江苏大数学分析-第一章 实数集与函数习题课
第一章 实数集与函数习题课
一
概念叙述
1．叙述S 有上界，有下界，有界，无上界，无下界，无界的定义．
S 有上界 ,, M x S ?$"? 有x M ￡ ； S 有下界 ,, L x S ?$"? 有x L 3 ； S 有界? S 既有上界又有下界
,,, m L x S ?$"? 有L x m ￡￡ 0,, M x S ?$>"? 有 x M ￡ ；
S 无上界 0 ,, M x S ?"$? 使得 0 x M > ； S 无下界 0 ,, L x S ?"$? 使得 0 x L < ； S 无界? S 无上界或S 无下界
0 0,, M x S ?">$? 使得 0 x M > ．
2．叙述 sup S = h 的定义．
1）设S 为R 中的一个数集．若数h 满足： （i）对一切 , x S ? 有x h ￡ ，即h 是S 的上界；
（ii）对任何a h < ，存在 0 x S ? ，使得 0 x a > ，即h 是S 的最小上界（比h 小的数就不 是上界） ，则称数h 为数集S 的上确界，记作 sup S = h ． 2）设S 为R 中的一个数集．若数h 满足： （i）对一切 , x S ? 有x h ￡ ，即h 是S 的上界；
（ii）对任何 0 > e ，存在 0 x S ? ，使得 0 x >- h e ，即h 是S 的最小上界，则称数h 也为 数集S 的上确界．
3．叙述 inf S h = 的定义．
1）设S 为R 中的一个数集．若数x 满足： （i）对一切 , x S ? 有x x 3 ，即x 是S 的下界；
（ii）对任何b x > ，存在 0 x S ? ，使得 0 x b < ，即x 是S 的最大下界（比x 大的数就不 是S 的下界），则称数x 为数集S 的下确界，记作 inf S x = ． 2）设S 为R 中的一个数集．若数x 满足： （i）对一切 , x S ? 有x x 3 ，即x 是S 的下界；
（ii）对任何 0 > e ，存在 0 x S ? ，使得 0 x <+ x e ，即x 是S 的最大下界，则称数x 为数 集S 的下确界，记作 inf S x = ．
4．叙述 ( ) f x 在D 上有上界,无上界,有下界,无下界，有界，无界．
( ) f x 在D 上有上界? M $ ， x D "? ，有 ( ) f x M ￡ ； ( ) f x 在D 上无上界? M " ， 0 x D $? ，使得 ( ) 0 f x M > ； ( ) f x 在D 上有下界? L $ ， x D "? ，有 ( ) f x L 3 ； ( ) f x 在D 上无下界? L " ， 0 x D $? ，使得 ( ) 0 f x L < ．
f 在D 上的有界? 0 M $> ， x D "? ，有|()| f x M ￡ ； f 在D 上的无界? 0 M "> ， 0 x D $? ，使得 0 |()| f x M 3 ．
二 疑难解析与注意事项
1．注意有理数用分数形式 (,0 p
p q q q
1 为整数且 )表示．在讨论具体问题时，我们常设 , p q 互 质．
2．确界与最值有什么区别与联系？
（1）S 的最值必属于S ,但确界未必属于S ，确界是一种临界点，例如( ) 0,1 的上确界 1 不 属于( ) 0,1 ．
（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值，例如( ) 0,1 有上下确界， 但无最值．
（3）若max S 存在,必有max sup . S S = 对下确界有类似的结论． 3．下列等式 ( ) arcsin sin x x = ， x R "? 是否正确．
答 不正确，sin x 在 ,22 p p éù -êú ?? 单调增，则sin x 在 ,22 p p éù
-êú ??
上具有反函数arcsin x ，由原函数
定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数定义域，因此arcsin x 定义域是[ ] 1,1 - ，值 域是 ,22 p p éù -
êú ?? ．因此 ( ) arcsin sin x 的取值应该在 ,22 p p éù
-êú ??
上． 注：1）当 ,22 x p p éù
?-
êú ?
