2012高考湖北文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学文史类(湖北卷)

本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C ?B的集合C的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

2

A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65

3．函数f(x)＝x cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()

A．2 B．3 C．4 D．5

4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

5．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()

A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0

C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0

6．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()

7．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：

①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.

则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④ 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )

A ．4∶3∶2

B ．5∶6∶7

C ．5∶4∶3

D ．6∶5∶4

9．设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1

111

≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要的条件

10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(

)

A ．21π

- B ．

112π

-

C ．

2π

D ．1π

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．

11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人．

12．若

3i 1i

b +-＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.

13．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则

(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为______； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为______．

14．若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y ≥??

≥??≤?

－－，＋，－，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是______．

15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．

16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.

17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：

(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；

(2)b2k－1＝______.(用k表示)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．设函数f(x)＝sin2ωx＋ωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对

称，其中ω，λ为常数，且ω∈(1

2

，1)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y＝f(x)的图象经过点(π

4

，0)，求函数f(x)的值域．

19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.

(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；

(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

20．已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{a n}的通项公式；

(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．

21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．

(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

22．设函数f (x )＝ax n

(1－x )＋b (x ＞0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.

(1)求a ，b 的值；

(2)求函数f (x )的最大值；

(3)证明：1()e

f x n <

.

1． D 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ?C ?B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D 项．

2． B 样本数据落在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故所求的频率为90.4520

=.

3． D 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0，故x ＝0或2x ＝k π＋π2

，k ∈Z ，即x

＝0或ππ24

k x =

+，k ∈Z .又x ∈[0,2π]，故k 可取0,1,2,3，故零点的个数有5个．

4． B 该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

5． A 当OP 与该直线垂直时，符合题意；此时k OP ＝1，故所求直线斜率k ＝－1.又已知直线过点P (1,1)，因此，直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.

6． B y ＝f (x

)y ＝f (－x )

y ＝f [－(x －2)]＝f (2－

x

)

y ＝－f (2－x )，故选B 项．

7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2

n a ，由等比数列得，

2222

1

1

(

)n

n n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x

和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.

由等比数列定义得，

1

22

n n a a -＝2a n －a n －1.

1ln ||ln ||

n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )

＝

则f (a n )

，

==，

为定值，符合题意．故选C 项．

8．D 由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b －1.又∵3b ＝20a ·cos A ，∴3b ＝20(b ＋1)·2

2

2

(1)(1)2(1)

b b b b b +--+-，整理得，7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，故a ＝6，b ＝5，

c ＝4，

即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.

9． A

111

2

2

2

b c a c a b a b c

+++++=

=

≤

++=＋＋(当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，反之，则不成立(譬如a ＝1，b ＝2，c ＝3时，满足a b c

≤＋＋，但abc ≠1)． 10． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14

π(2R )2

－

12

×(2R )2＝(π－2)R 2

，S 扇＝

14

π(2R )2＝πR 2

，故所求的概

率是

2

2

(π2)21ππ

R

R

-=-

.

11．答案：6

解析：设抽取的女运动员有x 人，由题意可得，856

42

x =，解得x ＝6.

12．答案：3

解析：由题意可得，3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，故a ＋b ＝3.

13．答案：(1)(

10

10 (2)5

-

解析：(1)由题意可得，2a ＋b ＝(3,1)，故|2a ＋b |2a ＋b 同向的单位向量为

，即(

10

10

；(2)由题意可得b －3a ＝(－2,1)，故(b －3a )·

a ＝－2.又∵|b

－3a |＝|a |＝1，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝

(3)|3|||

5

-?=-

-b a a b a a .

14．答案：2

解析：作出可行域如图所示，由l 0：23

y x =-平移知过点A (1,0)时，目标函数取到最小

值，代入可得z ＝2.

15．答案：12π

解析：该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V ＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π. 16．答案：9

解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；

n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7； 结束，输出s ＝9. 17．答案：(1)5 030 (2)

5(51)

2

k k -

解析：(1)由题意可得，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，a n－a n

－1

＝n.

以上各式相加得，a n－a1＝2＋3＋…＋n＝(1)(2)

2

n n

-+

，故

(1)

2

n

n n

a

+

=.因此，b1＝

a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，…，由此归纳出b2 012＝a5 030.

(2)b1＝a4＝45

2

?

，b3＝a9＝

910

2

?

，b5＝a14＝

1415

2

?

，…，

归纳出b2k

－1＝

5(51)

2

k k-

.

18．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋ωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx sin2ωx＋

λ＝2sin(2ωx－π

6

)＋λ，

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π

6

)＝±1.

