高考数学-圆与方程
高考数学- 圆与方程
4.1圆的方程
一、确定圆的方程的方法
1、已知圆C1: (x+1) 2+(y-1) 2=1, 圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称, 则圆C2的方程为()
A. (x+2) 2+(y-2) 2=1
B. (x-2) 2+(y+2) 2=1
C. (x+2) 2+(y+2) 2=1
D. (x-2) 2+(y-2) 2=1
2、若不同两点P, Q的坐标分别为(a, b), (3-b, 3-a), 则线段PQ的垂直平分线l的斜率为; 圆(x-2) 2+(y-3) 2=1关于直线l对称的圆的方程为.
二、与圆有关的轨迹问题
3、已知两定点A(-2,0), B(1,0), 如果动点P满足|PA|=2|PB|, 则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
A. π
B. 8π
C. 4π
D. 9π
4、过圆C: (x-6) 2+(y-4) 2=8上一点A(4,6) 作圆的一条动弦AB, 点P为弦AB的中点.
(1) 求点P的轨迹方程;
(2) 设点P关于x=1的对称点为E, 关于y=x的对称点为F, 求|EF|的取值范围.
练习：
5、圆x2+y2-6x+4y=0的周长为()
A. π
B. 2π
C. 13π
D. 26π
6、若直线mx+2ny-4=0始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长, 则mn的取值范围是()
A. (0,1)
B. (0,1]
C. (-∞, 1)
D. (-∞, 1]
7、已知点A(1,2) 在圆x2+y2+2x+3y+m=0内, 则m的取值范围是.
8、已知x2+y2+(t+1) x+ty+t2-2=0表示一个圆.
(1) 求t的取值范围;
(2) 若圆的直径为6, 求t的值.
9、方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是()
A. 以(1, -2) 为圆心, 为半径的圆
B. 以(1,2) 为圆心, 为半径的圆
C. 以(-1, -2) 为圆心, 为半径的圆
D. 以(-1,2) 为圆心, 为半径的圆
10、若方程x2+y2+4kx-2y+5k=0表示圆, 则k的取值范围是()
A. < k< 1
B. k< 或k> 1
C. k=或k=1
D. k∈R
11、已知A(-2,0), B(1,0) 两点, 动点P不在x轴上, 且满足∠APO=∠BPO, 其中O为原点, 则P点的轨迹方程是()
A. (x+2) 2+y2=4(y≠0)
B. (x+1) 2+y2=1(y≠0)
C. (x-2) 2+y2=4(y≠0)
D. (x-1) 2+y2=1(y≠0)
12、方程y=-对应的曲线是()
13、如下图, 已知圆O的直径AB=4, 定直线l到圆心的距离为4, 且直线l垂直于直线AB. 点P是圆O上异于A、B的任意一点, 直线PA、PB分别交l于M、N两点.
(1) 若∠PAB=30°, 求以MN为直径的圆的方程;
(2) 当点P变化时, 求证: 以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.
4.2直线、圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系
一、圆的切线方程求法
14、已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切, 圆心在直线x+y=0上, 则圆C的方程为()
A. (x+1) 2+(y-1) 2=2
B. (x-1) 2+(y+1) 2=2
C. (x-1) 2+(y-1) 2=2
D. (x+1) 2+(y+1) 2=2
15、过直线y=x上的一点作圆(x-5) 2+(y-1) 2=2的两条切线l1、l2, 当直线l1、l2关于y=x对称时, 它们之间的夹角为()
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
16、过点A(4,1) 的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1), 则圆C的方程为.
17、过点A(4, -3) 作圆C: (x-3) 2+(y-1) 2=1的切线, 求此切线方程.
二、圆的弦长问题的求解
18、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()
A. B. 2 C. D. 2
19、已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0. 设该圆过点(3,5) 的最长弦和最短弦分别为AC和BD, 则四边形ABCD的面积为()
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
20、过点A(11,2) 作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦, 其中弦长为整数的共有()
A. 16条
B. 17条
C. 32条
D. 34条
三、数形结合的思想方法的应用
21、若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点, 则b的取值范围是()
A. [-1,1+2]
B. [1-2, 1+2]
C. [1-2, 3]
D. [1-, 3]
22、已知直线l: x-y+4=0与圆C: (x-1) 2+(y-1) 2=2, 则C上各点到l距离的最小值为.
