2） 由此可求得膨胀过程的温差 （3） 对于实际气体，膨胀过程的温差可借助热力学图查得，如图1所示。 图 1 等熵过程的温差 由于等熵膨胀过程有外功输出，所以必须使用膨胀机。当气体在膨胀机内膨胀时，由于摩擦、漏热等原因，使膨胀过程成为不可逆，产生有效能损失，造成膨胀机出口处
工质温度的上升，制冷量下降。工程上，一般用绝热效率来表示各种不可逆损失对膨胀机效率的影响，其定义为： （4） 即为膨胀机进出口的实际比焓降Δh pr与理想焓降（即等熵焓降）Δh id之比。目前，透平式膨胀机的效率可达到～，活塞式膨胀机的效率达～。 比较微分等熵效应和微分节流效应两者之差为： （5） 因为υ始终为正值，故αs＞αh。因此，对于气体绝热膨胀，无论从温降还是从制冷量看，等熵膨胀比节流膨胀要有效得多，除此之外，等熵膨胀还可以回收膨胀功，因而可以进一步提高循环的经济性。 以上仅是对两种过程从理论方面的比较。在实用时尚有如下一些需要考虑的因素：（1）节流过程用节流阀，结构比较简单，也便于调节；等熵膨胀则需要膨胀机，结构复杂，且活塞式膨胀机还有带油问题；（2）在膨胀机中不可能实现等熵膨胀过程，因而实际上能得到的温度效应及制冷量比理论值要小，这就使等熵膨胀过程的优点有所减小；（3）节流阀可以在气液两相区工作，但带液的两相膨胀机（其带液量尚不能很大）；（4）初温越低，节流膨胀与等熵膨胀的差别越小，此时，应用节流较有利。因此，节流膨胀和等熵膨胀这两个过程在低温装置中都有应用，它们的选择依具体条件而定。 单一气体工质布雷顿循环 布雷顿(Brayton)制冷循环又称焦耳(Joule)循环或气体制冷机循环，是以气体为工质的制冷循环，其工作过程包括等熵压缩，等压冷却，等熵膨胀及等压吸热四个过程，这与蒸气压缩式制冷机的四个工作过程相近，两者的区别在于工质在布雷顿循环中不发生集态改变。历史上第一次实现的气体制冷机是以空气作为工质的，称为空气制冷机。除空气外，根据不同的使用目的，工质也可以是CO2，N2，He 等气体。 （1）无回热气体制冷机循环 图2示出无回热气体制冷机系统图。气体由压力p0被压缩到较高的压力p c，然后进入冷却器中被冷却介质（水或循环空气）冷却，放出热量Q c，而后气体进入膨胀机，经历作外功的绝热膨胀过程，达到很低的温度，又进入冷箱吸热制冷。循环就这样周而复始地进行。
化学热力学初步
化学热力学初步 【2－1】计算下列系统得热力学能变化: （1)系统吸收了100Ｊ能量，并且系统对环境做了54０J 功。 (2）系统放出了１00Ｊ热量,并且环境对系统做了6３5Ｊ功。 解：(1）J 440J 540J 100-=-=+=?W Q U (2)J 535J 635J 100=+-=+=?W Q U 【2-2】2.０molH ２(设为理想气体)在恒温(2９8K ）下，经过下列三种途径,从始态0.0１5ｍ3膨胀到终态0.040 m 3，求各途径中气体所做得功。 （1）自始态反抗１00kPa 的外压到终态。 （２)自始态反抗200kPa 的外压到中间平衡态，然后反抗100ｋP ａ的外压到终态。 （3）自始态可逆地膨胀到终态。 解：（1)()kJ 5.2015.0040.01001=-?-=??-=V p W （２)()()222022 222V V p V V p W W W '-''?''--''-=''+'=，关键是确定中间态在2p '下的体积2V ': 311220.025m L 8.24kPa 200K 298)K mol L kPa (315.8mol 0.2≈=?????=''='--p nRT V ()()kJ 5.3025.0040.0100015.0025.02002-=-?--?-=W (３) 4.9kJ J 4861015 .0040 .0ln 298315.80.2ln 1232 1 ≈=??-=-=-=?V V nRT pdV W V V 【２-3】在θ p 和885o Ｃ下，分解1．０mo ｌCaCO ３需耗热量16５kJ 。试计算此过程得。 和、H U W ?? Ca ＣO 3的分解反应方程式为32CaCO (s)=CaO(s)+CO (g) 解：? ? (s) CaCO 3(g)CO CaO(s)2+ 1θ m f m ol kJ /-??H ―１２０.69 ―6３5．１ ―39３.5 系统的标准摩尔焓变:1 θm r m ol kJ 3.1781206.9][393.5]635.1[-?=----=?H 系统对环境做功：kJ 6.9115810315.80.13 -=???-=?-=?-=-nRT V p W 等压热效应就是反应的焓变:kJ 165==?Q H
