2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一测试（辽宁卷）
数 学（理）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1
i 1
z =
-模为 ( ) A.
1
2
B.2
C.2
D.2
【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.
【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题分析】
111112
i,i i 122222
z z =
=--∴=--=
-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）
A ．()01，
B ．(]02，
C ．()1,2
D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题分析】
{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，
{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.
3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则和向量AB 同方向的单位向量为 （ ）
A.3
455?? ???，-
B.4355?? ???，-
C.3455??- ???，
D.4355??
- ???
，
【测量目标】向量的基本概念.
【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题分析】()3,4AB =-，则和其同方向的单位向量34(,)55AB
AB
==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；
3p ：数列n a n ??
????
是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；
其中的真命题为 （ ）
A.12,p p
B.34,p p
C.23,p p
D.14,p p
【测量目标】等差数列的性质.
【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D
【试题分析】根据等差数列的性质判定.
0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）
1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）
同理3p 是假命题.
13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，
若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60
第5题图
【测量目标】频率分布直方图.
【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题分析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是
00050012003...+?=（），所以该班的学生人数是
15
500.3
=. 6．在ABC △上，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
且,a b >则B ∠= ( ) A ．
π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.
【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A
【试题分析】根据正弦定理和和角公式求解.由正弦定理可得
sin sin cos A B C +1
sin sin cos sin 2
C B A B =, （步骤1）
又
sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1
sin sin 2
(A C )B +==.（步骤2）
a b >,∴π
6
B ∠=. （步骤3）
7．使得()3n
x n x x +?
+∈ ??
?N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题分析】根据二项展开式的通项公式求解.()
5
2
1=C 3C 3r
n r n r
r r n r r n
n T x x x x ---+= ?
??
，当1r T +是 常数项时，5
02
n r -
=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）
A ．511
B ．1011
C ．3655
D ．7255
第8题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题分析】13S =
，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，2
3147819S ∴=+=-，1010i ==，2415
910111
S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）
9．已知点()()()
3
0,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）
A ．3b a =
B ．3
1
b a a
=+ C ．(
)3
3
10b a
b a a ??---= ??
? D ．331
0b a b a a
-+--= 【测量目标】直线的倾斜角和斜率.
【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.
【难易程度】中等 【参考答案】C
【试题分析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此 时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=
，则3
0b a =≠，若π2
B ∠=，根据斜率关系可知 32
1a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即31
0b a a
--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.
（步骤2）
10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的半径为 （ ）
A 317
B ．10
C ．13
2
D ．310 【测量目标】立体几何的综合问题.
【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C
【试题分析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,
∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面
11BCC B 内，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴22212513R +=,即13
2
R =.
11．已知函数()()2
2
22f x x a x a =-++，()()2
2
228g x x a x a =-+--+.设
1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，
{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，
则A B -=( ) A.2216a a -- B.2
216a a +- C.16- D.16 【测量目标】二次函数的图象和性质.
【考查方式】给出两函数分析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难
【参考答案】C
【试题分析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2
()4x a -= ， （步骤1）
∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下
的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则
1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x a g x a x a f x x a -??-<<+??+?2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -??
=-<<+??+? （步骤2）
∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+， ∴16.A B -=-（步骤3）
12．设函数()f x 满足()()2
e 2x x
f x xf x x '+=，()2
e 28
f =，则0x >时，()f x （ ）
A.有极大值，无极小值
B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
【测量目标】利用导数求函数的极值.
【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活使用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D
【试题分析】由题意知2'
33
e 2()e 2()
()x x f x x f x f x x x x
-=-=.（步骤1） 令2
()e 2()x g x x f x =-，则
()2
2
2e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x x
x
x
x g x x f x xf x x f x xf x x x ??
'''=--=-+=-=- ???
.
（步骤2）
由()0g x '=得2x =，当2x =时，2
2
2
min
e ()e 2208
g x =-??=，即()
0g x ，则当0x >时，
3
()
()0g x f x x
'=
，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
第13题图
【测量目标】由三视图求几何体的体积.
【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-
【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2
540x x -+=的两个根，
则6S = .
【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.
【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数
列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】
13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，
∴131,4,2,
a a q ===6
61263.12
S -==-
15．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F 椭圆C 和过原点的直线相交于,A B 两点，连
接,AF BF ，若4
10,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.
【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.
【难易程度】中等 【参考答案】
57
【试题分析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，
直线过原点，
16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）
在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得2
4361002105
x x =+-??
，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）
26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）
又
在Rt ABF △中，BO AO =，1
52
OF AB ∴=
=，即5c =，
（步骤5） 5
7
e ∴=
.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .
