建筑工程测量-测量误差的基本知识概要
第五节测量误差基础知识
一、测量误差概述
1．测量误差产生的原因
测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。实践证明，产生测量误差的原因主要有以下三个方面。
（1）人为因素。由于人为因素所造成的误差，包括观测者的技术水平和感觉器管的鉴别能力有一定的局限性，主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面。
（2）测量仪器的原因。由于测量仪器的因素所造成的误差，包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差及使用前未经校正等因素。
（3）环境因素。外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状况，以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等。
测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量。但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差。
在实际的测量工作中，大量实践表明，当对某一未知量进行多次观测时，不论测量仪器有多精密，观测进行得多么仔细，所得的观测值之间总是不尽相同。这种差异都是由于测量中存在误差的缘故。测量所获得的数值称为观测值。由于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值（简称为真值）之间存在差异，这种差异称为测量误差（或观测误差）。用L代表观测值，X代表真值，则误差=观测值L—真值X，即
?（5-1）
X
=
L-
这种误差通常又称之为真误差。
由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为精度相同。在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测。
由于在测量的结果中含有误差是不可避免的，因此，研究误差理论的目的不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。例如：在一系列的观测值中，如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等。所有这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。
二、测量误差的分类
测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：
（一）系统误差
在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。这些误差都属于系统误差。
系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响，例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，如风力、温度及大气折光等的影响。
系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消
除或减弱它对测量成果的影响。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响。例如在水准测量中，保持前视和后视距离相等，来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时，采取盘左和盘右观测取其平均值，以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差。另一种是找出系统误差产生的原因和规律，对测量结果加以改正。例如在钢尺量距中，可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消除钢尺长度的影响。
（二）偶然误差
在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为偶然误差。例如在水平角测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样，这些都属于偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成。
偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律，这给偶然误差的处理提供了可能性。
测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法是：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。
在测量的成果中，错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶
然误差的影响。下面详细分析偶然误差的特性。
三、偶然误差的特性
偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。
在测量实践中，根据偶然误差的分布，我们可以明显地看出它的统计规律。例如在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。已知三角形内角之和等于180°，这是三内角之和的理论值即真值X，实际观测所得的三内角之和即观测值L。由于各观测值中都含有偶然误差，因此各观测值不一定等于真值，其差即真误差Δ。以下分两种方法来分析：
（一）表格法
由（5-1）式计算可得217个内角和的真误差，按其大小和一定的区间（本例为dΔ=3″），分别统计在各区间正负误差出现的个数k及其出现的频率k/n （n=217），列于表5-1中。
从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27″。
实践证明，对大量测量误差进行统计分析，都可以得出上述同样的规律，且观测的个数越多，这种规律就越明显。
表5-1 三角形内角和真误差统计表
（二）直方图法
为了更直观地表现误差的分布，可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来表示。以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率k /n 与区间d △的比
值为纵坐标，在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等于误差出现在该区间内的频率k /n 。如图5-1中有斜线的矩形面积，表示误差出现在+6″～+9″之间的频率，等于0.069。显然，所有矩形面积的总和等于1。
可以设想，如果在相同的条件下，所观测的三角形个数不断增加，则误差出现在各区间的频率就趋向于一个稳定值。当n →∞时，各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值——概率。若无限缩小误差区间，即d △→0，则图5-1各矩形的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线（如图5-2所示），称为误差概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统计中，它服从于正态分布，该曲线的方程式为
式中：Δ为偶然误差；σ（＞0）为与观测条件有关的一个参数，称为误差分布的标准差，它的大小可以反映观测精度的高低。其定义为：
在图5-1中各矩形的面积是频率k /n 。由概率统计原理可知，
频率即真误差出
2
2221
)(σπ
σ?-
=
?e
f （5-2）
[]
n
n ??=∞
→lim
σ（5-3）
现在区间d △上的概率P （Δ），记为
根据上述分析，可以总结出偶然误差具有如下四个特性：
（1） 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；
（2） 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3） 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；
（4） 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即
[]0lim
=?∞
→n
n （5-5）
式中 []∑=?=?++?+?=?n i i n 1
21
在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示为E （Δ）=0。 图5-2中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，
??=??
