第四次：高中文科数学平面向量知识点整理

高中文科数学平面向量知识点整理

1、概念

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0

向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .

（ 2

2

2

222||,||a x y a a x y =

+==+。

）

零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O .

【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______

2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连 ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则．),(1212y y x x --= （1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____； ③()()AB CD AC BD ---=_____

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；

当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→

=-，则点P 的坐标为_______

5、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，

（0b ≠）22()(||||)a b a b ??=。 【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同 6、向量垂直：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-12120x x y y ?+=. 【例题】(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = 7、平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，

a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2a a a a ?==或a a a =?．③

a b a b ?≤．

⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =，则2

22a x y =+，或22a x y =

+．

设()11,a x y =，()22,b x y =，则a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

则a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2＝ x 2y 1.

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

12122

22

21

1

22

cos a b a b

x y

x y

θ?=

=

++；（注||||||a b a b ?≤）

（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________ （2）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ （（3）已知)2,(λλ=→

a ，

)2,3(λ=→

b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______

8、b 在a 上的投影：即||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

【例题】已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______

2013年全国各地高考文科数学试题：平面向量

一、选择题

1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A

B AB -则与向量同方向的单位向量为

（ ）

A ．3

455?? ???

，-

B ．4355?? ???，-

C ．3455??- ???

，

D ．4355??- ???

，

2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在

CD 方向上的投影为 （ ）

A 32

B 315

C ．32

D ．315

3 （大纲卷）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则

（ ）

A ．4-

B ．3-

C ．-2

D ．-1 4 ．（湖南）已知a,b 是单位向量,a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____

A ．21-

B ．2

C ．21+

D ．22+

5 ．（2013广东卷（文））设a 是已知的平面向量且≠0a ,关于向量a 的分解,有如下四个命

题:

①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;

②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;

③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ; 上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于

（ ）

A ．2-

B ．2

C ．2-或2

D ．0

7 ．（辽宁卷（文））已知点()()()3

0,0,0,,,.ABC ,O A b B

a a ?若为直角三角形则必有

（ ）

A ．3

b a = B ．31

b a a

=+

C ．(

)3

3

10b a

b a a ??---= ??

?

D ．331

0b a b a a

-+--

= 8 ．（福建卷（文））在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为

（ ）

A ．5

B ．52

C ．5

D ．10

二、填空题

9 ．四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点

O ,AB AD AO λ+=,则λ=_____________.

10．（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中

点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为______.

11．（重庆卷（文））OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =-,则实数

k =____________.

12．（山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若

90o ABO ∠=,则实数t 的值为______

13．（浙江卷（文））设e 1.e 2为单位向量,非零向量b=xe 1+ye 2,x.y ∈R..若e 1.e 2的夹角为

6

π

,则|x|

|b|的最大值等于_______.

14．（安徽（文））若非零向量,a b 满足

32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.

15．（上海高考）已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别

为1a 、2a 、3a ;以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若

{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠,则()()

i j k l a a c c +?+的最小值是________.

16．（课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则

AE BD ?=________.

17．（课标Ⅰ卷）已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)=+-c ta t b ,若0?=b c

,则

t =_____.

18．（2013年高考北京卷（文））已知点(1,1)A -,(3,0)B ,(2,1)C .若平面区域D 由所有满足

AP AB AC

λμ=+10λμ≤≤≤≤（2，1）的点P 组成,则D 的面积为__________.

2012高考文科试题：平面向量

一、选择题

1.全国文9】ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，||2b =，则AD = （A ）1

133a b - （B ）2233a b -

（C ）3355a b - （D ）4455

a b - 2.【2012高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=

（A （B （C ）（D ）10 3.【2012高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b

B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|

4.【四川文7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使

||||

a b

a b =

成立的充分条件是（ ） A 、||||a b =且//a b B 、a b =- C 、//a b D 、2a b = 6.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —

12 (C) 1

2

(D)1 9.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-

1

2

B.x-1

C.x=5

D.x=0 10.【2012高考天津文科8】在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ ∈R 。若BQ

?CP

=-2，则λ=

（A ）1

3

（B ）23

C ）43

（D ）2

二、填空题

1.【新课标文15】已知向量,a b 夹角为45? ，且1,210a a b =-=；则_____b = 3.【湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =则

AP AC = .

4.【2012高考浙江文15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ?=________. 9.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则 （Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量b-3a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

2011高考文科平面向量

一．

选择题：

1.（安徽卷2）若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ ）

A ． （1，1）

B ．（－1，－1）

C ．（3，7）

D ．（-3,-7）

8.（海南卷9）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）

A. a ，b 方向相同

B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C. R λ?∈，

b a λ=

D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=

10.（湖南卷7）在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23-

B ．32-

C ．32

D ．2

3

11.（辽宁卷5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ ）

A ．722??

???，

B ．122?

?- ???

，

C ．(32)，

D ．(13)，

12.（山东卷8）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量

(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B

，的大小分别为（ ）

A ．ππ

63

，

B ．

2ππ36， C ．ππ36

，

D ．ππ33

，

15.（重庆4)若点P 分有向线段AB 所成的比为-13

，则点B 分有向线段PA 所成的比是

(A)-

32

(B)-

12

(C)

12

(D)3

二． 填空题：

1.（全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，

c 共线，则=λ ．

2.（北京)已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么b a ?的值为 ． 4.（湖南卷11）已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则+=_____________________. 5.（江苏卷5）a ，b 的夹角为120?，1a =，3b = 则5a b -= ．． 7.（江西卷16）如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：

A ．2AC AF BC +=

B ．22AD AB AF =+

C ．AC A

D AD AB ?=?

D ．()()AD AF EF AD AF EF ?=?

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．A 、B 、D 8.（陕西卷15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：

①若?=?，则=b c ．②若(1

)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

9.（上海卷5）若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为

3

π

，则a b += ． 10.（天津卷14）已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，

b ，若()=-

c a a b b ，则=c ．

A

B

D

E

C

F