23、设m, n∈R, 若直线l: mx+ny-1=0与x轴相交于点A, 与y轴相交于B, 且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2, O为坐标原点, 则△AOB面积的最小值为.
四、“设而不求”，求解直线与圆相交的交点问题
24、在平面直角坐标系xOy中, 曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1) 求圆C的方程;
(2) 若圆C与直线x-y+a=0交于A, B两点, 且OA⊥OB, 求a的值.
25、已知圆C的圆心与点P(0,1) 关于直线y=x+1对称, 直线3x+4y+1=0与圆C相交于A, B两点, 且|AB|=4.
(1) 求圆C的标准方程;
(2) 设直线l: mx-y+1-m=0(m∈R) 与圆C的交点为A、B, 求弦AB的中点M的轨迹方程.
练习：
26、从动点P(a, 2) 向圆O: (x+3) 2+(y+3) 2=1作切线, 则切线长的最小值为()
A. 4
B. 2
C. 5
D.
27、由动点P(x, y) 引圆O: x2+y2=4的两条切线PA、PB, 切点分别为A、B, 若∠APB=90°, 则点P的轨迹方程是.
28、直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A, B两点(其中a, b是实数), 且△AOB是直角三角形(O是坐标原点), 则点P(a, b) 与点(0,1) 之间距离的最大值为()
A. +1
B. 2
C.
D. -1
4.2.2圆与圆的位置关系
4.2.3直线与圆的方程的应用
一、圆与圆的位置关系
29、设圆C与圆x2+(y-3) 2=1外切, 与直线y=0相切, 则C的圆心轨迹为()
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 圆
30、若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a> 0) 的公共弦的长为2, 则a=.
31、在平面直角坐标系xOy中, 圆C的方程为x2+y2-8x+15=0, 若直线y=kx-2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C有公共点, 则k的最大值是.
二、用圆系方程简化运算
32、求面积为10π, 且经过两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
练习：
33、圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B, 则线段AB的垂直平分线的方程为()
A. x+y-1=0
B. 2x-y+1=0
C. x-2y+1=0
D. x-y+1=0
34、若直线ax+by-3=0和圆C: x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2), 则ab的值为()
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
35、两圆相交于点A(1,3), B(m, -1). 两圆的圆心均在直线x-y+c=0上, 则m+c的值为()
A. -1
B. 2
C. 3
D. 0
4.3空间直角坐标系
一、确定空间中点的坐标
36、在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为正方形, 且边长为2a, 棱PD⊥底面ABCD, PD=2b, 取各侧棱的中点E, F, G, H, 写出点E, F, G, H的坐标.
二、空间直角坐标系中的点对称问题
37、在空间直角坐标系Oxyz中, 设点M是点N(2, -3,5) 关于坐标平面xOy的对称点, 则线段MN的长度等
于.
三、空间两点间的距离公式的应用
38、设A(3,3, 1), B(1,0, 5), C(0,1, 0), 则AB的中点M到点C的距离为()
A. B. C. D.
39、已知点A(1, a, -5) 、B(2a, -7, -2) (a∈R), 则|AB|的最小值是()
A. 3
B. 3
C. 2
D. 2
练习：
40、平面直角坐标系中, 圆心在原点, 半径为1的圆的方程是x2+y2=1. 根据类比推理: 空间直角坐标系中, 球心在原点, 半径为1的球的方程是.
答案和解析
1[答案] B
[解析]圆心C1(-1,1), 设C2(x, y) 是C1关于直线x-y-1=0的对称点, 则
∴x=2, y=-2,∴圆C2的方程为(x-2) 2+(y+2) 2=1.
2[答案]-1; x2+(y-1) 2=1
[解析]当直线PQ的斜率不存在时, a=3-b, 此时两点重合, 不满足题意, 因此直线PQ的斜率k==1,
∴线段PQ的垂直平分线l的斜率为-1, 线段PQ的中点坐标为,∴直线l的方程为y-=-,
即x+y-3=0.
设圆心(2,3) 关于直线x+y-3=0的对称点为(m, n),
则解得
故所求圆的方程为x2+(y-1) 2=1.
3[答案]C[解析]设P点的坐标为(x, y), 则由|PA|=2|PB|, 得(x+2) 2+y2=4[(x-1) 2+y2], 即(x-2) 2+y2=4, 所以点P的轨迹是以(2,0) 为圆心, 2为半径的圆, 所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.