? 时，arcsin(sin ) x x = ． 2）当 [ ] 1,1 x ?- 时，sin(arcsin ) x x = ．
4．试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期） ．
答 否．例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数．任何正实数都是常数函数的周
期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期．
5． 设狄利克雷函数 ， ( ) 1 g x x
= ， 1 x > ，试问复合
函数 f g o 和g f o 是否存在？
答设有两函数设有两个函数 (),,(), y f u u D u g x x E =?=? ，记 { }
() E x g x D E =? g
I ， 若E f 1 g ， ，函数 f 与g 才能进行复合．
1）对
，D R = ， ( ) 1
g x x
= ， 1 x > ，有
{ } () E x g x D E E =?=1?
g I 于是 f 与g 可以复合成 f g o ，其定义域为E ．
（2）对 ( ) 1
g u u
= ， { }
1 D u u => ，
，E R
= { } () E x f x D E =?=? g I ，于是g 与 f 不能复合为g f o ．
6．由§2，习题 7 可知：若A ，B 皆为有界数集，则有
．
( ) sup sup sup A B A B
+=+ 而本节教材例 2 中，若 f ，g 为D 上的有界函数，则
sup{()()}sup ()sup ()
x D
x D
x D
f x
g x f x g x ??? +￡+ 而且可能成立严格不等式． 上面二式是否有矛盾？为什么？
答 并不矛盾，这是因为{()()}{()}{()}
f x
g x x D f x x D g x x D +?ì?+?
而且在包含关系中左、 右两边的集合可能不相等．例如， ( ) f x x = ， ( ) g x x =- ， [ ] 0,1 D = ， 易见
{ } {()()}0 f x g x x D +?= ， [ ]
{()}{()}1,1 f x x D g x x D ?+?=- 于是
{()()} f x g x x D +? 1 ì {()}{()} f x x D g x x D
?+? 出现不等的原因在于数集{()}{()} f x x D g x x D ?+? 中 x 是独立地取自 D 中． 若把
{()()}{()}{()} f x g x x D f x x D g x x D +?ì?+? 式中左、右两边的数集看作相同而应
用 ( ) sup sup sup A B A B +=+ ，将导致错误的结论． 三 重点习题
1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：
（1）a x + 是无理数； （2）当 0 a 1 时，ax 是无理数． 证 （1）反证法，设a x + 是有理数，则可设 n
a x m
+=
(,0 m n m 1 为整数且 )，由于a 为有理数， 则可设 (,0 p a p q q q =
1 为整数且 )， 于是 n p nq mp x m q mq
- =-= (,0 mq nq mp mq -1 为整数且 )， 于是 x 是有理数，矛盾，则a x + 是无理数．
（2）反证法，设ax 是有理数，则可设 n
ax m
= (,0 m n m 1 为整数且 )，由于a 为有理数，则可 设 (,0 p a p q q q =
1 为整数且 )，由 0 a 1 ，知 0 p 1 ，于是 n q x m p
= (,0 mp nq mp 1 为整数且 )，于 是x 是有理数，矛盾，则ax 是无理数．
2．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数．
证 （反证）假设 p 为有理数，则存在正整数 , m n 使得 n
p m
=
，其中 , m n 互素．于 是 2
2
m p n = ，则m 整除 2
n ，由于 , m n 互素，则 , m n 的最大公约数为 1，于是存在 , u v ， 使 1 mu nv += ，从而 2
m u mnv m += ，于是m 可整除n ，这样 1 m = ，从而 2
p n = ，这与
p 不是完全平方数相矛盾，故 p 是无理数．
3． 设 , a b 为任意实数，证明：
||||||
1||1||1||
a b a b a b a b + ￡+
++++ 证 我们将从函数 x
x
x f + = 1 ) ( 的性质着手证明不等式．
设 x x x f + = 1 ) ( = x
+ - 1 1
1 ， 0 x > ，若 1
2 0 x x << ，则 ) ( ) ( 2 1 x f x f < ．
因为 a b a b +￡+ ，于是有
||||||
1||1||||
a b a b a b a b ++ ￡
++++ |
| | | 1 | | | | | | 1 | | b a b b a a + + + + + = ||||
1||1||
a b a b ￡
+ ++ ．
4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1） {
} ( )
2
22,2
S x x =<=- 解 2 inf , 2 sup - = = S S ．下面依定义加以验证sup 2 S = ， 1） x S "? ，有 2 2 < < - x ，即 2 是S 的一个上界，
