论文悖论
北方民族大学
学士学位论文
论文题目:数学悖论问题对数学发展的推动及影响
院(部)名称:数学与信息科学学院
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专业:数学与应用数学学号:
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论文提交时间: 4月20日
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数学悖论问题对数学发展的推动及影响
摘要：数学悖论是数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。也为了能够很好的解决一些数学问题，使初学者产生一定的兴趣，给数学打下坚实的基础。主要通过对数学分析的发展与回顾，以及数学史上几次重大的数学危机的出现和解决来研究数学悖论对于数学史的推动及发展。
通过研究数学分析的起源、发展和广泛运用以及数学悖论的起源和发展来分析数学分析中遇到的主要数学悖论，如何解决数学分析中遇到的数学悖论。数学悖论在数学、哲学、逻辑学等学科中广泛运用，并且对数学史的发展有极大的推动作用。
关键字：数学悖论，数学分析。
mathematical paradoxto push and development of mathematics
Abstract
Mathematical paradox is a logical foundation of mathematics developing endanger the whole theoretical system of fundamental contradictions mathematical paradox is a logical foundation of mathematics developing endanger the whole theoretical system contradiction.This fundamental contradiction can show a certain stage of development the limitations of mathematical system based on logic.Encourage people to overcome this limitation, prompting mathematical development.In order to be able to very good solve some math problems, also help beginners have a certain interest, to lay a solid foundation for mathematics.Mainly through the development of mathematical analysis and review of several major mathematical crisis and the history of mathematics and solvemathematical paradox for the drive of the history of mathematics is to research and development.
Through the study of the origin, development and mathematical analysis is widely used and the analysis of the origin and development of mathematical paradox to mathematical analysis of main mathematical paradox, how to solve the mathematical analysis of mathematical paradox.Mathematical paradox in mathematics, philosophy, logic and other discipline is widely used, and has great role to the development of history of mathematics.
Key Words:mathematical paradox,mathematical analysis.
绪论
悖论在理科学，逻辑学，哲学中都有运用，在数学领域更是一次又一次的引起广泛关注，大批的数学家投身到数学悖论的研究中，检验并完善了某一理论体系，加固了理论的严谨性。
数学悖论，历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。出现了三次这样的数学危机。
第一次数学危机和希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关，直接动摇了毕达哥拉斯学派的信仰，对于帕索斯提出的边长为1的正方形的对角线智能用新数表示的荒谬做法其他成员竟然毫无办法，这导致了著名的第一次数学危机。直到两百多年后的欧克多斯的出现，利用几何方法避免了无理数的出现。最后无理数被彻底证明，在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的，这遭到贝克莱的强烈攻击，对于无穷小量是否为零这一问题在当时引起了一场混乱，这就是第二次数学危机。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。最终在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。直到微积分的出现完美的解决了第二次数学危机。随着康托的集合论遭到罗素的质疑，第三次数学危机也诞生了，在策梅罗的公理化集合理论体系和ZF体系、NBG体系的出现，一步步的化解了第三次数学危机。悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。
1关于数学悖论
1.1数学悖论的起源
1.1.1数学悖论的历史
悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和中国先秦时代。"悖论"一词源于希腊文，意为"无路可走"，转义是"四处碰壁，无法解决问题"。
在古希腊时代，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯(约公元前6世纪)发现的"说谎者悖论"可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为"强化了的撒谎者悖论"。在此基础上，人们构造了一个与之等价的"永恒的撒谎者悖论"。埃利亚学派的代表人物芝诺(约490B.C.-430B.C.)提出的有关运动的四个悖论(二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论)尤为著名，至今仍余波未息。
在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施(约
370B.C.-318B.C.)的"日方中方睨，物方生方死"、《庄子·天下篇》的"一尺之棰，日取其半，万世不竭";《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。
在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。
尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安;此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。
1.1.2数学悖论的概念
我国著名数学家徐利治教授指出:"产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论。"所谓主客观矛盾在某一点上的集中表现，是指由于客观事物的发展造成了原来的认识无法解释新现实，因而要求看问题的思想方法发生转换，于是在新旧两种思想方法转换的关节点上，思维矛盾特别尖锐，就以悖论的形式表现出来。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
1.2数学悖论的发展
1.2.1数学悖论的特征
1)数学悖论问题相对存在
数学悖论是数学理论的相对产物，随着数学的发展与前进，数学悖论随之产生，不断地检验数学理论的相对真理性，也不断完善数学理论体系，加速数学的发展。
2）数学悖论问题可以解决
在一个看似完备的数学体系中，必然存在数学悖论问题，经过深入的剖析和发掘一定存在数学悖论，但在一个限定的范围中用数学符号或者几何的方法，根据悖论问题的特殊性，它应该可以得到解决。
3）数学悖论具有创新性
无论是历史问题还是近现代的一些数学问题，一开始都是颠覆性的对权威的数学家所提出的数学理论提出质疑，在数学家们纷纷奔赴于解决这类问题的路途中，越来越多的数学家用新鲜而又颇具说服力的方法对这类问题进行解决，从而使数学也一度更快更好的发展。
1.2.2三大数学悖论
1）毕达哥拉斯悖论
鼎盛年约在公元前531年,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰(一切数均可表成整数或整数之比)，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。
2）贝克莱悖论
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
十七世纪后期，艾萨克·牛顿（Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。
1734年，大主教乔治·贝克莱(George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一
下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x＾2的导数，先取一个不为0的增量Δx，由(x+ Δx)＾2 ?x，得到2xΔx+ (Δx) ，后再被Δx除，得到2x+ Δx，最后突然令Δx= 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
3）罗素悖论
第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M 关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。
如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。
1.3其他数学悖论
1.3.1 “一尺之捶 日取其半 万世不竭”
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。
战国名家宋国人惠施曾任梁国的宰相，是论辩奇才，庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚 只能从其他诸家的论述中看到他的言行段。
惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等都可以说是悖论，但是
大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。他同哲学工作者谈话时说“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。”又说“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’这是个真理。不信就试试看。如果有竭就没有科学了。”
有人注意到毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，九十年代同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道等等，都提到这句话。
1.3.2龟兔赛跑悖论
龟对兔说：“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。”兔子当然不服，可又说不过乌龟。实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。
1.3.3谷堆悖论
显然，1粒谷子不是堆;
如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆;
如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆;
……
如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆;
……
如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。
从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义"堆"缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的"类"。
这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子，归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者不承认它是知识。"Soros"在希腊语里就是"堆"的意思。最初是一个游戏:你可以把1粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把2粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把3粒谷子说成是堆吗?不能。但是你迟早会承认一个谷堆的存在，你从哪里区分他们?
