相似三角形分类整理(超全)

第一节

：相似形与相似三角形

基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

已知a ∥b ∥c,

A D a

B E b

C F c

可得

EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

D E

B C

由DE ∥BC 可得：AC AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB

AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d

，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质

①比例的基本性质：如果

b a =，那么ad=b

c 。如果ad=bc （a ，b ，c ，

d 都不等于0），那么

c b a =。 ②合比性质：如果

d c b a =，那么d

d c b b a ±=±。

图1

D E

图2

图3

③等比性质：如果

d c b a ==???=n

(b+d+???+n ≠0)，那么b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.

典例剖析

例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.

② 若

b a =3

2 则b b a +=__________.

③ 若 b a b a -+22=5

则a ：b=__________.

3．相似三角形的判定

（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。（3）三边对应成比例的两个三角形相似。补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

【基础练习】

（1）如图1，当时，△ABC ∽ △ADE

（2）如图2，当时， △ABC ∽ △AED 。（3）如图3，当时， △ABC ∽ △ACD 。

A B

E A

小结：以上三类归为基本图形：母子型或A 型

（3）如图4，如图1，当AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。（4）如图5，当时，则△ ∽△ 。

小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X 型

典例剖析

例1：判断

①所有的等腰三角形都相似．（） ②所有的直角三角形都相似．（） ③所有的等边三角形都相似．（） ④所有的等腰直角三角形都相似．（）例2：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F

求证： △ABF ∽ △CAF.

例3：如图：在Rt △ ABC 中， ∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若 AB=6 ；AD=2；则AC= ；BD= ；BC= ；

例3：如图：在Rt △ ABC 中， ∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若E 是BC 中点，ED 的延长线交BA 的延长线于F ，求证：AB : AC=DF : BF

D E C

C B E A

D C'B'

A'E'