4[解析](1) 连接PC, 则PC⊥AB, 所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A). 因为点A(4,6), C(6,4), 则其中点C1的坐标为
(5,5), 又圆半径r==. 故点P的轨迹方程是(x-5) 2+(y-5) 2=2(x≠4, y≠6).
(2) 设点P(x0, y0), 因为点P、E关于x=1对称, 则点E(2-x0, y0),
因为P、F关于y=x对称, 所以点F(y0, x0),
所以|EF|==,
设点M(1,1),则|EF|=|PM|,|MC1|-r≤|PM|≤|MC1|+r,
即3≤|PM|≤5, 所以6≤|EF|≤10.
5[答案] B
[解析]由题意得, 圆的半径r==, 所以圆的周长为2π×=2π.
6[答案]D[解析]由题意可知直线mx+2ny-4=0过圆心(2,1),
则2m+2n-4=0, 即n=2-m,
则mn=m·(2-m) =-m2+2m=-(m-1) 2+1≤1.
7[答案]m< -13
[解析]由题意得
∴故m< -13.
8[解析](1) ∵方程表示一个圆, 则有D2+E2-4F> 0,
∴(t+1) 2+t2-4(t2-2) > 0,∴2t> -9, 即t> -.
(2) 由条件知, 圆的半径是3,
∴3=,∴2t+9=36,
∴t=> -, ∴t=.
9[答案] D
10[答案]B[解析]根据表示圆的条件可知(4k) 2+(-2) 2-20k> 0, 所以4k2-5k+1> 0, 所以k> 1或k< .
11[答案] C
[解析]由∠APO=∠BPO, 得点O在∠APB的平分线上, 由角平分线定理得|PA|∶|PB|=|AO|∶|OB|=2∶1, 设点P(x, y), 则利用关系式可知
=2,化简可得(x-2) 2+y2=4(y≠0).
12[答案] A
13[解析]建立直角坐标系, ☉O的方程为x2+y2=4,
直线l的方程为x=4,
(1) 当点P在x轴上方时, ∵∠PAB=30°, ∴点P的坐标为(1, ),
∴l AP: y=(x+2), l BP: y=-(x-2).
将x=4代入, 得M(4,2), N(4, -2),
∴MN的中点坐标为(4,0), MN=4. ∴以MN为直径的圆的方程为(x-4) 2+y2=12.
同理, 当点P在x轴下方时, 所求圆的方程仍是(x-4) 2+y2=12.
综上, 以MN为直径的圆的方程为(x-4) 2+y2=12.
(2) 证明: 设点P的坐标为(x0, y0),
∴+=4(y0≠0),∴=4-.
∵l PA: y=(x+2), l PB: y=(x-2),
将x=4代入, 得y M=,y N=,
∴M, N,|MN|==,
MN的中点坐标为,
以MN为直径的圆O' 截x轴的线段长度为
2===4为定值.
∴☉O' 必过☉O内定点(4-2, 0).
14[答案] B
[解析]由圆心在直线x+y=0上, 不妨设为C(a, -a).
∴r==, 解得a=1, r=.
∴C: (x-1) 2+(y+1) 2=2.故选B.
15[答案] C
[解析]设过直线y=x上一点P作圆的切线, 圆心为Q(5,1),
∵直线l1、l2关于y=x对称, ∴直线PQ与l: y=x垂直, 点Q到直线l的距离d==2,
又圆的半径为, ∴l1、l2与直线PQ的夹角均是30°.
∴l1与l2的夹角为2×30°=60°, 故选C.
16[答案](x-3) 2+y2=2
[解析]由已知k AB=0, 所以AB的中垂线方程为x=3. ①
过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为
y-1=-(x-2), 即x+y-3=0, ②
联立①②解得
所以圆心坐标为(3,0),
半径r==,
所以圆C的方程为(x-3) 2+y2=2.
17[解析]∵(4-3) 2+(-3-1) 2=17> 1,
∴点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在, 设切线斜率为k, 则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1) 到切线的距离等于半径1, 所以=1, 解得k=-.
所以切线方程为y+3=-(x-4),
即15x+8y-36=0.
②若切线斜率不存在, 圆心C(3,1) 到直线x=4的距离也为1, 这时直线与圆也相切,
所以另一条切线方程是x=4,
综上, 所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
18[答案] D
[解析]∵直线的方程为y=x, 圆心为(0,2), 半径r=2. 由点到直线的距离公式得弦心距等于1, 从而所求弦长等于2=2. 故选D.