2关于数学分析
2.1数学分析产生的背景
2.1.1什么是数学分析
数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。
微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西(Cauchy)和后来的魏尔斯特拉斯(weierstrass)完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了"要多小有多小"、"无限趋向"等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为"Mathematical Analysis"，中文译作"数学分析"。
数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。
2.2数学分析的诞生与发展
数学分析的创立始于17世纪以牛顿(Newton，I.)和莱布尼茨(Leibnize，G.W)为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西(Cauchy)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)为代表的奠基性工作。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之。
数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容。微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法。围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容。积分学则从总体上研究微小变化(尤其是非均匀变化)积累的总效果，其基本概念是原函数(反导数)和定积分，求积分的过程就是积分法。积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容。牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式-牛顿-莱布尼茨公式-反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科-微积分学。又由于他们及一些后继学者(特别是欧拉(Euler))的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于科学技术领域的大门，其影响所及，难以估量。因此，微积分的出现与发展被认为是人类文明史上划时代的事件之一。与积分相比，无穷级数也是微小量的叠加与积累，只不过取离散的形式(积分是连续的形式)。因此，在数学分析中，无穷级数与微积分从来都是密不可分和相辅相成的。在历史上，无穷级数的使用由来已久，但只在成为数学分析的一部分后，才得到真正的发展和广泛应用。
从19世纪初开始了一个一个把分析算术化(使分析成为一种像算术那样的演绎系统)为特征的新的数学分析的批判改造时期。柯西于1821年出版的《分析教程》是分析严密化的一个标志。在这本书中，柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋于零的变量，从而结束了百年的争论。在极限的基础上，柯西定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性(后来知道，波尔查诺(Bolzano)同时也做过类似的工作)。进一步，狄利克雷于(Dirichlet)1837年提出了函数的严格定义，魏尔斯特拉斯引进了极限的ε-δ定义。
2.3数学分析的广泛运用
圣彼得堡悖论概述
圣彼得堡悖论概述 圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。 圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一 矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。 圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的“近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。 实验的论文解释 丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在１７３８年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：１、边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。 ２、最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。
布雷斯悖论
在一个交通网络上增加一条路段后，这一附加路段不但没有减少交通延滞，反而所有出行者的旅行时间都增加了，这种出力不讨好且与人们直观感受相背的现象就是所谓布雷斯悖论。最近一项新的研究认为，当交通流量很高的时候，新增一条路线并不会增加出行时间，因为人们都不会走那条新路线。 在交通繁忙的市区，建一条新路，分流拥挤的交通似乎是一个不错的想法，但根据布雷斯悖论，结果正好相反：对于出行的个体来说，往交通网络中增加一条新路线会增加他们所有人的出行时间（如果他们都想通过这条新路抄近道）。这个理论是由迪特里希. 布雷斯于1968年提出，虽然不是一个严格的“悖论“，但针对我们日常生活的情况来说，却是一个非常反常识的发现。 然而，在过去几年里面，科学家们重新分析了布雷斯悖论，发现了如果交通流量进一步增加的话，悖论中提到的现象不会再出现。科学家们推测，在更高的交通流量需求下，由于“群众的智慧”是无穷，新路不会再被使用。 