2） 2 "a < ，若 2 a ￡- ，则 0 x S "? ，都有 0 x >a ；若 22 - ,2 a 必有实数 0 x ，即存在 0 x S ? ，使得 0 x >a ． 所以sup 2 S = ． 下证inf 2 S =- 1） x S "? ，有 2 2 < < - x ，即 2 - 是S 的一个下界， 2） 2 "a >- ，若 2 a 3 ，则 0 x S "? ，都有 0 x 2, - a 必有实数 0 x ，即存在 0 x S ? ，使得 0 x S x x n N + ìü ==- ? íy ?t ． 解 因为n N + ? ，对n 取1,2,L ，通过观察会发现sup 1 S = ， 1 inf 2 S = ． 分析：要证sup 1 S = ，只要证： 1) 1 是上界： , x S "? 有 1 x ￡ ，显然成立； 2）1 是最小的上界（比 1 小的数不是上界）． 即要证对任何 0 > e ，存在 0 x S ? ，使得 0 1 x >-e ， 即对任何 0 > e ，要找到一个 0 x S ? ，使得 0 1 x >-e ， 即对任何 0 > e ，找一个 0 n N + ? ，使得 0 0 1 1 2 n x =- 且 0 1 x >-e ， 找 0 n N + ? 的方法-----要使 0 1 x >-e ，只要 0 1 11 2 n ->-e ，即要 0 1 2 n 1 log n > e ，只要取 02 1 log 1 n éù =+ êúe ? ? ，就行． 下证sup 1 S = 1） , x S "? 有 1 x ￡ ，即 1 是上界； 2）对任何 0 > e ，取 02 1 log 1 n é ù =+ êúe ? ? ，则 0 0 1 1 2 n x S =-? ，且 0 1 x >-e ， 因此sup 1 S = ． 下证 1 inf 2 S = ： 1) , x S "? 因为n N + ? ，因此 11 1 22 n x =-3 ，即 1 2 是下界； 2）对任何 0 > e ，取 1 n = ，则 0 1 2 x S =? ，且 0 1 2 x <+e ， 因此 1 inf 2 S = ． 注 要证 sup S = h ，只要证 （i）h 是S 的上界：对一切 , x S ? 有x h ￡ ； （ii）h 是S 的最小上界：对任何a h < ，存在 0 x S ? ，使得 0 x a > ． 或对任何 0 > e ，存在 0 x S ? ，使得 0 x >- h e ． 5．设S 为非空数集，定义 { } | S x x S - =-? ，证明 (1)inf sup S S - =- ； (2)sup inf S S - =- ． 证（1）证inf sup S S - =- ， 令 inf S x - = ，由下确界的定义知， 1）x 是下界，对任意的x S - ? ，有x x 3 ； 2）x 是最大的下界， 比x 大的不能作为下界． 任意 , 0 > e ， 存在 0 x S - ? ， 使 0 x <+ x e ． 因为 { } | S x x S - =-? ，当x S - ? ，有 x S -? ． 由 1）对任意的 , x S x x -?-￡- ，即-x 是S 的上界； 由 2）任意 , 0 > e ，存在 0 x S -? ，使 0 x ->-- x e ． 由上确界的定义知sup S x =- ，即inf sup S S - =- ． （2）证sup inf S S - =- ． 令 sup S - = h ，由上确界的定义知， 1）h 是上界，对任意的x S - ? ，有x ￡h ； 2） h 是最小的上界， 比h 小的不能作为上界． 任意 , 0 > e ， 存在 0 x S - ? ， 使 0 x >- h e ． 因为 { } | S x x S - =-? ，当x S - ? ，有 x S -? ． 由 1）对任意的 , x S x -?-3-h ，即-h 是S 的下界； 由 2）任意 , 0 > e ，存在 0 x S -? ，使 0 x -<-+ h e ． 由下确界的定义知inf S =-h ，即sup inf S S - =- ． 6．设a 为任意实数，A 为R 中非空有界数集，证明： sup()sup , A a A a +=+ inf()inf A a A a +=+ 其中 } | { A x x a A a ? + = + ． 证 先证sup()sup , A a A a +=+ ． 由sup A 的定义，满足： （i） A x ? " ， sup x A ￡ ； （ii） e e - > ? $ > " A x A x sup , , 0 0 0 ． 于是又满足： （i） A x ? " ， sup a x a A +￡+ ； （ii） e e - + > + ? $ > " A a x a A x sup , , 0 0 0 ． 因而证得 A a A a sup ) sup( + = + ． 同理可证 inf()inf A a A a +=+ ． 7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集 { } ,, A B z z x y x A y B +==+?? ． 证明：（1） B A B A sup sup ) sup( + = + ；（2）inf()inf inf A B A B +=+ ． 证（1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以sup A 和sup B 都存在． 1）对任意的z A B ?+ ，存在 A x ? ，y B ? ，使z x y =+ ．于是 sup ,sup x A y B ￡￡ ， 从而 sup sup z A B ￡+ ，即sup sup A B + 为 A B + 的上界． 2）对任意的 0 e > ，存在 00 , x A y B ?? ，使得 00 sup ,sup 22 x A y B e e >->- ，则存 在 B A y x z + ? + = 0 0 0 ，使 0 sup sup z A B >+-e ． 