所以2ωπ－π

6

＝kπ＋

π

2

(k∈Z)，即

1

23

k

ω=+(k∈Z)．

又ω∈(1

2

，1)，k∈Z，所以

5

6

ω=.

所以f(x)的最小正周期是6π5

.

(2)由y＝f(x)的图象过点(π

4

，0)，得f(

π

4

)＝0，

即

5πππ

2sin()2sin

6264

λ=-?-=-=λ=.

故

5π

()2sin()

36

f x x

=--f(x)的值域为[22

---．

19．解：(1)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，

所以AA2⊥AB，AA2⊥AD．又因为AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD．

连接BD，因为BD?平面ABCD，所以AA2⊥BD．

因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面

又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，

平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD．于是

由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.

又因为AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2.

(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝S四棱柱

上底面＋S

四棱柱侧面

＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．

又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，

所以S2＝S

四棱台下底面

＋S

四棱台侧面

＝(A1B1)2＋4×

1

2

(AB＋A1B1)h等腰梯形的高

＝202＋4×

1

2

(10＋

＝1 120(cm2)．

于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，

故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．

20．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，

由题意得1111333()(2)8.

a d a a d a d ???＋＝－，＋＋＝解得123a d ???＝＝－或14,

3.a d -???＝＝

所以由等差数列通项公式可得

a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.

(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.

n n n n ??

≥?－＋，＝，－，

记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；

当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，

S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2

(2)[2(37)]

3115102

22

n n n n -+-+

=-

+.

当n ＝2时，满足此式．

综上，241,31110 1.22

n n S n n n =??

=?-+>??，，

21．解：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝

1m

|y |.①

因为A 点在单位圆上运动，所以x 02＋y 02＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2

＋

22

y m

＝1(m ＞0，且m ≠1)．

因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以

当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为

(0)，

，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0

，，(0

．

(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)， 直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2

＝0.

依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得 －x 1＋x 2＝2

12

244k x m k

-

+，即2

122

2

4m x x m k

=

+.

因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2

12

224km x m k

+. 于是P Q ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH

＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(2

12

244k x m k

-

+，

2

12

2

24km x m k

+)．

而PQ ⊥PH 等价于222

1

22

4(2)04m k x PQ PH m k

-?==+ ， 即2－m 2＝0.又m ＞0

，所以m =

，

故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋

2

2

y

＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH

.

图1 图2(0＜m＜1) 图3(m＞1)

方法二：如图2,3，x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．因为P，H两点在椭圆C上，

所以

2222

11

2222

22

,

m x y m

m x y m

?+=

?

?

+=

??，

两式相减可得

m2(x12－x22)＋(y12－y22)＝0.③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合．

故(x1－x2)(x1＋x2)≠0，于是由③式可得

2

1212

1212

()()

()()

y y y y

m

x x x x

-+

=-

-+

.④

又Q，N，H三点共线，所以k QN＝k QH，即112

112

2y y y

x x x

+

=

+

.

于是由④式可得

2

1121212

1121212

()()

1

2()()2

P Q P H

y y y y y y y m

k k

x x x x x x x

--+

?=?=?=-

--+

.

而PQ⊥PH等价于k PQ·k PH＝－1，即

2

1

2

m

-=-.

又m＞0

，得m=.

故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋

2

2

y

＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH. 22．解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anx n－1－a(n＋1)x n，所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝x n(1－x)＝x n－x n＋1，f′(x)＝(n＋1)·x n－1()

1

n

x

n

-

+

．

令f′(x)＝0，解得

1

n

x

n

=

+

，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点

01

n

x

n

=

+

.

在(0，

1

n

n+

)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；

而在(

1

n

n+

，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为

1

()()(1)

111(1)

n

n

n

n n n n

f

n n n n+

=-=

++++

.

(3)令φ(t)＝ln t－1＋

1

t

(t＞0)，

则

22

111

()

t

't

t t t

?

-

=-=(t＞0)．

在(0,1)上，φ′(t )＜0， 故φ(t )单调递减；

而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0， 故φ(t )单调递增，

故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0， 所以φ(t )＞0(t ＞1)， 即ln t ＞1－1

t (t ＞1)．

令t ＝1＋1n

，得11ln

1

n n

n +>

+，

即1

1ln()

ln e n n n ++>， 所以1

1(

)

e n n n

++>，即

1

1(1)

e

n n n

n n +<

+.

由(2)知，()1

1(1)

e

n

n n

f x n n +≤

<

+，

故所证不等式成立．