现在，美国马萨诸塞州Amherst大学的教授安娜，则第一次证明了该假设。她推导出的公式标明，交通需求量增加到一定程度会造成新路线的不再使用而不会增加出行时间。换句话来说，就是布雷斯悖论仅仅适用于特定的交通需求量下。 尽管布雷斯悖论本身就是反常识的，那么在更高的交通流量需求下，此悖论的结果会消失掉则是更加反常识的。纳格尼解释到，在交通需求更高的时候，人们通常会想，交通会更加拥挤，于是乎大家应该走走其他更多的路线来分流。 纳格尼说，也许这个结果可以由“群众的智慧”来解释解释。研究普遍认为出行者的行为可以分成两类：第一类是用户自行优化，这类出行者会独立选择他们认为最优的路线；第二类是系统优化，存在一个中央控制器统一指挥交通。仅仅当“用户自行优化”时（换句话说就是“自私”），布雷斯悖论和其相反结论才会发生。但“自行优化“和”自私“结合到一起的时候，一个足够多的人群都在自行优化出行路线，那么所有出行者的的出行时间就被莫名其妙的全局优化了。 纳格尼说：“我觉得，因为交通流量的高需求，出行经过某条特定的路就会增加很多出行时间（因为交通网络的设计和其拓扑结构），久而久之，人们就会在出行时换条路线走走，所以就到达了这个“均衡临界点”，而本来是该布雷斯悖论起作用，结果却正好相反。出行者们也发现了这种“群众的智慧”，当交通流量需求更高的时候，某些十字路口甚至没啥车”。 纳格尼还解释到，和布雷斯悖论相反的结论也是正常的：当交通流量需求足够低的时候，布雷斯悖论就不再成立了。 纳格尼说：“也有其他人研究了交通需求量非常低时候的情况”纳格尼先前的研究也对关于该情况的分析做出了贡献，“布雷斯悖论问题中的新路是设定为吸引人去走，那么在低交通流量需求下，所有出行的人都会
节约悖论
节约悖论编辑 “节约悖论（Paradox of thrift）”是凯恩斯推广的而流行的一种理论，虽然一直说早在1714年在蜜蜂的寓言，和类似的情绪可以追溯到古代，根据凯恩斯主义的国民收入决定理论，消费的变动会引起国民收入同方向变动，储蓄的变动会引起国民收入反方向变动。但根据储蓄变动引起国民收入反方向变动的理论，增加储蓄会减少国民收入，使经济衰退，是恶的；而减少储蓄会增加国民收入，使经济繁荣，是好的，这种矛盾被称为"节约悖论"。 中文名节约悖论推广人凯恩斯根据国民收入决定理论性质矛盾 理论解释编辑 要理解这个问题，关键是要注意到：凯恩斯的国民收入决定分析。通俗地讲，就是经济陷入了严重的萧条状态，市场上有大量产品积压在仓库中，找不到销路，也就不能计入国民收入统计数字中。显然，如果国民增加消费，积压的产品就能实现其市场价值，从而使统计到的国民收入数字增加；反之，如果国民减少消费，积压产品增加，统计到的国民收入数字就会下降。这就是凯恩斯国民收入决定分析的实际意义所在。 《就业、利息和货币通论》 《就业、利息和货币通论》 但现实经济并非保持静态不变，而是一个动态过程。从长期、动态的角度来看，人们会将节约下来的钱，用于投资，以增加生产能力，从而使经济趋向更加繁荣。相反，若只图眼前繁荣，大肆挥霍浪费，则会影响未来经济发展，甚至导致经济停滞和崩溃。正是在这个意义上，一般人们强调节约，反对奢侈浪费。 在这里，需要提醒读者注意：千万不要将动态分析与静态分析混为一谈。一般地，静态分析的结论常常与动态分析的结论不一致，甚至截然相反。如静态地来看，当一种商品价格下降时，该商品需求量会增加，但是动态地来看，则有“买涨不买跌”之说，即当一种商品价格动态地随着时间下降时，消费者将持币待购，从而导致市场需求量下降。 再如经济学中着名的“消费函数之谜”实际上也是混淆了静态分析与动态分析的结果。静态地来看，收入越高，其用于消费的比例越低，但动态地来看，在收入随着时间增加的同时，消费需求也在随着时间的推移逐渐发展，结果消费在收入占的比例并不下降。所以，当库兹涅茨试图用动态统计资料来验证凯恩斯的边际消费倾向递减定理时，就会弄得混乱不堪了。 在凯恩斯看来，只要增加消费在收入中的比例，就能增加国民收入。其实不然。 抽象地来讲，个人收入的一部分会用于消费，另一部分则用于储蓄，而储蓄则会通过金融机构转到厂商手里，用于增加投资。这样厂商生产的产品就会全部销售出去，其中一部分被消费者购买用于消费，另一部分被其它厂商购买用于投资，整个国民收入就实现了充分就业的均衡。 但实际上，厂商生产的产品并不会完全销售出去，原因在于产品结构与需求结构不一致。例如，中国在2000年前后，市场上积压了大量彩色电视机，尽管彩电价格一降再降，但市场反应却十分冷淡。为什么呢？因为消费者家庭已经普遍购买了彩电，整个彩电市场已经饱和。消费者手里尽管有钱，但并不会用于购买彩电。于是进一步影响到彩电厂商也不会进一步增加彩电生产投资。这样，就导致了市场疲软。在这种情况下，单纯地刺激消费或刺激投资，必然徒劳无功。 就业利息和货币通论 就业利息和货币通论 那么怎么办呢？唯一的出路只能是调整产品结构，使之与需求结构相一致。更明确地讲，必须开发新兴替代产品，使之与消费者潜在的市场需求结构相一致。例如，在模拟信号彩电市场饱和的情况下，应该开发数字化的液晶彩电或等电离子彩电，这样消费者手里的钱就会
《旧制度与大革命》的两大悖论及其启示-精品文档
《旧制度与大革命》的两大悖论及其启示 法国大革命是1789年发生的。《旧制度与大革命》是1856年出版的。在本书中托克维尔主要阐述了法国大革命爆发的原因。其中他提出了两个很有名的悖论，“路易十六统治时期是旧君主制最繁荣的时期，何以繁荣反而加速了大革命的到来”和“何以减轻人民的负担反而激怒了人民”。本文主要对两大悖论阐述了个人的理解，并试析了《旧制度与大革命》对当今中国的启示。 一、何以繁荣反而加速了大革命的到来 18世纪法国路易十六统治时期是法国旧君主制最繁荣的时期，托克维尔在书中写到：“随着被统治者与统治者精神上发生的这些变化，公共繁荣便以前所未有的速度发展起来。所有迹象都表明了这点：人口在增加；财富增长的更快。”[1]那么为什么这种繁荣的景象反而加速了大革命的到来呢？！托克维尔本人的答案是这样的：“尽管财政管理已经像其他部门一样完善，它还保留着专制政府固有的毛病。”[2]“政府努力促进公共繁荣，发放救济金和奖励，实施公共工程，这些每天都在增加开支，而收入却并未按同一比例递增；这就使国王每天都陷入比他的前任更严重的财政拮据中。和前任一样，他不断使他的债权人收不回债；像先王一样，他像四面八方举债，既不公开，也无竞争，债权人不一定能拿到定期利息；甚至他们的资本也永远取决于国王