19[答案] B
[解析]圆的标准方程为(x-3) 2+(y-4) 2=52, 由题意得|AC|=2×5=10, |BD|=2=4, 且AC⊥BD, 四边形ABCD的面积
S=|AC|·|BD|=×10×4=20. 故选B.
20[答案] C
[解析]方程化为(x+1) 2+(y-2) 2=132, 圆心为(-1,2), 到点A(11,2) 的距离为12, 最短弦长为10, 最长弦长为26, 所以所求直线条数为2+2×(25-10) =32, 故选C.
21[答案] C
[解析]由y=3-得(x-2) 2+(y-3) 2=4(1≤y≤3).
∴曲线y=3-是半圆, 如下图中实线所示.
当直线y=x+b与圆相切时,
=2.∴b=1±2.
由上图可知b=1-2.∴b的取值范围是[1-2, 3].
22[答案]
[解析]由数形结合可知: 所求最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径. 圆心C(1,1) 到直线x-y+4=0的距离d==2, 故最小
值为2-=.
23[答案] 3
[解析]由题意得m, n≠0, 原点到l的距离为, 则=,
即m2+n2=,
因为A, B,所以S△AOB=·=,
而2|m|·|n|≤m2+n2=, 当且仅当|m|=|n|时, 取等号,
所以S△AOB=≥3,即当|m|=|n|=时,
(S△AOB) min=3.
24[解析](1) 曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1), 与x轴的交点为(3+2, 0), (3-2, 0).
故可设C的圆心为(3, t), 则有32+(t-1) 2=(2) 2+t2, 解得t=1. 则圆C的半径为=3.
所以圆C的方程为(x-3) 2+(y-1) 2=9.
(2) 设A(x1, y1), B(x2, y2), 其坐标满足方程组:
消去y, 得到方程2x2+(2a-8) x+a2-2a+1=0.
由已知可得, 判别式Δ=56-16a-4a2> 0.
因此x1,2=
, 从而x1+x2=4-a, x1x2=. ①
由于OA⊥OB, 可得x1x2+y1y2=0. 又y1=x1+a, y2=x2+a, 所以2x1x2+a(x1+x2) +a2=0. ②
由①, ②得a=-1, 满足Δ> 0, 故a=-1.
25[解析](1) 点P(0,1) 是关于直线y=x+1的对称点, 即圆心C的坐标为(0,1),
圆心C到直线3x+4y+1=0的距离为d==1,
所以r2=12+22=5, 得圆C的方程为x2+(y-1) 2=5.
(2) 联立得消去y, 得(1+m2) x2-2m2x+m2-5=0.
由于Δ=4m4-4(1+m2) (m2-5) =16m2+20> 0, 故l与圆C必交于两点. 设A(x1, y1), B(x2, y2), M(x0, y0), 则消去m, 得+(y0-1) 2=.
∴M点的轨迹方程为+(y-1) 2=.
26[答案] B
[解析]设切线长为l, ∵圆心为O(-3, -3), 半径r=1,
∴|PO|2=(a+3) 2+25,
∴l==≥2.故选B.
27[答案]x2+y2=8
[解析]∵|OA|=|OB|=2, ∠APB=90°,
28[答案] A
[解析]因为△AOB是直角三角形, 所以圆心到直线的距离为, 所以=, 即2a2+b2=2, 所以a2=1-,
由a2=1-≥0, 得b2≤2, -≤b≤, 所以点P(a, b) 与点(0,1) 之间的距离d====,
即d==.
因为-≤b≤,所以, 当b=-时,
d====1+为最大值.
29[答案] A
[解析]由题意知动点C满足: 到定点(0,3) 的距离比到定直线y=0的距离多1, 故其到定点(0,3) 与到定直线y=-1的距离相等. 所以点C的轨迹为抛物线. 故选A.
30[答案] 1
[解析]两圆方程作差易知弦所在直线方程为y=, 如下图, 由已知|AC|=, |OA|=2,
有|OC|==1,∴a=1.
31[答案]
[解析]圆C: (x-4) 2+y2=1, 如下图, 直线y=kx-2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C有公
共点, 只需保证圆心C到y=kx-2的距离小于等于2即可,
∴≤2?0≤k≤. ∴k max=.
