计算方法简明教程习题解析(同名48868)
计算方法简明教程习题解析(同名48868)
第一章 绪论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*
x 的相对误差为*****
r
e x x e
x x δ-=
==
而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n
x 的相对误差。
解：设()n
f x x =，则函数的条件数为'()
|
|()
p
xf x C
f x =
又1
'()n f x nx
-=,
1
||n p x nx C n
n
-?∴==
又
((*))(*)
r p r x n C x εε≈?
且(*)r
e x 为2
((*))0.02n r x n
ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*
1
1.1021
x
=,*2
0.031
x
=,
*3385.6
x =,
*456.430x =,*57 1.0.
x =?
解：*
1
1.1021
x
=是五位有效数字；
*20.031x =是二位有效数字； *3385.6
x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.
x =?是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)
***124
x x x ++,(2)
***123
x x x ,(3)
**
24
/x x .
其中*
*
**1
2
3
4
,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：
*4
1*
3
2*
1
3*
3
4*
1
51()1021()1021()1021()1021()102
x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=?
***
124***1244333
(1)()()()()
111
1010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=?
***
123*********123231132143
(2)()
()()()
111
1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈
**
24****
24422
*
4
33
5
(3)(/)
()()
11
0.0311056.430102256.43056.430
10x x x x x x x εεε---+≈
??+??=
?=
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为3
43
V R π= 则何种函数的条件数为
23'43
43
p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)
r p r r V C R R εεε∴≈=
又
(*)1
r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为
1
(*)10.33
3
r
R ε=?≈ 6．设0
28
Y
=，按递推公式1n
n Y
Y -= （n=1,2,…）
计算到100Y
27.982
≈（5位有效数字），试问
计算100
Y 将有多大误差？
解：
1n n Y Y -=
10099Y Y ∴=
9998Y Y =
9897Y Y =……
10Y Y =
依次代入后，有100
0100Y Y =-
即100
0Y
Y =， 27.982
≈, 100
027.982
Y
Y ∴=-
*
3
10001()()(27.982)102
Y Y εεε-∴=+=?
100
Y ∴的误差限为3
1102
-?。 7．求方程2
5610
x x -+=的两个根，使它至少具有4
27.982
=）。 解：2
5610
x x -+=，
故方程的根应为1,2
28x
=故
1282827.98255.982
x =≈+=
1
x ∴具有5位有效数字
211
280.017863
2827.98255.982
x =-=≈
=≈+
2
x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求12
1
1N N
dx x ++?？
解 12
1
arctan(1)arctan 1N N
dx N N x
+=+-+?
设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=
1
22
11arctan(tan())
tan tan arctan
1tan tan 1arctan
1(1)1
arctan 1
N N dx x N N
N N
N N αβ
αβαβ
αβ++=-=--=++-=++=++?
9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2
1cm ？
解：正方形的面积函数为2
()A x x =
(*)2*(*)
A A x εε∴=.
当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则2
1(*)102
x ε-≤? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2
1cm
10．设2
12
S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1
±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，
而相对误差却减少。 解：
2
1,02
S gt t =
> 2
(*)(*)
S gt
t εε∴=
当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
2*2*
(*)(*)*
(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t
εεεε==
=
当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。
11．序列{}n
y 满足递推关系1101
n
n y
y -=- (n=1,2,…),
若0
1.41
y
=≈（三位有效数字），计算到10
y 时误差有
多大？这个计算过程稳定吗？ 解：
02 1.41
y =≈
2
01
(*)102
y ε-∴=?
又1
101n
n y y -=- 1
101y y ∴=-
1
(*)10(*)y y εε∴=
又2
1
101y y =- 2
1
(*)10(*)y y εε∴=
220(*)10(*)......
y y εε∴=
10100102
8(*)10(*)1
101021
102
y y εε-∴==??=?
计算到10
y 时误差为8
1102
?，这个计算过程不稳定。
12．计算6
1)f =
≈1.4
，利用下列等式计算，
哪一个得到的结果最好？
,
3
(3-,
，
99-
解：设6
(1)y x =-，
若x =*
1.4
x =，则*
1
1102
x -ε()=?。
计算y 值，则
**
*7
**
*7
**1(1)
6(1)
y x x y x x y x ε()=--6?ε()+ =
ε()+ =2.53ε()
若通过3
(3-计算y 值，则
**2****
**(32)6
32y x x y x x
y x ε()=-3?2?-ε() =
ε()- =30ε()
计算y 值，则
***4
**
*7
**1
(32)
1(32)
y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?
ε()+ =1.0345ε()
计算后得到的结果最好。
13
．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函
数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价
公式。ln(ln(x x =-
计算，求对数时误差有多大？
解
()ln(f x x =
, (30)ln(30f ∴=
设(30)
u y f ==
则*
u
=29.9833
*4
1
2
u -∴ε()=?10
故
***
*3
1
0.0167
y u u
u -1
ε()≈-ε()30- =
ε()
≈3?10
若改用等价公式
ln(ln(x x =-
则(30)ln(30f =-+
此时，
***
*7
1
59.9833y u u
u -1
ε()=∣-∣ε()30+ =
?ε()
≈8?10
第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2
4A r
π=计算其表面积,这个近似看为球体的过
程产生的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:
12
222...q q π=?
?? 其中
11
2,3,...
n q q n +?=??
==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得
3.141587725...π≈
这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23
解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字?
81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字?
解: 已知4
31
1
d 10,d 102
2
a b --
又0.2053210a b +=?,
()4332111
10100.551010222
d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?
所以a b +有三位有效数字;
因为0.1047571410a b ?=?,
()4332111
0.94710 1.1062100.600451010222
d a b b da a db ----?=+=??+??=?
所以a b ?有三位有效数字
.
6. 设1
20.9863,0.0062
y
y ==,是经过舍入后作为1
2
,x x 的近
似值.求1
2
11
,y y
的计算值与真值的相对误差限及1
2
y y ?与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41
1
1
2
221211
d ,d ,d =10,d 1022
x y x x
y x x x =+=+?=?,
()4
4111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x x
x x x y --???==≈=≈? ???
;
()4
2222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x x
x x x y --???==≈=≈? ???
;
()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---?=+≈?+?≈?.
7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2. 解: 设正方形面积为
S,边长为a,则S=a 2.所以要使:
2d d 2d 1
s a a a ==≤,则要求
211
d 0.5102200
a a -≤
==?.所以边长的误差不能超过20.510-?cm.
8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ?将有多大误差? 解: ()()1d sin cos d cos 45022???*
''?
?'''== ???
.
9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式2
12
s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
证明: 因为:2
2
1
d d d d d d d ;2.12
2
s gt t gt t t s gt
gt t s s t gt ??===== ??
? d s 与t 成正比,
d s s
与t
成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x x δ==.
11. 设x 的相对误差为%α,求n
x 的相对误差.
解: 1d d d %n n n n x nx x n x
n x x x
α-===.
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何?
解: 已知3
4
3
V R π=,设()d dr R
R a R ==,则要使得
()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V =
=======,则1
1%3
a =?.