知识点一(极限与连续)

求极限的常用方法

③ 利用两个重要极限

01 、由重要极限及变量替换可以求下列极限：

0sin ()

lim 1,()x x x x ??→=01()

lim 1

()

,

x x x x e

()()

lim 1

()

.

g x x A x

x x e

1

()(()1)()

()1

lim ()

lim[1()1]

.

g x f x g x A f x x x x x f x f x e ??--→→=+-=

其中

lim ()(f(x)1).

x x g x A →-=.

④ 利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限

1~ln (0,1)x a x a a a ->≠；()11~(0x x α

α

α+-≠的常数），等等.

⑥ 利用极限的和、差、积、商运算法则.

lim n

n a n

→∞

+

+=2

lim n n a →∞

=3、 连续函数

(1）函数)(x f 在0x 处连续定义的三种不同表达形式是 ①000

lim lim[()()]0;x x y f x x f x →→?=+?-=

②0

0lim ()();x x f x f x →=

③0,0>?>?δε，使当δ<-||0x x 时，ε<-|)()(|0x f x f .

(2）连续函数的和、差、积、商在它们共同有定义的区间仍为连续函数. (3）连续函数的复合函数仍为连续函数. (4）单调连续函数有单调连续的反函数. (5）一切初等函数在其定义区间内都连续.

(6）闭区间]b a,[上的连续函数)(x f 有下列重要性质：

①)(x f 必在]b a,[上有界且取得最大值M 与最小值m （有界、最大、最小值定理） ②)(x f 必在]b a,[上取得介于)a (f 与)b (f 之间的任何值（介值定理）； ③)(x f 必在]b a,[上取得最大值M 与最小值m 之间的任何值；

④如果0)b ()a (

典型例题：

例2. 收敛，并求其极限。 证明：设该数列通项为

n

x ，则

2n x +=，令

()f x =，

则

f(2)=2

，

()()()22,22n n n n x f x x f x f ++=-=-，由拉格朗日中值定理得：

存在ξ介于x ，2之间，使得

()()()()'22f x f f x ξ-=-，

(

)1

f

x =、

，

()()()'2222n n n n x f x f f x ξ+∴-=-=-，由题意得

07n x <<，

(

)07,1

n n f ξξ∴<<=

<

<、 即()'n f α

ξ=，则222,01n n x x αα+-=-<<

12222,k k x x α-∴-=-

由122022k k x x α-≤-=-且12lim 20k k x α-→∞

-=，

由夹逼定理得2lim

20k k x →∞

-=即2lim 2n n x →∞

=，同理可得21lim 2n n x -→∞

=

，

练习：

1、 利用极限四则运算法则

1 20x → 43

2 sin 2

01sin cos ,0

()0,0x t dt x f x x

x ?≠?=??=?

? 讨论它的连续性 不连续 2、 利用两个重要极限求极限

1、20lim(lim cos

cos ...cos )222

n x n x x x

→→∞ 1

2、当常数 0a ≠，lim(

)n

n n a n a

→∞+- 2a 3、21lim(sin cos )x x x x

→∞+ 2

e

3、利用洛必达法则求未定式极限

1、2

2301lim sin 2x x x e x x -→-- 116

-

2

、0

1

)ln(1)

x x →+ 12-

3、2

10arctan lim(

)x x x x

→ 13e -

4、21lim(sin )n n n n

→∞ 16

e -

4、利用等价无穷小

1、2222

0ln(sin )lim ln()x x x x e x x e x →+-+- 1

2

、4

0x x → 4

5、利用左右极限的关系求极限

1、11011lim arctan 1x x

x e e x →+- 2

π

2、（00数一5）1402sin lim(

)1||

x x x e x

e x →+++ 1 3

、12

,0()0,00

x e x x f x x x -?>?==?< 1

2

6、利用函数的极限求极限 1、ln lim

n n

n

→∞ 0

2

、lim n (1)a > 0

7、利用夹逼法则求极限 1、111...1121n x n n n n

=

++++++ 求极限 1 2、设0i a > 求11

lim (

)k

n n

i

n i a

→+∞

=∑和11

lim ()k

m m i m i a →-∞

=∑ 答案：1max i i k a ≤≤ 1min i i k

a ≤≤

3、1

lim

()n n x f x dx →∞?