32[答案](详见解析)
[解析]设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+m(x2+y2+2x+2y-8) =0,
即(1+m) x2+(1+m) y2+2(m-1) x+2(m+5) y-8m-24=0.
∵所求圆的面积为10π, ∴圆的半径为.
∴=,
解得m=-2.
∴所求圆的方程x2+y2+2x+2y-8=0和x2+y2+6x-6y+8=0.
33[答案] A
[解析]圆x2+y2-2x-5=0化为标准方程是(x-1) 2+y2=6, 其圆心是(1,0); 圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程是(x+1) 2+(y-2) 2=9, 其圆心是(-1,2). 线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线, 验证可得A正确.
34[答案] C
[解析]因为直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2), 所以圆心C(-2,0) 到切线ax+by-3=0的距离等于|PC|, 从而
=, 且-a+2b-3=0, 解得a=1, b=2, 所以ab的值为2, 故选C.
35[答案] C
[解析]依题意可得, 两圆心所在直线x-y+c=0是线段AB的中垂线, 从而有解得所以m+c=3, 故选C.
36[解析]由题意得DA⊥DC, DC⊥DP, DP⊥DA, 故以D为原点, 建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz.
因为E, F, G, H分别为各侧棱中点, 由立体几何知识, 可知平面EFGH与底面ABCD平行, 从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半, 也就是b.
H为DP中点, 得H(0,0, b). E在底面上的投影为AD中点, 所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0, 所以E(a, 0, b), 同理G(0, a, b).
F在坐标平面xDz和yDz上的投影分别为点E和G, 故F与E横坐标相同, 都是a, 与G的纵坐标也同为a, 又因为F的竖坐标为b, 故F(a, a, b).
37[答案]10[解析]∵M是N关于坐标平面xOy的对称点,
∴M点的坐标为(2, -3, -5),∴|MN|=|5-(-5) |=10.
38[答案]C[解析]由题意得AB的中点为M,
所以|CM|==. 故选C.
39[答案] B
[解析]|AB|=
==,
∴当a=-1时, |AB|取最小值3, 故选B.
40[答案]x2+y2+z2=1
[解析]设球上的任一点P的坐标为(x, y, z), 原点记为O, 则|PO|==1, 化简得x2+y2+z2=1.
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
人教版数学-高中数学竞赛标准教材10第十章 直线与圆的方程讲义.
第十章 直线与圆的方程 一、基础知识 1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。 2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式： 1=+b y a x ；（5）两点式：1 21121y y y y x x x x --= --；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：?????+=+=θ θ sin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线 倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。 5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tan θ= 2 11 21k k k k +-,tan α= 2 1121k k k k +-. 6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|= 2 21221)()(y y x x -+-。 8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2 2 00| |B A C By Ax d +++= 。 9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1 C C ≠). 10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。 11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。 12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为 ?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x （θ为参数）。
全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学直线与圆的方程试题汇编 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范畴为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ）
高三数学精品教案：专题1：函数专题(理科)
专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关
人教版必修二数学圆与方程知专题讲义
人教版必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质
涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
2011年高考理科数学函数、导函数试题汇编
2011年高考理科数学函数、导函数试题汇编 一、选择题： 1. 【2011安徽理】（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 2.【2011安徽理】（10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是 (A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1 3. 【2011北京理】6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ?≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件 产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 4.【2011广东理】4. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列 结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数 5.【2011湖北理】6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+（a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f = A ．2 B ． 15 4 C ． 17 4 D ．2 a
6.【2011湖南理】8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ． 12 C D 7.【2011江西理】3 ．若()f x = ，则()f x 的定义域为 A ．(,)1-02 B ．(,]1-02 C ．(,)1 - +∞2 D ．(,)0+∞ 8.【2011江西理】4．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为 A ．(,)0+∞ B ．-+10?2∞（，）（，） C ．(,)2+∞ D ．(,)-10 9.【2011辽宁理】9．设函数? ??>-≤=-1,log 11 ,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 10.【2011辽宁理】11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞） 11.【2011全国理】2 ．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥ 12. 【2011全国理】9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则 5()2f -= A ．-1 2 B ．1 4 - C ． 14 D ． 12
高考数学必修一函数知识点总结
高考数学必修一函数知识点总结 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域. 注意：2如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备 见课本21页相关例2 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 4.函数图象知识归纳 1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象. C上每一点的坐标x，y均满足函数关系y=fx，反过来，以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.即记为C={Px,y|y=fx,x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 2画法
高考理科数学常用公式大全