第六讲 等熵流动
3、理想气体流动基本方程 1）运动方程 0=+VdV dp ρ 2）等熵方程 k C p ρ= 3）状态方程 RT p ρ= 4）连续方程 m VA &= ρ 将等熵过程关系式带入运动方程，积分得到 C V p k k =+-2 12 ρ 此式为可压缩气体流动的伯努利方程。 注：绝热过程即可，不一定要求等熵流动。 5、一元气体等熵流动基本关系式 1）滞止参数 000,,T p ρ 2）一元气体等熵流动基本关系式 1 12012020]2 11[]2 1 1[2 1 1---+=-+=-+=k k k M k M k p p M k T T ρρ 3）临界参数 马赫数达到1时的流动参数称为临界参数，有 *** T p ρ 等。此时， 速度为音速。基本关系式如下：
634.0)1 2(528 .0)1 2(833.0)12()12(1 1 0*1 0*0*2 1 0*=+==+==+=+=--k k k k k p p k T T k a a ρρ 判断亚音速或超音速流的准则，临界一词的来源。 4）极限状态（最大速度状态） T=0的断面上，速度达到最大，m ax u T = 0，无分子运动，是达不到的。 2 12 max 00u p k k = -ρ ==> 0000max 21 2 12i kRT k p k k u =-=-= ρ 5) 不可压伯努利方程的限度 对于不可压伯努利方程 02 2 1p u p =+ρ 既有 12 120=-u p p ρ 对于可压缩伯努利方程 ... 48 )2(821... )21(!2)11(1)21(11)2 11(6 422 221 20+-+++=+----+--+=-+=-M k k M k M k M k k k k k M k k k M k p p k k 由于 2 22222 212121M kp kp a u kp kp u u ===ρρ
3、5定容过程、定压过程、定温过程和定熵过程
第4章 理想气体的热力过程 主要内容： 本章基本要求： 4.1定容过程 1．定义：气体在状态变化过程中比体积保持不变的过程。 2．过程方程式 v 为定值，dv=0 3．确定初终状态参数之间的关系 121212 v v v P P R T T v == ===常数 说明：定容过程中工质的绝对压力与绝对温度成正比，已知1122,,P T P T 或中任一个即可求得另一个终态的参数。 4、求过程中的熵 定比热容理想气体进行定容过程时，根据),(ln ln 310v T f C v R T c s g V =++=可知，温度和熵的变化保持如下关系： 10ln C T c s V '+=或0 1ex p V c C s T '-= 5．求过程中的,q w 根据特力学第一定律解析式 q d u p d v δ=+ ∵00021 ==?=?=?pdv w pdv dv v ∴q du δ=
Tds du T du ds T pdv du ds =?=?+= 12102 02121t c t c cVdT Tds q t V t V v -===∴?? 或1212u u w u u q v v -=+-= ?-=-=2 121,)(p p v vdp w v t 6．热力过程在P —V 图，T —S 图上表示 121 2.0T P S T u -↑→↑-?>↑?↑加热， 吸热， q>0 12'-↓→↓放热,T P 120S T u '-?<↓?↓ 方热， q<0 4.2定压过程 1．定义：工质在状态变化过程中压力保持不变的过程。 2．过程方程式 P =定值 3．初终态参数之间的关系 P =定值 p R T v g ==定值 说明：定压过程中工质的v T 与成正比 4．求过程中的熵
熵变知识