的诚意。”[3]当时的法国人为政府购买公债，利息则绝不会在固定的时期获得的。为政府建造军舰，维修道路，给政府的士兵提供衣物，而他们所垫出的钱是没有偿还担保，也没有偿还期限的。就这样，随着岁月的流逝“政府变得更加活跃，发起过去连想都不曾想的各种事业，终于成为工业产品的最大消费者，成为王国内各项工程的最大承包人。” “一场浩劫怎能避免呢？一方面是一个民族，其中发财欲望每日每时都在膨胀；另一方面是一个政府，它不断刺激这种新热情，又不断的从中作梗，点燃了它又把它扑灭，就这样从两个方面推促自己的毁灭。”[4]以上是托克维尔作者本人对上述悖论的解释。从他的解释中我们可以明白，这里所指的“繁荣”，并不是我们平常所认为的：社会生活呈现出一片繁荣的景象，每个人都过着幸福快乐的生活。这里面所指的“繁荣”，其实归根结底是上层阶级，即教士、贵族等特权阶级的富裕生活。而在社会等级最底层的，属于第三等级的农民、资产阶级、律师等人们并没有真正的从中受益。也就是说，在当时的法国社会等级的第三等级的人们只是为他们上一等级的人们创造了“繁荣”。因为国家通过各种方式集收人民的财产，尤其是用卖债券的方式集资，为上层阶级提供了美好生活。其实，单从这一悖论的层面出发，我们会发现反对国家的都是有钱人，可以说是资产阶级。正因为有钱他们才会去买国家债券，从而陷入“搞冒险贷款”一样的境地。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
节俭悖论
20 节俭悖论 古老美德何以成为现代罪恶? 这是一个蜜蜂王国的故事。一群蜜蜂为了追求豪华的生活，大肆挥霍，结果这个蜂群很快兴旺发达起来。而后来，由于这群蜜蜂改变了习惯，放弃了奢侈的生活，崇尚节俭，结果却导致了整个蜜蜂社会的衰败。本故事出自于18世纪荷兰的曼德维尔博士的《蜜蜂的寓言》。在这个故事中，曼德维尔博士旨在表述自己的一个令世人十分惊骇的观点——“节俭的罪恶，奢糜的贡献”。这就是让许多经济学家备感困惑的“节俭悖论”。 受这个故事的启发，经济学家凯恩斯发现了刺激消费和增加总需求对经济发展的积极作用，他还进一步论证了节俭悖论。在他的总需求决定国民收入的理论中，凯恩斯认为节俭对于经济增长并没有什么好处，因为公众节俭，就会降低消费；增加储蓄，社会收入势必减少。根据这种看法，增加消费、减少储蓄会通过增加总需求而引起国民收入增加，就会促进经济繁荣。反之，就会导致经济萧条。 看起来节俭悖论的确是一个蕴涵逻辑矛盾的理论，因为，人们的普遍观点认为，节俭是一种美德，是个人积累财富最常用的方式，增加储蓄，往往可以致富。而储蓄又与国民收入呈现反方向变动，储蓄增加，则国民收入就会减少，储蓄减少，则国民收入就增加。 那么，是不是就可以得出这样一个推论了：节制消费增加储蓄，对个人是件好事，对国民经济却是件坏事？ 其实不是，从个人理财角度来说，储蓄也未必就是最好的致富途径。
从前，有一个惜金如命的财主，他把自己的金子埋在花园里的一棵大树下面，每隔几天就要挖出来，自我陶醉一番。突然有一天，有人发现了他的秘密，就把他藏在树下的金子给偷走了，为此，财主痛不欲生。后来他的邻居们来看他，当了解事情的经过后，他们就问他：“你从没花过这些金子吗？” “没有，节俭是我们家的传统，我每次只是看看而已。”他回答。邻居听了，就哈哈大笑起来，并对他说：“按你这种对待金子的做法，有和没有金子对你来说都是一样啊！如果你还是感到难受的话，就在大树底下再埋一些石头，把它们当作金子收藏起来好了。”邻居们说完就走了，只剩下财主呆若木鸡地站在树下，想着那些被偷走的金子。 与其把金子提心吊胆地藏起来，还不如用它来生财，去获得更多的财富。藏匿和闲置财富就等于浪费，用现代理财观念来看，财主这样的“节俭”的确称得上是“现代的罪恶”。 由此，我们可以推出现代意义的节俭应包含以下内容： *节俭在任何时候都是一种美德，毕竟原始积累的最好途径之一还是节俭。.. *节俭的目的无非是为了追求财务自由，但是节俭并不能让我们达到财务自由的最高境界。.. * 节俭不等于把钱闲置起来，而是要把钱用在刀刃上，节俭下来的钱最好能用于购买资产而不是负债。 财务安全与财务自由
埃尔斯伯格悖论
埃尔斯伯格悖论（Ellsberg Paradox） 埃尔斯伯格悖论的提出 1926年，拉姆齐(F．P．Ramsey)借助部分信念提出了主观概率的思想，可以对个体的概率进行数值上的测度，并且把主观概率和贝努里(D．Bemolli)的效用决策相结合，给出了一个主观期望效用决策的公理性轮廓。1937年菲尼蒂(B．De Finetti)论证了概率论的逻辑规律能够在主观主义的观点中严格地被确立，决策或者预见有着深刻的主观根源，为主观效用决策理论的发展奠定了基础。 1954年，萨维奇(L．J．Savage)由直觉的偏好关系推导出概率测度，从而得到一个由效用和主观概率来线性规范人们行为选择的主观期望效用理论。他认为该理论是用来规范人们行为的，理性人的行为选择应该和它保持一致性。在他的理论中，有一个饱受争议的确凿性原则(The Sure-Thing Principe)，它表明行为中间的优先不取决于对两个行为有完全等同结果的状态，只要两个行为在某种情形之外是一致的，那么在这种情形之外发生的变化肯定不会影响此情形下行为人对两个行动的偏爱次序关系。 1961年，埃尔斯伯格(Daniel Ellsberg)在一篇论文中通过两个例子向主观期望效用理论提出了挑战。他的第一个例子是提问式的，表述如下：在你面前有两个都装有100个红球和黑球的缸I和缸Ⅱ，你被告知缸Ⅱ里面红球的数目是5O个，缸I里面红球的数目是未知的。如果一个红球或者黑球分别从缸I和缸Ⅱ中取出，那么它们分别被标为红I、黑I、红Ⅱ和黑Ⅱ。现在从这两个缸中随机取出一个球，要求你在球被取出前猜测球的颜色，如果你的猜测正确，那么你就获得$100，如果猜测错误，那么什么都得不到。