【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.
【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10
【试题分析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知
2222212345
123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5
x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平
方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或
6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）设向量)
()π3,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ??
=
=∈????
a b
（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.
【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和和差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数和向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题分析】（Ⅰ）
22
22222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x
x x x x =+==+=a b ,=a b
∴24sin 1.x = （步骤1）
又x ∈π0,2??
????
，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）
（Ⅱ）
()3sin f x x ==a b 2311π1
cos sin sin 2cos 2sin(2),2262
x x x x x +=
-+=-+ ∴当π3x =
∈π0,2??????时，π
sin(2)6
x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为3
2. （步骤4）
18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.
第18题图
【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.
【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活使用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等
【试题分析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,得PA BC ⊥,
又PA AC A =,PA ?平面PAC ,AC ?平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ?平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）
(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又
1PA =,()0,1,0A ∴,)
3,0,0B
,()0,1,1P .（步骤3）
故(
)
3,0,0CB =
,()0,1,1CP =.
设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ??=???=??n n 11130,
0,x y z ?=?∴?+=?
?
不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）
()0,0,1AP =,(
)
3,1,0AB =
-,
设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ?=??=??n n 2220,
30,z x y =??∴?-=?
?（步骤5）
不妨令21x =，则()
21,3,0=n .
于是1236
cos ,422
=
=n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为
6
4
.（步骤6）
第18题图（1）
解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，
PA ⊥平面ABC ,CM ?平面ABC ,PA CM ∴⊥.
又PA AB A =,且PA ?平面PAB ,AB ?平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32
BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =
.
Rt BNM △∽Rt BAP △,3
215
MN
∴
=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6
cos CNM ∴∠=,
∴二面角C —PB —A 的余弦值为6
.（步骤5）
第18题图（2）
19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35
，答对每道乙类题的概率都是
4
5
，且各题答对和否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.
【测量目标】古典概型，互斥事件和对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.
【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等
【试题分析】 (1)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，
则有A = “张同学所取的3道题都是甲类题”．
()36310C 1
C 6
P A ==，()()
516P A P A ∴
=-=.（步骤1）
(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）
()02
02321
40=C 555125
P X ????== ? ?
????；（步骤3） ()11
02
10
22
32132428
1C +C 555
555125P X ????????=== ? ? ? ?
????????
；（步骤4） ()2
1
1
21
22
32132457
2C +C 555
555125P X ????????=== ? ? ? ?
????????
；（步骤5） ()2
2232436
3C 555125P X ????=== ? ?
????
.（步骤6） X ∴的分布列为：
X 0 1 2 3
P
4125 28125 57125
36125
（步骤7）
()428573601232125125125125
E X ∴?
???=＝＋＋＋.（步骤8） 20．（本小题满分12分）如图，抛物线()22
12:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线
2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA
的斜率为1
2
-.
（I ）求p 的值；
（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为
第20题图
【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.
【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点和直线的关系求解；利用椭圆和直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）
抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'
2
x
y =
，且切线MA 的斜率
为12-
，∴A 点坐标为（1-，14
）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11
(1)24
y x =-++. (步骤2)
.
点M （012,)y 在切线MA 及抛物线2C 上，
∴011322(22)244y -=--+=-①20(12)322
y --==② （步骤3）
由①②得2p =. （步骤4）
（Ⅱ）设22
12
1212(,),(,),(,),,44
x x N x y A x B x x x ≠
N 为线段AB 中点∴12
2
x x x +=
，③22
128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2
22
2()24
x x y x x =-+.⑥ （步骤6）
由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x x
x y +== （步骤7）
点M （00,)x y 在2C 上，即2
00,4x y =-∴22
1212.6
x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得2
4,0.3
x y x =≠ （步骤9）
当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足2
4.3
x y =
∴AB 中点N 的轨迹方程为24
.3
x y = （步骤10）
21．（本小题满分12分）
已知函数()()21e x
f x x -=+，()3
12cos 2
x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()1
11x f x x
-+ ；
（II ）若()()f x g x 恒成立，求实数a 取值范围.
【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.
【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难
【试题分析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1x
x x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.
（步骤1） 记()()(1)e 1e x
x h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，
（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()
()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．
（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1x
x x
-+＋，只需证明e
1x x ＋.（步骤5） 记()e 1x K x x =--，则()e 1x
K x '=-，（步骤6） 当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()
()00K x K =.所以()
1
1f x x
+，[]0,1x ∈．（步骤8）
综上，()
1
11x
f x x
-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2x
x f x g x x ax x x -??-=-+++ ???
