北京丰台区第二中学数学分式解答题(篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20

天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2

3

，公司需付甲工厂加工费用为

每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．

【解析】

【分析】

（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．

（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．

【详解】

（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，

则：解得：x＝16

经检验，x＝16 是原分式方程的解

∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品

（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天

需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元

方案二：乙工厂单独完成此项任务，则

需要的时间为：960÷24＝40 天

需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元

方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则

16a+24a＝960

∴a＝24

∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元

综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．

【点睛】

本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方

案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案． 2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：

(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x

+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x

++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．

【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25

【解析】

【分析】

（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x

＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x

++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

【详解】

解：（1）当x ＞0时，112x x x x +

≥?= 当x ＜0时，11x x x x ??+=--- ??

? ∵()1122x x x x ??--≥-?-= ???

∴12x x ?

?---≤- ???

∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x

+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x

++==++ ∵x ＞0，

∴163311y x x =+

+≥= 当16x x

= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9

则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD

∴x ：9=4：S △AOD

∴：S △AOD =36x

∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．

【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．

3．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？

【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元

【解析】

试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；

（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．

试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23

x 天．

根据题意，得201160()12233

x x x ++=，解得：x =180．

经检验，x =180是原方程的根，∴

23x =23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有11(

)1120180

y +=，解得 y =72． 需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．

∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．

点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．

4．阅读下面的解题过程： 已知2112x x =+，求2

41

x x +的值。 解：由2112x x =+知x ≠0，所以2112,2x x x x

+=+=即 ∴2

422221112222x x x x x x +??=+=+-=-= ???，故241x x +的值为12 评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目 已知2117x x x =-+，求2

421

x x x ++的值。 【答案】

163

． 【解析】

【分析】 首先根据解答例题可得21x x x -+=7，进而可得x +1x =8，再求2

421

x x x ++的倒数的值，进而可得答案．

【详解】 ∵21x x x -+=17，∴21x x x

-+=7，x +1x =8． ∵4221x x x ++=x 2+21x +1=（x +1x ）2﹣2+1=82﹣1=63，∴2

421x x x ++=163

． 【点睛】

本题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答．

5．阅读后解决问题：

在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x

+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：

小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．

因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．

小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．

（1）小明与小强谁说的对，为什么？

（2）关于x 的方程

11222mx x x

-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．

【解析】

【分析】 (1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,

(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,

解得:x =﹣

22m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】

解:（1）小强的说法对,理由如下:

解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2,

因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2,

同时a ﹣2≠1,即a ≠3,

则a 的范围是a ＞2且a≠3,

（2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4,

整理得:（m ﹣2）x =﹣2,

当m ≠2时,解得: x =﹣22

m -,

由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,

解得:m =3,4,0.

【点睛】

本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.

6．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：

（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；

（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；

（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．

为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．

【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．

【解析】

试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．

试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1133()144

x x

x x -+

+=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．

∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．

∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．

A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．

答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．

7．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．

（1）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗；

（2）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵a 元，是否存在正整数a ，使得每本硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1））不能买到；（2）存在，a 的值为3或9．

【解析】

【分析】

【详解】

解：（1））设每本软面笔记本x 元，则每本硬面笔记本（x+1.2）元，由题意，得 12211.2

x x =+， 解得：x=1.6． 此时12211.6 1.2 1.6

=+=7.5（不符合题意）， 所以，小明和小丽不能买到相同数量的笔记本；

（2）设每本软面笔记本m 元（1≤m≤12的整数），则每本硬面笔记本（m+a ）元，由题意，得

1221m m a

=+， 解得：a=

34

m ， ∵a 为正整数，

∴m=4，8，12．

∴a=3，6，9． 当86m a =??=?时，1221 1.5m m a ==+（不符合题意） ∴a 的值为3或9．

8．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；

（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．

【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

【解析】

【分析】

关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．

【详解】

解：设规定日期为x 天．由题意得

66611212

x x x x -++=++， ∴6112

x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，

∴12x =；

经检验：x=12是原方程的根．

方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；

方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；

方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．

∵28.8＞26.4，

∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．

9．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．

（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？

（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？【答案】（1）商家购进的第一批恤是40件；（2）每件恤的标价至少40元．

【解析】

【分析】

（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；

（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．

【详解】

（1）解：设购进的第一批恤是x件．

由题意，得12002800

5

2

x x

=-

解得x＝40．

经检验，x＝40是所列方程的解．

所以商家购进的第一批恤是40件．

（2）设每件的标价是y元

由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）

解得y≥40．

即每件恤的标价至少40元．

【点睛】

本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．

10．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：

（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？

（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购

（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．

【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台

【解析】

【分析】

（1）可设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可； （2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n 的范围，即可确定出购买方案；

（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．

【详解】

解：（1）设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有

20x ＝400.3x ×2， 解得x ＝0.1，

x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．

答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；

（2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，依题意有

0.10.4(50)1031s

n n n +-???， 解得31≤n≤33

13

， ∵n 为整数， ∴n 取31，32，33，

∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；

（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，

（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520

＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520

＝7720﹣2520

＝5200（元），

不符合题意，舍去；

②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，

（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520

＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520

＝7520﹣2520

＝5000（元），

符合题意；

③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，

（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520

＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520

＝7320﹣2520

＝4800（元），

不符合题意，舍去．

综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．

【点睛】

此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．