百度首页|登录熵变 熵变 1. 熵：体系混乱度(或无序度)的量度。S 表示熵 2. 热力学第三定律：对于纯物质的晶体，在热力学零度时，熵为零。 3. 标准熵：1 mol物质在标准状态下所计算出的标准熵值，用ST q 表示，单位：J?mol-1 ?K－1 4. 熵的规律： (1) 同一物质，气态熵大于液态熵，液态熵大于固态熵； ST q(g) > ST q(l) > ST q(s) S q H2O (g) > H2O (l) > H2O (s) (2) 相同原子组成的分子中，分子中原子数目越多，熵值越大； S q O2 (g) < S q O3 (g) S q NO (g) < S q NO2 (g) < S q N2O4 (g) S q CH2=CH2 (g) < S q CH3-CH3 (g) (3) 相同元素的原子组成的分子中，分子量越大,熵值越大； S q CH3Cl(g) < S q CH2Cl2 (g) < S q CHCl3(g) (4) 同一类物质，摩尔质量越大，结构越复杂，熵值越大； S qCuSO4(s) < S qCuSO4?H2O(s) < SqCuSO4?3H2O(s) < SqCuSO4?5H2O (s) S qF2(g) < S qCl2(g) < S qBr2(g) < SqI2 (g) (5) 固体或液体溶于水时，熵值增大，气体溶于水时，熵值减少； 5. 反应熵变的计算公式 一般地，对于反应：m A + n B =x C + y D DrSmq ＝ åSq,(生成物) - åSq,(反应物) ＝ [x Sq,C + y Sq,D] – [m Sq,A + n Sq,B] 6.热力学第二定律： 孤立体系（绝热体系）的自发过程是体系熵增加的过程，即： 状态I ® 状态II， SII > SI DS = SII - SI > 0 DS > 0，过程自发进行； DS < 0，逆过程自发进行； DS = 0，平衡状态 化学反应的标准摩尔熵变 对于化学反应而言，若反应物和产物都处于标准状态下，则反应过程的熵变，即为该反应的标准熵变。当反应进度为单位反应进度时，反应的标准熵变为该反应的标准摩尔熵变，以△rSm表示。与反应的标准焓变的计
等熵膨胀制冷
等熵膨胀制冷 高压气体绝热可逆膨胀过程，称为等熵膨胀。气体等熵膨胀时，有功输出，同时气体的温度降低，产生冷效应。这是获得制冷的重要方法之一，尤其在低温技术 领域中。常用微分等熵效应来表示气体等熵膨胀过程中温度随压力的变化，其定义为： （1） 因总为正值，故气体等熵膨胀时温度总是降低，产生冷效应。 对于理想气体，膨胀前后的温度关系是： （2） 由此可求得膨胀过程的温差 （3） 对于实际气体，膨胀过程的温差可借助热力学图查得，如图1所示。 图 1 等熵过程的温差 由于等熵膨胀过程有外功输出，所以必须使用膨胀机。当气体在膨胀机内膨胀时，由于摩擦、漏热等原因，使膨胀过程成为不可逆，产生有效能损失，造成膨胀机出口处工质温度的上升，制冷量下降。工程上，一般用绝热效率来表示各种不可逆损失对膨胀机效率的影响，其定义为： （4）
即为膨胀机进出口的实际比焓降Δh pr与理想焓降（即等熵焓降）Δh id之比。目前，透平式膨胀机的效率可达到0.75～0.85，活塞式膨胀机的效率达0.65～0.75。 比较微分等熵效应和微分节流效应两者之差为： （5） 因为υ始终为正值，故αs＞αh。因此，对于气体绝热膨胀，无论从温降还是 从制冷量看，等熵膨胀比节流膨胀要有效得多，除此之外，等熵膨胀还可以回收膨胀功，因而可以进一步提高循环的经济性。 以上仅是对两种过程从理论方面的比较。在实用时尚有如下一些需要考虑的因素：（1）节流过程用节流阀，结构比较简单，也便于调节；等熵膨胀则需要膨胀机，结构复杂，且活塞式膨胀机还有带油问题；（2）在膨胀机中不可能实现等熵膨胀过程，因而实际上能得到的温度效应及制冷量比理论值要小，这就使等熵膨胀过程的优点有所减小；（3）节流阀可以在气液两相区工作，但带液的两相膨胀机（其带液量尚不能很大）；（4）初温越低，节流膨胀与等熵膨胀的差别越小，此时，应用节流较有利。因此，节流膨胀和等熵膨胀这两个过程在低温装置中都有应用，它们的选择依具体条件而定。 单一气体工质布雷顿循环 布雷顿(Brayton)制冷循环又称焦耳(Joule)循环或气体制冷机循环，是以气体为工质的制冷循环，其工作过程包括等熵压缩，等压冷却，等熵膨胀及等压吸热四个过程，这与蒸气压缩式制冷机的四个工作过程相近，两者的区别在于工质在布雷顿循环中不发生集态改变。