＋
3
112cos 2x x ax x x -----
2
(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）
设()2
2cos 2
x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）
当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）
从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）
所以，当3a
-时，()
()f x g x 在[]0,1上恒成立．
（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．
()()
3
112cos 12
x f x g x ax x x x -----+ 3
2cos 12x x ax x x x -=---+ 2
12cos 12x x a x x ??=-+++ ?+??
，
（步骤17） 记()211
2cos ()121x I x a x a G x x x =
+++=++++， 则()2
1
()(1)I x G x x -''=++，（步骤18）
当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）
于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20） 因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴?∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()
()f x g x 在[]0,1上不恒成立．
（步骤22） 综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，2
211
1cos 12
4
x x
x -
-.（步骤10）
记()2
1cos 1
2
F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11） 记()sin
G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，
（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）
因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）
因此()
()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，21
1cos 2
x x -.（步骤15）
同理可证，当[]0,1x ∈时，2
1cos 14
x x -.（步骤16）
综上，当[]0,1x ∈时，2211
1cos 124
x x x --.（步骤17）
当[]0,1x ∈时，
()()()3
21e 12cos 2x
x f x g x x ax x x -??-=+-+++ ???
321(1)12124x x ax x x ??
------ ???
()3a x =-+.（步骤18）
所以当3a
-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．
（步骤19） 下面证明当3a >-时，()
()f x g x 在[]0,1上不恒成立．
()()()3
21e 12cos 2x
x f x g x x ax x x -??-=+-+++ ???
3211121122x ax x x x ??----- ?+?? 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ??-+????
，（步骤20） ()00,1x ∴?∈ (例如0x 取33a +和1
2
中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）
综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-．（步骤23）
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 和半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，
EF 垂直AB 和F ，连接,AE BE .证明：
（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2
.EF AD BC =?
第22题图
【测量目标】几何证明选讲.
【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易
【试题分析】(Ⅰ)直线CD 和⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）
AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π
2
EAB EBF ∠+∠=
； （步骤2） 又
EF AB ⊥,∴π
2
FEB EBF ∠+∠=
. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）
（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）
类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）
又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2
EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系和参数方程
在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为
π4sin ,cos 2 2.4
ρθρθ??
=-= ??
?
（I ）求1C 和2C 交点的极坐标；
（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 和2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312
x t a b y t ?=+?
?=+??
（t ∈R 为参数），求,a b 的值.
【测量目标】极坐标和参数方程.
【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 和2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.
【难易程度】容易
【试题分析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为22
24x y +
-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解22
2440x y x y ?+-=?+-=?
（），，得1104x y =??=?，，2222x y =??
=?， (步骤1) ∴1C 和2C 交点的极坐标为ππ42224???? ? ????
?，，，. （步骤2）
注：极坐标系下点的表示不是唯一的.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点和Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.
∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)
由参数方程可得b ab
y x 22
=-+1. （步骤4）
∴12122
b ab ?=????-+=??，，解得12a b =-??=?，. （步骤5）
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >.
（I ）当=2a 时，求不等式()
f
x 4x a --的解集；
（II ）已知关于x 的不等式(2)2()
f x a f x +
-2的解集为{1
x
x
}2，求a 的值.
【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.
【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等
【试题分析】（1）当2a =时，2624224264x x f
x x x x x .-+??
