北师版新课标高中数学必修一教案 《指数函数及其性质》

《指数函数及其性质》

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质．

2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质．

3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．

【教学重点】

掌握指数函数的概念和性质．

【教学难点】

用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．

（一）创设情景，揭示课题

1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？

2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？

3．（备选引例）

（1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x 次后，衣服上的残留污垢y 与x 的函数关系是什么？

（2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．

○1 按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

○

2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○

3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ （3）上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y =1．073x （x ∈N *，x ≤20）能否构成函数？

（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？

提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？ （二）研探新知

1．指数函数的概念

一般地，函数(0,1)x

y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：

○

1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○

2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决．（教材P 68例2．3） 2．指数函数的图像和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：

思考1：在同一坐标系中画出下列函数的图像：

（1）1()3x y = （2）1

()2

x y =

（3）2x

y = （4）3x y = （5）5x y =

思考2：从画出的图像中你能发现函数2x

y =的图像和函数1

()2

x y =的图像有什么关系？可否利用2x

y =的图像画出1()2

x y =的图像？

思考3：从画出的图像（2x

y =、3x

y =和5x

y =）中，你能发现函数的图像与其底数之间有什么样的规律？

思考4：你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？

图像特征

函数性质

1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<

向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图像关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图像都在x 轴上方 函数的值域为R +

函数图像都过定点（0，1） 1a 0=

自左向右看， 图像逐渐上升 自左向右看，

图像逐渐下降 增函数

减函数

在第一象限内的图像纵坐标都大于1 在第一象限内的图像纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>

在第二象限内的图像纵坐标都小于1 在第二象限内的图像纵坐标都大于1 1a ,0x x << 1a ,0x x ><

图像上升趋势是越

图像上升趋势是越

函数值开始增长较

函数值开始减小极

思考5：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：

（1）在[a ，b ]上，()(01)x

f x a a a =>≠且值域是[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a ； （2）若0x ≠，则()1f x ≠；()f x 取遍所有正数当且仅当x R ∈； （3）对于指数函数()(01)x f x a a a =>≠且，总有(1)f a =； （三）例题讲解

例1．判断下列函数是否为指数函数？

321(1)(2)(1)(3)2x x y x y a y +==+=

2

(4)5

(5)3(6)41x x

x y y y -===+

问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？

例2．已知函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）的图像过点（3， π

），求f （0）， f （1）， f （-3）的值．

问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． （四）课堂练习

教材对应习题． （五）课堂小结

本节主要学习了指数函数的图像，及利用图像研究函数性质的方法． （六） 布置作业 教材对应习题． 略．