为了测定你的主观偏好次序，你被要求回答下面的问题： (1)你偏爱赌红I的出现，还是黑I，还是对它们的出现没有偏见? (2)你偏爱赌红Ⅱ，还是黑Ⅱ? (3)你偏爱赌红I，还是红Ⅱ? (4)你偏爱赌黑I，还是黑Ⅱ? 埃尔斯伯格发现大多数人对问题1和问题2的回答是没有偏见。但是对问题3的回答更偏爱于打赌红Ⅱ的出现，对问题4的回答是更偏爱于打赌黑Ⅱ的出现。 他认为，按照萨维奇的理论，假定你赌红Ⅱ，那么作为一个观察者将实验性地推断你是认为红Ⅱ的出现比红I的出现更有可能。同时你打赌于黑Ⅱ，则可推断你认为黑Ⅱ比黑I更有可能发生。但是，我们根据概率的知识知道这是不可能的，因为，如果黑Ⅱ比黑I更有可能出现，那么红I一定比红Ⅱ更有可能出现，所以，不可能从你的选择中推断出概率，也就是说你的行为选择根本不是在概率的启迪性判断下做出的，因此，在不确定情形下，主观概率不能赋值，没有概率测度能被确定。 埃尔斯伯格给出的另外一个例子直接针对确凿性原则，表述如下： 在一个缸里装有30个红球和60个不知道比例的黑球和黄球。现在从缸中随机取出一个球，要求人们对下面两种情形下的四种行为进行选择。 1.行为I是对红球的一个赌，当一个红球被取出可以得到$100，其他颜色的球被取出则什么都得不到； 2.行为Ⅱ是对黑球的一个赌，当一个黑球被取出可以得到$100，其他颜色的球被取出则什么都得不到。 3.行为Ⅲ是对红球或者黄球的一个赌，当红球和黄球被取出可以分别得到$100，
王尔德悖论
的记录。 15、世上只有一件事比被人议论更糟糕，那就是没有人议论你。 16、女人如何能期望会从男人那里获得幸福，如果他坚持把她 当作一个完全正常的人。 17、要避免争论，争论总是俗不可耐，而且常常令人信服。 18、邪恶是善良的人们编造的谎言，用来解释其他人的特殊魅力。 19、孩子最初爱他们父母，等大一些他们评判父母；然后有些 时候，他们原谅父母。 20、如果一个女人不能让她犯的错误变得迷人，她就只是一个 雌性动物。 21、一个愤世嫉俗的人知道所有东西的价格，却不知道任何东 西的价值。 22、摆脱**的唯一方式是臣服于**……我能抗拒一切，除了**。 23、情感的好处就是让我们引入歧途，而科学的好处是不感情 用事。 24、女人在世上的日子要比男人好过得多。她们有太多禁忌。 25、20年的韵事使女人变成一片废墟，20年的婚姻使女人变 成一座公共建筑。 26、我喜欢自言自语，因为这样节约时间，而且不会有人跟我 争论。 27、报纸和文学的区别是，报纸没法读，而文学则没人读。 28、恭维话从来没有让女人缴械，但可以让男人缴械。这就是 性别差异。 29、每个人犯了错误，都自称是经验。——经验是一个人给自
己所犯的错误取的名字。 30、生活从来不是公平的……而且，或许对我们大多数人来说，这是件好事。 31、生活是世上最罕见的事情，大多数人只是存在，仅此而已。 32、坏女人给我麻烦。好女人令我厌烦。这就是她们唯一的不同。 33、所有人类的重大问题都有一个共同点：没有点幽默和疯狂 是没办法解决的。 34、对富有的单身汉应该客以重税。让某些人比其他人更快乐 是不公平的。 35、争论是俗不可耐的，因为道德社会里每个人都持完全相同 的观点。 36、男人因疲倦而结婚，女人因好奇而结婚；最终他们都会失望。 37、只要一个女人看上去比她自己的女儿小十岁，她就一定会 心满意足。 38、女人的生活中只有一个真正的悲剧：她总在缅怀过去，却 必须活在未来。 39、我一点都不浪漫。我还不算太老。还是把浪漫留给比我老 的人吧。 40、除了感官，什么也不能治灵魂的创痛，同样，感官的饥渴 也只有灵魂解除得了。 41、我喜欢人甚于原则，此外我还喜欢没原则的人甚于世界上 的一切。 42、当美国的好人死了，他们就去巴黎。当美国的坏蛋死了，
西方经济学(宏观部分)(高鸿业)第十三章--简单的国民收入决定理论
第十一章 国民收入决定理论[1]——收入－支出模型 [Income－Expenditure Model] 本章内容又被称之为简单国民收入决定理论或简单的凯恩斯模型, 所谓简单是指仅从产品市场的角度说明国民收入的决定, 不考虑货币市场和要素市场对国民收入决定的影响。 凯恩斯主义的基本出发点就是总需求决定论——决定国民收入或产出水平及其变动的基本力量是社会总需求。本章内容属于凯恩斯主义的总需求分析, 即不考虑总供给对国民收入决定的影响。 第一节均衡产出 第二节凯恩斯的消费理论 第三节两部门经济中国民收入的决定及变动 第四节三部门经济中国民收入的决定及变动 第五节四部门经济中国民收入的决定及变动 第一节均衡产出 一、均衡产出概念 均衡产出[Equilibrium Output]——与社会总需求相等的产出。 或与社会总支出相等的产出, 即与全社会所有居民和厂商的计划总支出相等的产出。 二、两部门经济均衡产出的条件 两部门( 居民户和企业) 经济——不考虑政府和对外贸易的作用。 社会总产出或国民收入决定于社会总支出。 Y=C+I (C+I=总支出[AE]) Y——收入, C+I——计划消费与计划投资 均衡产出或收入的条件: [总支出]AE=Y [总收入] AE=C[计划消费]+I [计划投资] Y=C[计划消费]+S[计划储蓄] I 计划投资＝计划储蓄 = S AE 100 AE Y=AE Y—AE=UI(非计划存货) UI>0 E AE 100 UI<0 45。45。 0 100 Y 0 100 Y