+-=<
，，（），，， (步骤1) 当2x
时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x
时，由44f x x --（）得26
4x -，解得5x
. （步骤4）
∴44f x x --（） 的解集为{1x x
或}5x
. （步骤5）
（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-??=-<
，，
（），，， （步骤6）
由2h x （），解得1
1
2
2
a a x
-+. （步骤7） 又
2h x （）的解集为{}1
2x x ，
∴1
12
122
a a -?=???+?=??，， ∴3a =. （步骤8）
2017高考全国Ⅰ卷理科数学试卷及答案(word版)
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （A∪B）=（）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合? U A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（） A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ，c=log，则（） 3．（5分）已知a=，b=log 2 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若?=0，?=0，则?=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（） A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q） 6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24 7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣ 8．（5分）设等差数列{a n }的公差为d，若数列{}为递减数列，则（） A．d＜0 B．d＞0 C．a 1d＜0 D．a 1 d＞0 9．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增 10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D． 11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3] 12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足： ①f（0）=f（1）=0； ②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|． 若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答． 13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y= ．
高考数学试卷及答案-Word版
2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014?辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合?U（A∪B）=（） A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1} 考 点： 交、并、补集的混合运算． 专 题： 集合． 分 析： 先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）． 解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D． 点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． 2．（5分）（2014?辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（） A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i 考 点： 复数代数形式的乘除运算． 专 题： 数系的扩充和复数． 分 析： 把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求． 解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得： ，∴z=2+3i． 故选：A． 点 评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题． 3．（5分）（2014?辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 考 点： 对数的运算性质． 专计算题；综合题．
题： 分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． 解 答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0， c=log=log23＞log22=1， ∴c＞a＞b． 故选：C． 点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题． 4．（5分）（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 考 点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 专 题： 空间位置关系与距离． 分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断； C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断． 解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n⊥α，故D错． 故选B． 点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 5．（5分）（2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若?=0，?=0，则 ?=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（） A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q） 考 点： 复合命题的真假；平行向量与共线向量． 专 题： 简易逻辑． 分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 解答：解：若?=0，?=0，则?=?，即（﹣）?=0，则?=0不一定成立，故命题p为假命题，
2013年高考辽宁卷数学(理)试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（理） 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的11 Z i =-模为 A.12 B.22 2．已知集合A={x|0
7．使得()3n x n N n +?∈ ? 的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255 9．已知点()()() 30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ?若为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a =+ C ．()3310b a b a a ? ?---= ??? D ．3310b a b a a -+--= 10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥， 112AA =，则球O 的半径为 A B ． C ．132 D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= A.2216a a -- B.2 216a a +- C.16- D.16 12．设函数()()()()()2 2 2,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
2019年高考数学试卷及答案
2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
高考理科数学数学导数专题复习
高考理科数学数学导数专题复习
高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则
1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：
(辽宁省)2014年高考真题数学(理)试题
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 理科数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项 是符合题目要求的. 1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知1 32a -=，21211log ,log 33 b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α?，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ?∧? D ．()p q ∨? 6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π- D ．84 π- 8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）
1997年全国统一高考数学试卷(理科)
1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D
∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π
新高考数学试卷及答案
新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P
等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π
1992年全国统一高考数学试卷(理科)
1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）
A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2）
2013年辽宁高考英语试题及答案
第一节单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分） 从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 21. ---What do you think of the house? ---_____________. It’s everything we’ve been looking for. A. Perfect! B. Good idea! C. Not bad. D. so-so. 22. He was unhappy when he sold his guitar. After all, he _________if for a very long time. A. has had. B. had had C. has D. had 23. The accident caused some _______to my car, but it’s nothing serious. A. harm B. injury C. ruin D. damage 24. One can always manage to do more things, no matter________full one’s schedule is in life. A. how B. what C. when D. where 25. _______________everyone here, I wish you a pleasant journey back to your country. A. By means of B. On behalf of C. In search of D. For fear of 26. At no time ________the rules of the game. It was unfair to punish them. A. they actually broke B. do they actually break B. did they actually break D. they had actually broken 27. Everything seemed to be going __________for the first two days after I moved to New York. A. vividly B. generally C. frequently D. smoothly 28. Laura was away in Paris for over a week. When she got home, there was a pile of mail ______for her. A. waited B. to wait C. waiting D. was waiting 29. To her joy, Della earned first the trust of her students and then _____of her colleagues. A. that B. one C. ones D. those 30. We are confident that the environment ______by our further efforts to reduce pollution. A. had been improved B. will be improved C. is improved D. was improved 31. Harry is feeling uncomfortable. He _______too much at the party last night. A. could drink B. should drink C. would have drunk D. must have drunk 32. Briggs will ________as general manager when Mitchell retires. A. get away B. take over C. set off D. run out 33. This is by far_______movie that I have ever seen. A. an inspiring B. a much inspiring C. the most inspiring D. the more inspiring 34. He may win the competition, ____________he is likely to get into the national team. A. in which case B. in that case C. in what case D. in whose case 35. ---I’m afraid you have the wrong number. --- Sorry!________. A.See you later B. I didn’t know that C. Hold on, please D. I hope I didn’t bother you 第二节完形填空（共20小题；每小题1. 5分，满分30分） 阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A、B、C、D）中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 A little girl lived in a simple and poor house on a hill. Usually she 36 play in the small garden. She could see over the garden fence and across the valley a wonderful house with shining golden windows high on another hill. 37 she loved her parents and her family, she desired to live in such a house and 38 all day about how wonderful and exciting 39 must feel to live there. At the age when she gained some 40 skill and sensibility(识别力), she 41 her mother for a bike ride ___42 the garden. Her mother finally allowed her to go, 43 her keeping close to the house and not 44 too
【好题】高考数学试题及答案
【好题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 +AB AC D ． 13 44 +AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 3．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,
高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案
专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x