=
?d f d d n
k P )(/)(（5-4）
其相应误差分布曲线的形状也将随之改变。例如图5-3中，曲线I 、II 为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线的形状中可以看出两组观测的差异。当Δ=0时，π
σ21
)(11=
?f ，π
σ21
)(22=
?f 。
π
σ21
1、
π
σ21
2是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线I 的峰值较曲线II 的高，
即σ1＜σ2，故第I 组观测小误差出现的概率较第II 组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。因此，曲线I 表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。而曲线II 相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。
第二节 评定精度的指标
研究测量误差理论的主要任务之一，是要评定测量成果的精度。在图5-3中，从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的，表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低，但这种方法即不方便也不实用。因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况，而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说需要有评定精度的指标。在测量中评定精度的指标有下列几种：
一、 中误差
由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n 计算出标准差的估值定义为中误差m ，作为衡量精度的一种标准，计算公式为
n
m ]
[???±=±=σ
（5-6）
【例5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：
甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″； 乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。 试分析两组的观测精度。
【解】用中误差公式（5-6）计算得：
()()()()()
3.46
5
341
56
][0.26
301213][2
2
2
2
2
2
2
22222'
'±=+-+-++-+±
=??±
='
'±=-++-+-++±
=??±
=）（乙甲n
m n m
从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小，所以观测精度高于乙组。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。所以在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度，只要观测条件相同，则中误差不变。
在公式（5-2）中，如果令f （Δ）的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标Δ=±σ≈m 。也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。从图5-3也可看出，两条观测条件不同的误差分布曲线，其拐点的横坐标值也不同：离散度较小的曲线I ，其观测精度较高，中误差较小；反之离散度较大的曲线II ，其观测精度较低，中误差则较大。
二、相对误差
真误差和中误差都有符号，并且有与观测值相同的单位，它们被称为“绝对误差”。绝对误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观测值的精度。但在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。例如，用钢尺丈量长度分别为100 m 和200 m 的两段距离，若观测值的中误差都是±2 cm ，不能认为两者的精度相等，显然后者要比前者的精度高，这时采用相对误差就比较合理。相对误差K 等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示，即
T
1
==
观测值误差的绝对值相对误差
式中当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时，K 称为相对中误差。
m
D D m K 1
==
（5-7）
在上例中用相对误差来衡量，则两段距离的相对误差分别为1/5000和1/10000，后者精度较高。在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检核。相对较差定义为
D
D D D D D D ?=
?=-平均平均
平均
返往1 （5-8）
相对较差是真误差的相对误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。
三、极限误差和容许误差 （一）极限误差
由偶然误差的特性一可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，绝对值大于m （中误差）的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2m 的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于3m 的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。
根据式（5-2）和式（5-4）有
上式表示真误差出现在区间（-σ，+σ）内的概率等于0.683，或者说误差出现在该区间外的概率为0.317。同法可得
()683
.021
)(22≈?=
??=
?-
+-σ
σ
σσ
σπσ
σσd e
d f P
上列三式的概率含义是：在一组等精度观测值中，绝对值大于σ的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2σ的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于3σ的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。