所以sup()sup sup A B A B +=+ ． （2）证inf()inf inf A B A B +=+ ． 1）对任意的z A B ?+ ，存在 A x ? ，y B ? ，使z x y =+ ．于是 inf ,inf x A y B 33 ， 从而 inf inf z A B 3+ ，即inf inf A B + 为 A B + 的下界． 2）对任意的 0 e > ，存在 00 , x A y B ?? ，使得 00 inf ,inf 22 x A y B e e <+<+ ，则存 在 B A y x z + ? + = 0 0 0 ，使 0 inf inf z A B <++e ． 因此inf()inf inf A B A B +=+ ． 8．设 , A B 是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记 { } , AB xy x A y B =?? ，证明： ( ) sup sup sup AB A B = ． 证 先证 ( ) sup sup sup AB A B ￡ 由上确界定义， A x ? " ， sup , x A ￡ ， B y ? " ， sup y B ￡ ，因为 0,0 x y 33 ，所以 sup sup xy A B ￡ ，这说明sup sup A B 是 AB 的一个上界，于是 ( ) sup sup sup AB A B ￡ 再证 ( ) sup sup sup A B AB ￡ ． 按上确界定义， 0 > "e （不妨设 1 e < ）， e e - > ? $ - > ? $ B y B y A x A x sup , , sup , 0 0 0 0 ， 于是 AB y x ? $ 0 0 ，使 ) )(sup (sup 0 0 e e - - > B A y x ． 这样就有 00 sup (sup )(sup ) AB x y A B 3>-e -e ， 2 sup sup (sup sup ) A B A B =-+e +e e ) 1 sup (sup sup ? sup + + - > B A B A 由于 , A B 中元素皆非负，因此 sup 0.sup 0 A B 33 ， sup +sup +10 A B 3 ，于是 e e ) 1 sup (sup + + = ￠ B A 仍为一任意小的正数．这样证得 ( ) sup sup sup A B AB ￡ ． 由此得到 ( ) sup sup sup AB A B = ． 9．确定下列初等函数的存在域: (1) sin(sin ) y x = ； (2) lg(lg ) y x = ； (3) arcsin(lg ) 10 x y = ； (4) lg(arcsin ) 10 x y = ． 解（1）因为sin x 的存在域为R ，所以 sin(sin ) y x = 的存在域为R ． （2） 存在域为 0 lg 0 x x > ì í > ? ， 因lg 0 x > 等价于 1 x > ， 所以 lg(lg ) y x = 的存在域是( ) 1,+￥ ． （3）存在域为 10 1lg 1 0 1 0 x x ì > ? -￡ ? í ? ￡ ? ? ，而 1lg 1 10 x -￡￡ 等价于1100 x ￡￡ ，所以 arcsin(lg ) 10 x y = 的存在域是[ ] 1,100 ． 注 arcsin y x = 的存在域是[ ] 1,1 - ． （4）存在域为 arcsin 10 01 1 1 x x -￡ ì > ? ? í ? ￡ ? ? ，因为arcsin 10 x 的值域为 ,22 éù -êú ?? p p ，且sin x 在 ,22 éù -êú ?? p p 上 递增，因此 arcsin 0 10 x > 等价于 sin arcsin 10 sin0 x ? ? ?÷ > è ? ，即 0 10 x > ，即 0 x > ．所以 lg(arcsin ) 10 x y = 的存在域是 ] (0,10 ． 10．证明关于函数 ] [x y = 的如下不等式： （1）当 0 x > 时， 1 11 x x x éù -<￡ êú ?? ；（2）当 0 x < 时， 1 11 x x x éù ￡<- êú ?? ． 证（1）因为 x x x 1 1 1 1 ￡ ú ? ù ê ? é < - ，所以当 0 x > 时，有 1 11 x x x éù -<￡ êú ?? ． （2）当 0 x < 时，在不等式 x x x 1 1 1 1 ￡ ú ? ù ê ? é < - 中同时乘以x ，可得 1 11 x x x éù ￡<- êú ?? ． 注 对 ] [x y = 有不等式 1[] x x x -<￡ 与[][]1 x x x ￡<+ ． 8．证明 1 ) ( 2 + = x x x f 是R 上的有界函数． 证 当 0 x 1 时， 2 1 2 1 ) ( 2 = ￡ + = x x x x x f ， 当 0 x = 时， (0)0 f = ， 因此 x R "? 有 1 () 2 f x ￡ ， 故 1 ) ( 2 + = x x x f 是R 上的有界函数． 注 本题常见错误是不讨论x 是否为0． 11．设 f g 和 为D 上的有界函数．证明: (1) inf{()()}inf ()sup () x D x D x D f x g x f x g x ?? ? +￡+ ； (2) sup ()inf ()sup{()()} x D x D x D f x g x f x g x ? ?? +￡+ ． 