第二节凯恩斯的消费理论 一、消费函数与消费倾向 消费函数概念 消费函数[Consumption Function]——消费支出与个人可支配收入之间的依存 关系。递增函数。 C＝C(Yd) C——消费, Yd——个人可支配收入 消费倾向 平均消费倾向[Average Propensity to Consume]——消费在可支配收入中所占比例。 APC = YdC 边际消费倾向[Marginal Propensity to Consume]——增加的消费在增加的可支配收入中所占比例。 MPC(β) = ??YCd或= dYddC 自发消费与引致消费 自发消费[Autonomous Consumption]——不取决于收入的消费。 引致消费[Induced Consumption]——随收入变动而变动的消费。 α——自发消费(常数); β——边际消费倾向, βYd——引致消费。 C＝α + βYd [α>0, β>0] 若消费函数为线性, b为常数。 消费曲线[边际消费倾向递减] 线性消费函数 C C C＝C(Yd) C＝α + βYd α 45。45。 0 Yd 0 Yd 二、储蓄函数与储蓄倾向 储蓄函数概念 储蓄函数[Saving Function]——储蓄与个人可支配收入之间的依存关系。递增函数。 S＝S(YD) S－储蓄, Yd－收入 储蓄倾向 平均储蓄倾向[Average Propensity to Save]——储蓄在可支配收入中所占比例。
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。 二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1 10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1 10 千 米的地方, 乌龟又向前跑了 1 100千米, 当阿喀琉斯又追到 1 100 千米时, 乌龟又向前跑了 1 10000千米, … …, 这样一来, 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗? 之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
西方经济学第十一章作业提交
第十一章作业 一、名词解释 1、自发消费 是指收入为0时举债或动用过去的储蓄也必须要有的基本生活消费。 4、引致消费 自发消费的对称，指消费中由内生变量所引起的消费。 5、平均消费倾向 是指在任一收入水平上消费在收入中比率，或者说，平均消费倾向就是消费与可支配收入的比值。 6、边际消费倾向 是指在增加的1单位收入中用于消费的部分所占的比率。 7、平均储蓄倾向 是指储蓄与可支配收入之间的平均关系，即储蓄与可支配收入的比值。 8、边际储蓄倾向 是指在增加的1单位的收入中用于储蓄的部分所占比率，也就是储蓄的变量化（△ S）与收入的变化量（△Y）的比值。 9、均衡的国民收入 在短期内，价格水平和社会总供给是不变的，均衡的国民收入决定于总需求，即均衡的国民收入等于总需求。由于总需求又可以用总支出来表示，所以，均衡的国民收入是指与总支出相等的收入。 10、自发性支出乘数 在宏观经济学中，自发支出是指不受国民收入、利率和价格水平影响的支出。从三部门经济的国民收入计算式可以看出，自发支出A由自发消费Ca、自发投资Ia、政府购买Ga、转移支付TR和政府税收T组成，即A=Ca+Ia+Ga+TR-T。 二、如何理解凯恩斯关于“节约的悖论”？ “节约悖论”是凯恩斯最早提出的一种理论，也称为“节俭悖论”、“节约反论”、“节约的矛盾”根据凯恩斯主义的国民收入决定理论，消费的变动会引起国民收入同方向变动，储蓄的变动会引起国民收入反方向变动。但根据储蓄变动引起国民收入反方向变动的理论，增加储蓄会减少国民收入，使经济衰退，是恶的；而减少储蓄会增加国民收入，使经济繁荣，是好的，
这种矛盾被称为＂节约悖论＂。 凯恩斯的国民收入决定分析，是在非自愿失业存在的前提下进行的短期、静态分析。另外，还要注意到凯恩斯的分析是一种总量分析，没有具体分析消费结构与收入结构。 1936年凯恩斯在《就业、利息和货币通论》中提出了著名的节约悖论，他引用了一则古老的寓言：有一窝蜜蜂原本十分繁荣兴隆，每只蜜蜂都整天大吃大喝。后来一个哲人教导它们说，不能如此挥霍浪费，应该厉行节约。蜜蜂们听了哲人的话，觉得很有道理，于是迅速贯彻落实，个个争当节约模范。但结果出乎预料,整个蜂群从此迅速衰败下去，一蹶不振了。 经济大萧条时期的景象就是节约悖论的一个生动而可叹的例子，由于人们对未来预期不抱任何希望，所以大家都尽量多储蓄。但是，他们不愿意消费的心理和行为又导致其收入继续下降。 不过值得注意的是，通常情况下，经济繁荣时期，储蓄的增加能有助于减轻社会通货膨胀压力，是有利的。而在经济萧条时期，根据乘数理论，消费的减少会使国民收入成倍减少，从而使经济进一步恶化!所以在经济萧条时期，政府总会增加财政支出,鼓励消费，来挽救经济颓势。 三、假设某经济社会的消费函数1000.8C Y =+为，投资为50（单位：10亿美元）。求： （1）均衡收入、消费和储蓄。 NI=C+I=100+0.8NI+50，NI=750，C=700，S=50 （2）如果实际产出为800，企业非意愿存货积累是多少？ 非自愿库存累积为50 （3）若投资增加到100，则增加的收入为多少？ 增加的收入为250 （4）若消费函数变为Y C 9.0100+=，投资仍为50，收入和储蓄各为多少？投资增至100时收入增加多少？ NI=C+I=100+0.9NI+50，NI=150，S=50，NI=500 （5）消费函数变动后，乘数有何变化？ 乘数由5变至10
哲学悖论1：上帝悖论
上帝悖论 上帝悖论意为“上帝不是万能的”。几个世纪前，罗马教廷出了一本书，书中用当时最流行的数学推论，导出“上帝是万能的”。一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝在力量方面不是万能的。如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝在创造力方面不是万能的。 理论来源 说法一：文艺复兴时，人文主义者曾说过一句很经典的话来攻击天主教。就是：“让上帝造一块自己也搬不动的石头。”这话听起来很好，恨不得给他鼓掌放花。因为天主教宣称上帝全知全能，所以如果上帝能造出这块石头，则他连块石头都搬不动还称什么全知全能。而如果上帝造不出来这种石头，那他连块石头都造不出来还称什么全知全能。所以上帝必定不是全知全能的。 说法二：几个世纪前，罗马教廷出了一本书，书中用当时最流行的数学推论，导出“上帝是万能的”。