在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。若以m 作为观测误差的限值，则将有近32%的观测会超过限值而被认为不合格，显然这样要求过分苛刻。而大于3m 的误差出现的机会只有3‰，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所以可取3m 作为偶然误差的极限值，称极限误差，m 3=?极。
（二）容许误差
在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即m 3=?容
当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即m 2=?容
如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。
第三节 误差传播定律
前面已经叙述了评定观测值的精度指标，并指出在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。但在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的，而由一些可以直接观测的量，通过函数关系间接计算得出，这些量称为间接观测量。例如用水准仪测量两点间的高差h ，通过后视读数
a 和前视读数
b 来求得的，h =a －b 。由于直接观测值中都带有误差，因此未知量也必然受到影响而产生误差。说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律，叫做误差传播定律，它在测量学中有着广泛的用途。
一、 误差传播定律
设Z 是独立观测量x 1，x 2，…，x n 的函数，即 )(21n x x x f Z ，，， =
()955
.021
)(22222222
2≈?=
??=
+-?-
+-σ
σ
σσ
σ
π
σ
σσd e
d f P ()997
.021
)(33332332≈?=
??=
+-?-
+-σ
σ
σσ
σ
π
σ
σσd e
d f P
(a)
式中：x 1，x 2，…，x n 为直接观测量，它们相应观测值的中误差分别为m 1，m 2，…，
m n ，欲求观测值的函数Z 的中误差m Z 。
设各独立变量x i （i =1，2，…，n ）相应的观测值为L i ，真误差分别为Δx i ，相应函数Z 的真误差为ΔZ 。则
因真误差Δx i 均为微小的量，故可将上式按泰勒级数展开，并舍去二次及以上的各项，得:
（a ）减去（b ）式，得
上式即为函数Z 的真误差与独立观测值L i 的真误差之间的关系式。式中
i
x f
??为函数Z 分别对各变量x i 的偏导数，并将观测值（x i =L i ）代入偏导数后的值，故均为常数。
若对各独立观测量都观测了k 次，则可写出k 个类似于（c ）式的关系式
将以上各式等号两边平方后再相加，得
)
(2211n n x x x x x x f Z Z ?+?+?+=?+，，， )(
)(221121n n
n x x f
x x f x x f x x x f Z Z ???++???+???+=?+ ，，， 2211n n
x x f x x f x x f Z ???++???+???=
? ???
??
???
??
????++???+???=????++???+???=????++???+???=?)
()(22)(11)()2()2(2
2)2(11)2()
1()1(22)1(11)1( k n n k k k n n n n x x f x x f x x f Z x x f x x f x x f Z x x f x x f x x f Z [
]
[]
[]
[]
[]
j i n
j i n x x x
f x f x x f x x f x x f Z ?????
?????? ???+???? ???++???? ???+???? ???=?∑=1,22
222
212
2 （b ）
上式两端各除以k ，
因各变量x i 的观测值L i 均为彼此独立的观测，则Δx i Δx j 当i ≠j 时，亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性可知，上式的末项当k →∞时趋近于0，即
故上式可写为 根据中误差的定义，上式可写成
当k 为有限值时，即
22
2
22
2
2
12
12
n n z m x
f m x f m x f m ???
?
????++???? ????+???? ????= （5-9） 或
22
2
22
2
2
12
1n n
z m x
f m x f m x f m ???
?
????++???? ????+???? ????±= （5-10）
式中
i
x f
??为函数Z 分别对各变量x i 的偏导数，并将观测值（x i =L i ）代入偏导数后的值，故均为常数。公式（5-9）或（5-10）即为计算函数中误差的一般形式。
从公式的推导过程，可以总结出求任意函数中误差的方法和步骤如下：
1．列出独立观测量的函数式：)(21n x x x f Z ，，
， = 2．求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得
n n
dx x f
dx x f dx x f dZ ??++??+??=
2211 因dZ 、dx 1、dx 2、…都是微小的变量，可看成是相应的真误差ΔZ 、Δx 1、Δ
[][]
[][][]
k x x x f x f
k x x f
k
x x f k x x f
k
Z j i n j
i j i j i
n
n ?????
? ???????? ?
???+????
?
????++????
?
????+?????
????=?∑≠=1,22
22
2
2
212
12
0][lim
=??∞
→k x x j
i
k [][][][]???
? ?
???
??
? ????++????
? ????+????
? ????=?∞
→∞
→k
x x f k
x x f k
x x f k
Z n n k k 22222221212lim lim 2
2
2
22
2
212
12
n n
z
x
f x f x f σσσσ???
? ????++???? ????+???? ????=
x 2、…，因此上式就相当于真误差关系式，系数
i
x f
??均为常数。 3．求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：
22
2
22
2
2
12
12
n n
z
m x
f m x f m x f m ???
?