历史上第一次实现的气体制冷机是以空气作为工质的，称为空气制冷机。除空气外，根据不同的使用目的，工质也可以是CO2，N2，He 等气体。 （1）无回热气体制冷机循环 图2示出无回热气体制冷机系统图。气体由压力p0被压缩到较高的压力p c，然 后进入冷却器中被冷却介质（水或循环空气）冷却，放出热量Q c，而后气体进入膨胀机，经历作外功的绝热膨胀过程，达到很低的温度，又进入冷箱吸热制冷。循环就这样周而复始地进行。 在理想情况下，我们假定压缩过程和膨胀过程均为理想绝热过程，吸热和放热均为理想等压过程（即没有压力损失），并且换热器出口处没有端部温差。这样假设后的循环称为气体制冷机的理论循环，其压容图及温熵图如3所示。图中T0 是冷箱中制冷温度，T c是环境介质的温度，1－2是等熵压缩过程，2－3是等压 冷却过程，3－4是等熵膨胀过程，4－1是在冷箱中的等压吸热过程。
热力学公式总结
第一章 气体的pVT 关系 主要公式及使用条件 1. 2. 3. 理想气体状态方程式 nRT RT M m pV ==)/( 或 RT n V p pV ==)/(m 式中p ，V ，T 及n 单位分别为Pa ，m 3，K 及mol 。 m /V V n =称为气体的摩尔体积，其单位为m 3 · mol -1。 R =8.314510 J · mol -1 · K -1，称为摩尔气体常数。 此式适用于理想气体，近似地适用于低压的真实气体。 4. 气体混合物 （1） 组成 摩尔分数 y B (或x B ) = ∑A A B /n n 体积分数 / y B m,B B * =V ?∑* A V y A m ,A 式中∑A A n 为混合气体总的物质的量。A m,* V 表示在一定T ，p 下纯气体A 的摩尔体积。∑*A A m ,A V y 为在一定T ，p 下混合之前各纯组分体积的总和。 （2） 摩尔质量 ∑∑∑===B B B B B B B mix //n M n m M y M 式中 ∑=B B m m 为混合气体的总质量，∑=B B n n 为混合气体总的物质的 量。上述各式适用于任意的气体混合物。 （3） V V p p n n y ///B B B B * === 式中p B 为气体B ，在混合的T ，V 条件下，单独存在时所产生的压力，称为
B 的分压力。* B V 为B 气体在混合气体的T ，p 下，单独存在时所占的体积。 5. 道尔顿定律 p B = y B p ，∑=B B p p 上式适用于任意气体。对于理想气体 V RT n p /B B = 6. 阿马加分体积定律 */B B V n RT p = 此式只适用于理想气体。 第二章 热力学第一定律 主要公式及使用条件 1. 热力学第一定律的数学表示式 W Q U +=? 或 'amb δδδd δdU Q W Q p V W =+=-+ 规定系统吸热为正，放热为负。系统得功为正，对环境作功为负。式中 p amb 为环境的压力，W ’为非体积功。上式适用于封闭体系的一切过程。 2. 焓的定义式 3. 焓变 （1） )(pV U H ?+?=? 式中)(pV ?为pV 乘积的增量，只有在恒压下)()(12V V p pV -=?在数值上等于体积功。 （2） 2 ,m 1d p H nC T ?=? 此式适用于理想气体单纯pVT 变化的一切过程，或真实气体的恒压变温过程，或纯的液体、固体物质压力变化不大的变温过程。 4. 热力学能(又称内能)变 pV U H +=2 ,m d V U nC T ?=
第六讲等熵流动
3、理想气体流动基本方程 1）运动方程 0=+VdV dp ρ 2）等熵方程 k C p ρ= 3）状态方程 RT p ρ= 4）连续方程 m VA =ρ 将等熵过程关系式带入运动方程，积分得到 C V p k k =+-2 12 ρ 此式为可压缩气体流动的伯努利方程。 注：绝热过程即可，不一定要求等熵流动。 5、一元气体等熵流动基本关系式 1）滞止参数 000,,T p ρ 2）一元气体等熵流动基本关系式 1 12012020]2 11[]2 1 1[2 1 1---+=-+=-+=k k k M k M k p p M k T T ρρ 3）临界参数 马赫数达到1时的流动参数称为临界参数，有 *** T p ρ 等。此时， 速度为音速。基本关系式如下：