一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的。如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。由此那位智者导出“上帝不是万能的”。 宗教解释 目前为止，在宗教徒中，最普遍，也最被认同的观点是：上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答中，大致指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。 但在无神论者看来：“这仍是一种循环论证、强词夺理的论辩，没有任何意义。首先假定了“上帝是全能”，再从中推出“上帝不是全能”，这是明显的循环论证套路！另外，无神论者也指出，“正方形的圆”并非悖论。事实上，边长为0的正方形，和半径为0的圆就是同一样东西。“正方形的圆”可以自圆其说。” 当然，也有的宗教性回答，“上帝自可一分为二，一号上帝搬不动的石头交给力气大的二号上帝来搬。”其实解答的方向在于对于上帝的认知。根据《圣经》的启示，《圣经》中描述的上帝是有性格、有目的的、有情感的，具有情感性与目的性导致上帝自身必然存在“喜好”，也就是说有些事情是他不会去做的。比如：《圣经》指出上帝无法撒谎、上帝是公义的、上帝是爱。如果按照这样的解释，那么上帝当然有权利原则永远不做某些事情。其次，我们对于“悖论”的理解，是在自己的知识范围内。试想蚂蚁能理解莫比乌斯环是立体的吗？所以要真正的提出一个本质意义上的“上帝悖论”，提问者本身必须先具备上帝层面的属性与
悖论大集合
悖论大集合 （1）米堆悖论。如果一粒米不算一堆米，两粒米不算一堆米，三粒米不算一堆米……那么照此逻辑，一万粒米也不算一堆米。与之相对的是（2）沙丘悖论。如果有一堆沙，拿走一颗沙这还是一堆沙，拿走两颗沙这还是一堆沙，那么，拿走n颗也算是一堆沙，所以一颗沙也叫一堆沙。和我们的认识抵触。 （2）赌徒的谬误。假设有一个赌徒，他在赌博中连续赢了9次，请问第10次他会输还是赢？这个问题一般有两种答案，第一，他会赢，因为很多人觉得前9次赢了，说明他运气来了，下一次要赢了。第二，他会输，因为风水轮流转，不可能一直好运，这样才能平衡。这和买彩票号码是一样的，有人认为要买前几次出现过的号码，觉得这是热门号码。而有人则认为应该买其他号码，因为既然前几次是那个号码，那么后来就肯定不是了。这种对不确定的事情以前面的结果进行推测就叫赌徒的谬误。其实，第10次赌徒到底是输还是赢还是一件未知的事情，所谓运气楼主也不知道到底存不存在这种东西。你们呢？觉得运气存在么？ （3）怕老婆悖论。电台举行节目，要求所有男性出场。要求怕老婆的就站左边，不怕的站右边。中国男性以怕老婆为荣。于是纷纷走向左边。只有唯一一个男性在右边。主持人不解问他是不是不怕老婆，他说：“我老婆不让我去人多的地方。”这下主持人犯了难。到底他是怕老婆还是不怕呢？ （4）万能溶液悖论。（很多经典的悖论有可能大家见过就当复习吧，蹭）一位科学家的弟子好高骛远，于是有一天他非常骄傲的对老师说，我要发明一种能溶解任何东西的万能溶液。他的老师只是轻轻的说：那你用什么容器装它呢？ （5）鳄鱼悖论。一头鳄鱼抓住了一个小孩，它对小孩妈妈说：“你猜我吃不吃他？猜对了我就不吃他。猜错了我就吃了它。”小孩妈妈说：“我猜你要吃了我的孩子。”鳄鱼说：“哈哈，那我要吃了它。”小孩妈妈说：“我猜对了那你就不应该吃他。”鳄鱼这下糊涂了，如果还给她孩子，那他就猜错了我应该吃了它，但是我吃了他她就猜对了不应该吃他，最后鳄鱼还给了她孩子。 （6）部分等于整体悖论。请问偶数的个数和整数的个数相等么？可以知道当取任意整数n总会有一个对应的偶数2n。所以应该是相等的。但是生活经验告诉我们，整数包括偶数和奇数，所以不等。 （7）飞箭不动悖论。将飞箭运动过程分成无限个短过程，学过物理的人都知道这样是可以的。那么每一个过程都可以看成静止的，所以飞箭没有动。但是事实上飞箭动了。这是我国古代的悖论哟。支持。 （8）告示悖论。很多景点被人乱涂乱画。所以有工作人员就在墙上喷上请不要乱涂乱画字样。结果换来的是更多的乱涂乱画。有的人在那句话下面写你为什么乱涂乱画。有的人写我就乱涂了你打我呀。=_=。这种告示自己本身就违反了自己的原意。说不要乱涂乱画但是本身就在乱涂乱画。那应该怎么办呢？
十大数学悖论
… 十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的
哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。:
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}
是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天
节俭的悖论
在微观经济学中，S↑→个人财富↑，从这个角度看，节俭是美德。而在宏观经济学中，C↑→Y*上升到Yf。这便引出了消费致富论（越花钱，越有钱）、节俭的悖论。18世纪初，英国医生孟迪维尔，在他写的讽喻诗《蜜蜂的寓言，或个人劣行即公共利益》里就主张：“增加经济繁荣的，是消费而不是储蓄。”该诗的内容是说有一个社会，人们贪婪自私，追求浮华虚荣，所以无不奢侈浪费，以此炫耀自豪。但是，整个社会反而兴盛繁荣。忽然有一天，其中的公民决定放弃奢侈生活，国家也削减军备，大家都致力于储蓄，因此奢侈品无人问津，货弃于地。依供给奢侈品为生的人无法谋生，结果弄得一团糟。因此孟迪维尔认为：“节俭仅仅是美德，不能使国家兴盛……私人从事储蓄的确是致富之道。”但是他认为：“实行这个方法，令国家也可以致富则是错误的。”凯恩斯继承了孟迪维尔的观点，也认为：“私人致富之道，应用于国家行为之上，失业乃成为不可避免的结果。”凯恩斯反对新古典经济学关于节俭是美德的观点，断言节约造成失业。他说：“节约的目的是使工人解除工作……不论什么时候，你节约了5先令，你就要使一个人失去一天的工作……假定我们处于这样的极端情况，把自己的收入全部储蓄了起来，那就没有一个人再能找到工作。”