解 法1 （1） 0 "e > ， 0 x D $? ， 使得 ( ) 0 inf () x D x x f f ? < +e ． x D "? ， 有 ()sup () x D g x g x ? ￡ ， 当然有 0 ()sup () x D g x g x ? ￡ ，于是 ( ) 0 0 ()inf ()sup () x D x D g x f x g f x x ? ? + + < +e ，又因为 x D "? ， 有inf{()()}()() x D f x g x f x g x ? +￡+ ，当然有 ( ) 0 0 inf{()()}() x D f f x x x g x g ? + +￡ ，因此有 ( ) 0 0 inf{()()}()inf ()sup () x D x D x D f x g x g x f x g x f x ?? ? + +< +￡+e ，由e 任意性有 inf{()()}inf ()sup () x D x D x D f x g x f x g x ?? ? +￡+ ． （2）） 0 "e > ， 0 x D $? ，使得 ( ) 0 sup () x D x x f f ? > -e ． x D "? ，有 ()inf () x D g x g x ? 3 ， 当然有 0 ()inf () x D g x g x ? 3 ，于是 ( ) 0 0 ()sup ()inf () x D x D g x f x g f x x ? ? + >+-e ，又因为 x D "? ， 有sup{()()}()() x D f x g x f x g x ? +3+ ，当然有 ( ) 0 0 sup{()()}() x D f f x x x g x g ? + +3 ，因此有 ( ) 0 0 sup{()()}()sup ()inf () x D x D x D f x g x g x f x g f x x ? ?? >+ + +3-e ，由e 任意性有 sup ()inf ()sup{()()} x D x D x D f x g x f x g x ? ?? +￡+ ． 法 2（1）对任意的x D ? ，由于inf ()(),inf ()() x D x D f x f x g x g x ?? ￡￡ 所以inf ()inf ()()() x D x D f x g x f x g x ?? +￡+ ，故有 inf ()inf ()inf{()()} x D x D x D f x g x f x g x ??? +￡+ ○ 1 据不等式○ 1又有 inf{()()}inf{()}inf{()()()}inf () x D x D x D x D f x g x g x f x g x g x f x ???? ++-￡+-= 故 inf{()()}inf ()inf{()}inf ()sup () x D x D x D x D x D f x g x f x g x f x g x ???? ? +￡--=+ ． (2) 对任意的x D ? ，由于 ()sup (),()sup () x D x D f x f x g x g x ?? ￡￡ ，所以 ()()sup ()sup () x D x D f x g x f x g x ?? +￡+ 所以 sup{()()}sup ()sup () x D x D x D f x g x f x g x ??? +￡+ ○ 2 据不等式○ 2 知sup{()()()}sup{()()}sup{()} x D x D x D f x g x g x f x g x g x ??? +-￡++- 故 { } sup{()}sup ()sup ()() x D x D x D g x f x f x g x ??? --+￡+ 即 { } sup ()inf ()sup ()() x D x D x D f x g x f x g x ? ?? +￡+ ． 12． 设 f g 和 为D 上的非负有界函数，证明: (1)inf ()inf ()inf{()()} x D x D x D f x g x f x g x ??? ×￡× ； (2)sup{()()}sup ()sup () x D x D x D f x g x f x g x ??? ×￡× 证 (1)对任意的x D ? ， ()0,()0 f x g x 33 ，有0inf ()(),0inf ()() x D x D f x f x g x g x ?? ￡￡￡￡ ， 于是有inf ()inf ()()() x D x D f x g x f x g x ?? ×￡× ，故 { } inf ()inf ()inf ()() x D x D x D f x g x f x g x ??? ×￡× ． (2)对任意的x D ? ， ()0,()0 f x g x 33 ， 则有 sup (),sup ( 0 ) ()0() x D x D f x g x x f g x ?? ￡￡￡￡ 从而有 sup ()() ) ( ( ) x D f x g f x x g x ? ×￡× ，故有sup{()()}sup ()sup () x D x D x D f x g x f x g x ??? ×￡× ． 13．设 f 在区间I 上有界．记 sup (),inf () x I x I M f x m f x ? ? == ，证明: , sup ()(). x x I f x f x M m ￠￠￠? ￠￠￠ -=- 证 由上、下确界的定义，对任意的x x I ￠￠￠? 、 有 (),() m f x M M f x M ￠￠￠ ￡￡￡￡ 从而有 ()() m M f x f x M m ￠￠￠ -￡-￡- ， 即 ()() f x f x M m ￠￠￠ -￡- ．所以 , sup ()(). x x I f x f x M m ￠￠￠? ￠￠￠ -￡- 另一方面，对任意的 12 0,I x x e >? 存在 、 ，使得 12 (),(). 22 f x M f x m >-<+ e e 从而 1212 ()()()() M m f x f x f x f x e --<-￡- ，因此 , sup ()(). x x I f x f x M m ￠￠￠? ￠￠￠ -=- 小结 确界的性质 （1）设A 、B 两非空数集，定义 } , | { B y A x y x B A ? ? + = + ，则 sup()sup sup , A B A B +=+ inf() A B += inf inf A B + ． 