634.0)1 2(528 .0)1 2(833.0)12()12(1 1 0*1 0*0*2 1 0*=+==+==+=+=--k k k k k p p k T T k a a ρρ 判断亚音速或超音速流的准则，临界一词的来源。 4）极限状态（最大速度状态） T=0的断面上，速度达到最大，m ax u T = 0，无分子运动，是达不到的。 2 12 max 00u p k k = -ρ ==> 0000max 21 2 12i kRT k p k k u =-=-= ρ 5) 不可压伯努利方程的限度 对于不可压伯努利方程 02 2 1p u p =+ρ 既有 12 120=-u p p ρ 对于可压缩伯努利方程 ... 48 )2(821... )21(!2)11(1)21(11)2 11(6 422 221 20+-+++=+----+--+=-+=-M k k M k M k M k k k k k M k k k M k p p k k 由于 2 22222 212121M kp kp a u kp kp u u ===ρρ
普通化学各章总结重点
2014 第一章 热化学与能源 一、总体要求： 1.了解若干热力学基本概念和反应热效应q 的测定; 2.理解热化学定律及其应用；掌握反应的标准摩尔焓变的近似计算； 3.了解能源的概况和我国能源的特征，及可持续发展战略。 1. 重要概念： 状态函数（什么量是状态函数，什么量不是状态函数？）； 热力学标准态（标准浓度、标准压力）； 反应进度（ξ）； 标准摩尔生成焓（据其定义会表示和计算Δf H θ m ；注意稳定态单质的为零； 2. 盖斯定律（注意使用条件）； (1)盖斯定律的推论：若化学反应相加减，则其反应热也随之相加减（注意：方程式乘以某一系数，反应热也随之乘以某一系数；方程式方向改变，反应热符号随之改变）。 (2)反应的标准摩尔焓变的计算 △r H m θ (298.15K)的计算公式； 注意事项 （1）生成物-反应物 （2）公式中化学计量数与反应方程式相符 （3）注意Δf H θ m 的正、负值 （4）反应的标准摩尔焓变温度影响 )K 15.298()(m r m r H T H ?≈?
第二章、化学反应的基本原理与大气污染 一、 总体要求： 1.理解并掌握促使化学反应能够进行的动力是什么？并会计算。 2.理解并掌握化学反应能够进行的程度有多大，如何表述和计算。 3.理解并掌握化学反应进行的快慢程度怎样，如何描述和表征。 4.了解大气污染物分类、性质及对大气造成的影响，了解清洁生产和绿色化学熵的概念和反应的标准摩尔熵变S （0K ）＝0（注意稳定态单质的不为零）; 物质的标准熵值S θ m 大小规律； 反应标准摩尔熵变Δr S θ m （298.15K ） 的计算公式 注意： 吉布斯函数；反应标准摩尔吉布斯函数变（1）G = H –TS ΔG = Δ H –T Δ S （2）吉布斯判椐ΔG < 0 ，自发过程，过程能向正方向进行 ΔG = 0 ，平衡状态ΔG > 0 ，非自发过程，过程能向逆方向进行 Δ H 、Δ S ΔG 符号的影响（据Δ H 、Δ S 的值判断方向或已知方向判断Δ H 、Δ S 的值）反应标准摩尔吉布斯函数变的计算 Δr G θ m (298.15 K)的计算：Δf G θm (物质，298.15 K)计算 利用△r H m θ(298.15K)和Δr S θ m （298.15K ）求算：Δr G θ m (298.15 K)= △r H m θ(298.15K)－298.15×Δr S θ m （298.15K ） Δr G θ m (T)的计算： Δr G θ m (T)≈△r H m θ (298.15K)－T ×Δr S θ m （298.15K ）标准平衡常数k θ c θ pp θ k θ只是温度的函数,温度一定, k θ为一常数,不随浓度或压力而变。k θ 表达式, ) K 15.298()(m r m r S T S ?≈?) 15.298()15.298(K S K H T m r m r c θ θ ??≈