“节俭是美德”和“节俭的悖论”的争论体现了合成谬误和分解谬误的存在。 局部合成谬误整体 ↑ → ↑ （个体）（总体） 合成谬误：对局部是正确的，对整体未必正确。例如：单个农民的大丰收，增加了个人的收入；整个地区的大丰收，出现了谷贱伤农。单个厂 商的涨价，增加了个人的收入；全体厂商的涨价，导致了通货膨胀。 局部整体 ↑ ← ↑ （个体）（总体） 分解谬误：对整体是正确的，对局部未必正确。例如：整个国家消费旺盛，经济繁荣起来；个人的铺张浪费，增加了个人的负债。整个国家厉行节约，经济萧条；个人的厉行节约，增加了个人的财富。合成谬误、分解谬误是现实生活中客观存在的现象，但是如果从理论推导出完全相反的结论，则深刻地体现了宏观经济学和微观经济学之间的矛盾、互斥。这些都根源于宏、微观经济学假设的不同。消费致富论的适用条件：深度萧条的背景下，生产能力闲置，价格具有刚性，总需求决定总供给，总供给不会成为约束总需求的条件。在经济繁荣时期，一个国家的生产能力、资源被充分利用，总供给开始约束总需求。扩张总需求的结果，不是致富，而是通货膨胀。 宏观经济学：
王尔德经典悖论
除了诱惑之外，我可以抵抗任何事物。（I can resist everything except temptation.) 生活里有两个悲剧：一个是没有得到我们想要的；另外一个是得到了。（There are only two trage dies in life:one is not getting what one wants and the other is getting it.) 邪恶是好人发明出来说明那些奇异而有魅力的人的神话。（Wickedness is a myth invented by good people to account for the curious attractiveness of others.) 每个伟人现今都有有信徒，而传记总由叛徒来写。（Every great man nowadays has his disciples,and it is always Judas who write the biography.) 教养良好的人处处和他人过不去，头脑聪明的人处处和自己过不去。（The well bred contradict other people.The wise contradict themselves.) 当神想惩罚我们的时候，他们实现我们的祈祷。（When the gods wish to punish us ,they answer our prayers.) 一个好的名声，就像好的意向一样，在很多个举动的形成，在一个举动中推动中失去。（A good name,like good will ,is got by many action and lost by one.) 一个愤世嫉俗的人知道所有东西的价格，不知道任何东西的价值。（A cynic is a man who knows the price of everything and the value of nothing.) 把人分成好的与坏的是荒谬的，人要么是迷人要，或者乏味。（It is absurd to divide people in to good and bad .People are either charming or tedious.) 女人是用来被爱的，不是用来被理解。（Women are meant to be loved,not to be understood.) 公众是惊人的宽容，可以原谅一切除了天才。（The public is wonderfully to lerant .It forgive everything except genius.) 诗歌可以拯救一切除了印刷错误。（A poet can survice everything but a misprint.) 我不想谋生，我想生活。（I don not want to eran my living .I want to live.) 比讨论更坏的唯一事情是不讨论。（The only thing worse than being talked about is not being talked about.) 没有比冷静更让人恼火的。（Nothing is so aggravating than calmness.) 声望是我从未经受的侮辱之一。（Popurlarity is the one in sult I have never suffered.) 真理很纯粹，可决不简单。（The turth is rarely pure and never simple.) 奚落是庸才对天才的颂歌。（Ridicule is the tribute paid to the genuis by the mediocrities.) 没有伟大的艺术家是看事物真实的样子，如果他这样他就不再是艺术家。（No great artist ever sees things as they really are ,If he did he would cease to be a artist.) 艺术的宗旨是展示艺术本身，同时把艺术家隐藏起来。 自传体是批评的最高形式，也是最低形式。 死亡和庸俗是十九世纪仅有的无法用巧辩逃避的东西。 我们这个时代的人，读书太多，甩以不再聪慧，思考太多所以不再美丽。 有些作品很有耐性，长时间以为也没被人了解，原因是这些作品为一些还未有人提出的问题提供了答案。这些问题在答案出现了很久很久以后才出现。 那些自称了解自己的人，都是肤浅的人。（只有肤浅的人了解自己） 只有聪明的女人才会犯骇人听闻的错误。 艺术并非模仿生活，而是生活在模仿艺术。 任何的艺术作品都无法表达观点，观点属于人，而非艺术家。 评论开始发挥影响之际也就是它不再是评论家的时候，评论的目的是写下作者自己的心情，而非改正其他人的杰作。 起初是我们造成习惯，后来是习惯造成我们。 犯罪并非是低级，但是低级都是犯罪。