特别的 sup()sup , A M A M +=+ inf()inf A m A m +=+ ，其中M 、m 为两个实数． （2）设A 、B 两非空有界数集，且A B í ，则 inf inf sup sup B A A B ￡￡￡ ． （3）设 A 、B 为非空数集，满足：对一切x A ? 和 y B ? 有x y ￡ ．则数集A 有上确界， 数集B 有下确界，且sup inf . A B ￡ 注 设A 、B 两非空有界数集，且对一切x A ? 和 y B ? 有x y ￡ ．则 inf sup inf sup . A A B B ￡￡￡ （4）设A 、B 两非空有界数集，则 sup()max{sup ,sup } A B A B è= ； inf()min{inf ,inf } A B A B è= ． （5）设 () f x 与 () g x 均为D 上有定义的有界函数，且x D ? ，有 ()() f x g x ￡ ，则 inf{()}inf{()}inf{()()}inf{()} f x g x f x g x f x +￡+￡ sup{()} g x + ． ￡ sup{()()}sup{()}sup{()} f x g x f x g x +￡+ （6）设 () f x 为D 上的有界函数， sup () M f x = ，设 inf () m f x = ；则 12 12 , sup |()()| x x D f x f x M m ? -=- ． 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(*∈N n ()0 10a a =≠ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2） ()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ， 43，35，110 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A 43，35，110 B ，43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1 的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 对数函数 1．对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 a>1 0 图 象 32.521.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 11 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x=1时，y=0 )1,0(∈x 时 0 指数函数和对数函数·换底公式·例题 例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m为[] 解B由已知有 A．b＞a＞1B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1D．1＞b＞a＞0 解A由已知不等式得 故选A． [] 故选A． [] A．[1，+∞]B．(-∞，1]C．(0，2)D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数， [] A．m＞p＞n＞qB．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞qD．m＞q＞p＞n 例1-6-43(1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)． 但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1． 例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____． 由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值． 例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小： 例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足 3log x a+log a x-log x y=3 (1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y； (2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解(1)由换底公式，得 即log a y=(log a x)2-3log a x+3 当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3． 对数运算、对数函数经典例题讲义 1．对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，log e N简记为________． 3．对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则a x＝N?log a N＝____. 对数恒等式：a log a N＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4对数函数典型例题
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