高考理科常用数学公式总结 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3.()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =的图象关于直线 2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线 0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m +=对称.③函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 11.11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 12.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 13.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -==?∈；
直线和圆的方程复习讲义全
直线和圆的方程 一、直线方程 1. 直线的倾斜直角和斜率: (1) 倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角,叫直线的倾斜角.围 为[)0,π (2) 斜率:不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率,即k=tana(a ≠90°). (3) 过两点P1(x1.y1)、P2（x2.y2）(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=tana=21 21 y y x x -- 2. 直线方程的五种表示形式： 斜截式：y=kx+b ； 点斜式：y-y0=k(x-x0)； 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=-- 截距式： 1x y a b +=； 一般式：Ax+By+C=0 3. 有斜率的两条直线的平行期、垂直的充要条件： 若L1: y=k 1x+b 1 L2: y=k 2x+b 2 则: (1) L1∥L2?k 1=k 2且b 1≠b 2; (2) L1⊥L2?k 1×k 2 = -1 4. 两条直线所成的角的概念与夹角公式 两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，L1和L2所成的角是θ，且0 90θ≠ 则有夹角公式：tan= 12 12 1k k k k -+ 5. 点到直线的距离公式：点P （x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）的距离 题型1 直线的倾斜角与斜率 1.（2004.）设直线ax+by+c=0的倾斜角为a ，且sin α+cos α=0,则a,b 满足（ ） A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0 2.（2004.启东）直线经过点A （2.1），B （1，m 2 ）两点（m ∈R ），那么直线L 的倾斜角取值围是（ ） A.[)0,π B 0, ,42πππ???? ??????? .C 0,4π?????? . D ,,422ππππ???? ? ?????? . 3.（2004.）函数y=asinx+bcosx 的一条对称轴方程是x= 4 π ，那么直线ax+by-c=0的倾斜角为 。 题型2 直线方程 4.（2001.新课程）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且PA=PB ，若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是（ ）
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
全国高考理科数学试题分类汇编：函数
2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x -
高中数学人教A版必修2《圆的方程》讲义
（同步复习精讲辅导）北京市-高中数学 圆的方程讲义 新人教A 版 必修2 题一 题面：方程211(1)x y -=--表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．两个圆 D ．半圆 金题精讲 题一 题面：求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程. 题二 题面：根据下列条件写出圆的方程: （1）过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上； （2）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为 题三 题面：（1）求过点(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，并求该圆的半径与圆心坐标； （2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程. 题四 题面：求圆0722:22=+++-+a y ax y x C 的圆心轨迹方程. 题五 题面：若曲线2222(1)40x y a x a y +++--=关于直线0y x -=的对称曲线仍是其本身,则实数a = . 题六 题面：圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 题七 题面：已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2 ＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
题八 题面：Rt ABC ?的三个顶点与圆心都在坐标轴上，AB ＝4，AC ＝3，求其外接圆方程. 思维拓展 题一 题面：（1）若实数,x y 满足等式 2241x y x +=-，那么 x y 的最大值为 . （2）若实数,x y 满足等式2241x y x +=-，那么22x y +的最大值为 . 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案：A 金题精讲 题一
高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)
高一数学 高中数学圆的方程专题（四个课时） 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．
高考数学函数知识点汇总2020
高考数学函数知识点汇总2020 高中数学的知识点有很多,高考数学要想那高分就对知识点进行总结,下面就是小编给大家带来的高考数学知识点汇总2020，希望大家喜欢！ 集合 一、集合概念 (1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号=表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集;正整数集;整数集;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法:列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 函数 一、映射与函数: (1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:①对应法则;②定义域(两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①含参问题的定义域要分类讨论; ②对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式; ②逆求法(反求法):通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围;常用来解，型如:; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:，利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择;②将互换，得;③写出反函数的定义域(即的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: 一般式 两点式 顶点式 二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为一般式， 有三个类型题型: (1)顶点固定，区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数. 等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根 注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数函数:y=(a>o,a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 (5)对数函数:
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案) (1)
函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
数学必修2圆与方程知识点专题讲义
必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标
②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 为直径两端点的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?<
高考数学必考之圆的方程
高考数学必考之圆的方程 考点一 圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是 【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 【答案】－2解得223a -<<. 考点二 点与圆的位置关系
1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（ ） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定 【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-． 所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D