上海杨浦高级中学数学几何图形初步中考真题汇编[解析版]

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．

（1）如图①，已知：Rt△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；

（2）如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下：

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）解：∵∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD和△CEA中，

∴△ABD≌△CEA(AAS)，

∴S△ABD=S△CEA，

设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，

∴S△ABC= BC?h=12，S△ACF= CF?h，

∵BC=2CF，

∴S△ACF=6，

∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，

∴△ABD与△CEF的面积之和为6．

【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，即可得出结论；（2）由∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．

2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；

（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．

【答案】（1）25°

（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB

∠MOB=2∠BOC=130°

∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°

∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°

（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°

∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°

∠MON=90°

∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°

4∠NOC+∠NOC=25°

∠NOC=5°

∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°

【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°

∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°

【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度

数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.

3．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8

（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,

（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．

【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.

（2）MN=

【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；

（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.

4．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．

（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；

（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；

（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；

（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）

【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD

（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，

∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，

∠ACB=90°+60°=150°

（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：

∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，

∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°

（4）解：成立

【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；

（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；

（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；

（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。。

5．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.

（1）如果∠A=80°，求∠BPC= ________.

（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.

（3）将直线MN绕点P旋转。

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

【答案】（1）130°

（2）90°﹣∠A

（3）解：(i)∠MPB+∠NPC= ? ∠A.

理由如下：

∵∠BPC= +∠A，

∴∠MPB+∠NPC= ?∠BPC=180°?( + ∠A)= ?12 ∠A.

(ii)不成立,有∠MPB?∠NPC= ? ∠A.

理由如下：

由题图④可知∠MPB+∠BPC?∠NPC= ，

由(1)知：∠BPC= + ∠A，∴∠MPB?∠NPC= ?∠BPC= ?( + ∠A)=

? ∠A.

【解析】【解答】(1)

故答案为：

( 2 )由 = 得∠MPB+∠NPC= ?∠BPC= 1?( + ∠A)= ? ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC= ? ∠A

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的

内角和定理及∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的值，然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。

（2）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，代入计算即可得出结论。

（3）(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° ?∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A，代入即可得出结论；(ii)根

据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB?∠NPC= 180 ° ?∠BPC，代入求出即可得出结论

6．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.

（1）求的度数.

（2）若，求的度数(用含的代数式表示).

（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.

【答案】（1）解：∵平分，，

.

（2）解：如图，过点作

∵，

，， .

∵平分，平分，，，

，，

..

（3）解：如图2为平移后的图形.

的度数发生了改变.

过点作，平分，平分，，，

， .

∵，

，

，，

.

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；

（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；

（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，

∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：

，进而可由求得答案.

7．

（1）思考探究：如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系是________.

（2）类比探究：如图②，四边形中，设，，

，四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用，的代数式表示)

（3）拓展迁移：如图③，将(2)中改为，其它条件不变，请在图③中画出，并直接写出 ________.(用，的代数式表示)

【答案】（1）

（2）解：延长、，交于点 .

，

由(1)知：

∴ .

（3）

【解析】【解答】解：(1)

∵平分，平分，

∴，

∵是的外角

∴

∵是的外角

∴

( 3 )延长，交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图：

，

【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.

8．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；

（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。

①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；

②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。

【答案】（1）解：如图①

【法1】过点E作直线EK∥AB

因为AB∥CD，所以EK∥CD

所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK

所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD

【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180°

则∠BAC+∠DCA=180°

即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°

所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC

即∠AEC=∠BAE+∠ECD

（2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH

又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD

由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH

= ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE

= （∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45°

【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH

因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x

又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x

又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°

所以∠BAH=∠EAH=45°-x

由(1) 知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°

②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH

又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD

由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH

= ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD

= ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD)

=90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC

【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y

因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-

由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y

∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH

=x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90°

所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)

【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解；

（2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；

②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.

9．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.

（1）直接写出的大小为________；

（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？

（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.

【答案】（1）60°

（2）解：设灯转动t秒，直线直线，

①当时，如图，

，

，

，

，

，

，

解得；

②当时，如图，

，，

，

，，解得，

综上所述，当秒或秒时直线；

（3）解：和关系不会变化，

理由：设射线AM转动时间为m秒，

作，，，

，，

，

，，

，

而，

，

，

，

，

即，

和关系不变.

【解析】【解答】解：（1）∵

，

∴，

∴（两直线平行，内错角相等）

故结果为：；

【分析】(1)根据得到，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t秒，直线直线，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出，再根据三角形内角和即可表示出，即可得到答案；

10．已知直线AB平行CD，直线EF分别截AB、CD于点E、F两点。

（1）如图①，有一动点P在线段CD之间运动（不与C，D两点重合），试探究∠1、∠2、∠3的等量等关系？试说明理由。

（2）如图②、③，当动点P在线段CD之外运动（不与C，D两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由。

【答案】（1）解：∠2=∠1+∠3理由如下：

如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.

∵AB∥CD，PQ∥AB，

∴PQ∥CD.

∴∠3=∠CPQ.

∵∠2=∠APQ+∠CPQ

=∠1+∠3.

（2）解：解：②∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠3 ∠1.理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.

∵AB∥CD，PQ∥AB，

∴PQ∥CD.

∴∠3=∠CPQ.

∠2=∠CPQ ∠APQ

=∠3 ∠1.

③∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠1 ∠3.理由如下：

如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.

∵AB∥CD，PQ∥AB，

∴PQ∥CD.

∴∠3=∠CPQ.

∠2=∠APQ ∠CPQ

=∠1 ∠3.

综合②、③的结论，∠2= .

【解析】【分析】（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠APQ+∠CPQ即得结论；

（2）不成立，新的结论为∠2=∠3∠1.理由：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠CPQ∠APQ即可求出结论；

（3）不成立，新的结论为∠2=∠1∠3.理由如下：同（1）可证∠1=∠APQ，∠3=∠CPQ，利用∠2=∠APQ∠CPQ即可求出结论.

11．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.

（1）过点O作直线MN⊥AB；

（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；

（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.

【答案】（1）解：如图，MN为所求

（2）解：若F在射线OM上，

∵MN⊥AB，OE⊥CD，

∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，

则∠EOF＝∠AOC＝35°；

若F'在射线ON上，

∵MN⊥AB，OE⊥CD，

∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°

则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；

综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；

（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5

∴∠BOD：∠BOC＝1：5，

∴∠BOD＝∠COD＝30°，

∴∠AOC＝30°，

又∵EO⊥CD，

∴∠COE＝90°，

∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON 上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.

12．（探索新知）

如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若AC＝3，则AB＝________；

（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC________DB；

（3）（深入研究）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．

若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．

（4）图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．

【答案】（1）3π+3

（2）=

（3）解：由题意可知，C点表示的数是π+1，

M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，

x+πx=π+1，解得x=1，

∴MN=π+1-1-1=π-1

（4）解：设点D表示的数为x，

如图3，若CD=πOD，则π+1-x=πx，解得x=1；

如图4，若OD=πCD，则x=π（π+1-x），解得x=π；

如图5，若OC=πCD，则π+1=π（x-π-1），解得x=π+ +2；

如图6，若CD=πOC，则x-（π+1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；

综上，D点所表示的数是1、π、π+ +2、π2+2π+1

【解析】【解答】（1）解：∵AC=3，BC=πAC，

∴BC=3π，

∴AB=AC+BC=3π+3

（ 2 ）解：∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，

∴BC=πAC，AD=πBD，

∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，

∵AB=AC+BC=AD+BD，

∴x+πx=y+πy，

∴x=y

∴AC=BD

【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.