其中 ()f x 在 [0,1]上连续 0

8、利用导数的定义求极限 1、()lim

x a

f x b A x a →-=-，求sin ()sin lim x a f x b

x a

→-- cos A b

2、()f x 在x a =处可导，()0f a >，求(1)lim (

)()

n

n f a n f a →+∞

+ e

3、01lim [()()]x x x f t f t x a a →+-- 2

()f t a

' 9、利用定积分求和式的极限

1

、1lim n n

→∞

π

2、2sin sin sin lim[

...]1121n n

n n n n n n n πππ

→∞++++++ 2π

3、111

lim[

...]12n n n n n

→∞

++++++ ln 2 10、利用单调有界准则求极限 1

、0(1,2,...)n x a n =

>= 求极限

12

+ 11、利用泰勒公式求极限 1

、0

(cos )sin x x e x →- 112

-

2、222246

1lim

[cos sin (1)]x x x x x x →-- 2245

练习提高：

1、（08数学一 9）40[sin sin(sin )]sin lim x x x x x →- （提示：用等价无穷小代换或洛必达法则 ）1

6 ；

2、(06数一)

0ln(1)

lim

1cos x x x x

→+- （提示：用等价无穷小代换） 2 3、（06数一数二 12）数列{}n x 满足110,sin n n x x x π+<

<=，（1）证明{}n x 极限存在，并求之；（2）

求2

11lim(

)n x n n n

x x +→∞

（提示：1、利用单调有界公理，2、利用重要极限）1、0，2、16e - 4、（03数一4）21ln(1)

lim(cos )

x x x +→ （提示：先写成指数形式）

5、（00数一12）1402sin lim(

)1||

x x x e x

e x →+++ （提示：讨论左右极限） 1 6、（07数三 4）323

1

lim

(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++ 0

7、（06数三4）

(1)1lim(

)n

n n n

-→∞+ 1

8、（05数三12）011lim()

1x x x e x -→+-- （提示：用洛必达法则） 3

2 9、（05数三4）0sin lim (cos )5x x x

x b e a

→-=-，则a= b= 1,4-

10、（04数三9）

22201cos lim()sin x x x x →- 4

3

11

、设1103,1,2,...)n x x n +<

<==，证明数列{}n x 的极限存在，并求极限。

（提示：用单调有界公理，

3a a =- 3

2

a =

） 12、求极限sin sin sin lim(

)sin x

t x t x t x

-

→，求极限()f x ，并指出其间断点的类型。 （

sin ()x x

f x e = ，0x =可去间断点，()x k k Z π=∈为第二间断点）

13、11

lim ln x x x x x

→- 1

14、30

12cos lim

[()1]3x x x x →+- 1

6

-

15（08数三4）设函数21,()2,x x c

f x x c x ?+≤?

=?>??

在(,)-∞+∞内连续，则c = . 1

16、（08数三10）求极限20

1sin lim

ln

x x

x x

→. 解： 220

01sin 1sin lim

ln lim ln 11x x x x x x x x →→??=+- ???

300sin sin 1

lim lim 66x x x x x x x →→-==-=- 17、（05数三4）极限12sin lim 2+∞→x x

x x = 2

18、(05数三9) 求).1

11(lim 0x

e x x x --+-→ 32

题型一 无穷小及其阶

1、（09数1，2，3）（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，

（A ）11,6a

b ==-

（B ）11,6a b ==（C ）11,6

a b =-=- （D ）1

1,6

a b =-=

（A ） 2、当0x →时，函数sin 20

()sin x

f x t dt =

?

与34()g x x x =+比较是 （ ）的无穷小

（A ）等价 （B ）同阶非等价 （C ）高阶 （D ）低阶 （B ）

3、设0,0αβ>>为任意正数，当x →+∞时，将1,1ln ,x

x x e

α

β

-按从低阶到高阶的顺

序排列。 答案：1ln ,1,x

x x e β

α

- 4、当0x →时，213

(1)ax +与cos 1x -是等价无穷小，则a =________ 32-

5、（07数一4）当0x +

→时，

等价的无穷小量是 应选(B).

(A)

1-

(B) .

(C) 1.

(D) 1- 【 】

6、（04数一4）把+

→0x 时的无穷小量2

cos ,x

t dt α=

?

，2

,x β=?

30t dt

γ=使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ]

题型三 讨论函数的连续性与间断点的类型

1、 求函数 tan(4)

()(1)

x

x f x x π-=+在(0,2)π内的间断点，并判断类型2、

2、 （09数二，数三）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断的个数，则 （ ）

（A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）无穷多个 【答案】（C

3、2,1()1,1x x f x x x ?≤=?->?，,2()2(1),253,5

x x g x x x x x ≤?

?

=-<≤??+>?

讨论(())y f g x =的连续性并指出间断

点的类型 答案：1x = 是第一间断点

4、（08数三4） 设函数()f x 在[1,1]-上连续，则0x =是0

()()x

f t dt

g x x

=

?的

（A ）跳跃间断点 （B ）可去间断点 （C ）无穷间断点 （D ）震荡间断点 【答案】B 5、（07数一 4）设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： 【答案】 应选(D).

(A) 若0()lim

x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()

lim x f x f x x

→+-存在，则f (0)=0.

(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则(0)f '存在