????++???? ????+???? ????= 按上述方法可导出几种常用的简单函数中误差的公式,如表5-2所列,计算时可直接应用。
表5-2 常用函数的中误差公式
二、 应用举例
误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差，而且还可以研究确定容许误差值。下面举例说明其应用方法。
【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d =23.4 mm ，其中误差m d =±0.2 mm ，求该两点的实际距离D 及其中误差m D 。
解：函数关系式为D =Md ，属倍数函数，M =500是地形图比例尺分母。
m
mm Mm m m mm Md D d D 1.0100)2.0(5007.11117004.23500±=±=±?====?==
两点的实际距离结果可写为11.7 m ±0.1 m 。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m ，前视读数b =0.476 m ，中误差分别为m a =±0.002 m ，m b =±0.003 m ，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h =a -b ，属和差函数，得
m
m m m m
b a h b a h 004.0003.0002.0258.1476.0734.12222±=+±=+±==-=-=
两点的高差结果可写为1.258 m ±0.004 m 。
【例5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L =247.50 m ，中误差m L =±0.05 m ，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差m α=±3′，求水平距离D 及其中误差m D 。
解：首先列出函数式αcos L D = 水平距离
m D 303.243'3410cos 50.247=??=
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，先求出各偏导值如下：
864 3.45'3410sin 50.247'3410sin 830 9.0'3410cos -=??-=??-=??=?=??L D
L D
α
写成中误差形式
m
m D m L D m L D 06.0'3438
'3)3864.45(05.09830.0 2
2222
2
22
±=???
???-+?±=??
? ????+??? ????±=α
α
故得D =243.30 m ±0.06 m 。
【例5-5】图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m i =±2 mm ，假定视距平均长度为50 m ，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L km 的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
解：已知每站观测高差为：b a h -=
则每站观测高差的中误差为：m m 222±==i h m m
因视距平均长度为50 m ，则每公里可观测10个测站，L 公里共观测10L 个测站，L 公里高差之和为：L h h h h 1021+++=∑
L 公里高差和的中误差为：m m 5410L m L m h ±==∑ 往返高差的较差（即高差闭合差）为：返往h h f h ∑+∑= 高差闭合差的中误差为：m m 1042L m m h f ==∑
以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：
m m 3810123L L m f h f h ≈±==容
在前面水准测量的学习中，我们取L f h 40±=容（mm ）作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i 角误差等）。
三、 注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点： （一）要正确列出函数式
例：用长30 m 的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为m l =±5 mm ，求全长D 及其中误差m D 。全长m 300301010=?==l D ，l D 10=为倍乘函数。但实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为1021l l l D +++= （为和差函数）。
用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为
m m 1610±==l D m m
若按倍数函数式求全长中误差，将得出m m 5010±==l D m m
按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。 （二）在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。如有函数式
1221++=y y z （a ）
22321+==x y x y ； （b ）
若已知x 的中误差为m x ，求Z 的中误差m z 。 若直接用公式计算,由（a ）式得：
21224y y z m m m +±= （c ）
而 x y x y m m m m 2321
==，
将以上两式代入（c ）式得
x x x z m m m m 5)2(4)3(22=+±=
但上面所得的结果是错误的。因为y 1和y 2都是x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a ）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。
x m x x z 7m 57x 1)22(23z =?+=+++=
第四节 等精度直接观测平差
当测定一个角度、一点高程或一段距离的值时，按理说观测一次就可以获得。但仅有一个观测值，测的对错与否，精确与否，都无从知道。如果进行多余观测，就可以有效地解决上述问题，它可以提高观测成果的质量，也可以发现和消除错误。重复观测形成了多余观测，也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即是“测量平差”所研究的内容。
对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。根据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差的结果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”，或“最可靠值”，有时也称“最或是值”，一般用x 表示。本节将讨论如何求等精度直接观测值的最或然值及其精度的评定。
一、等精度直接观测值的最或然值
等精度直接观测值的最或然值即是各观测值的算术平均值。用误差理论证明如下：
设对某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为L 1、L 2、…L n ，该量的真值设为X ，各观测值的真误差为Δ1、Δ2、…、Δn ，则Δi =L i -X （i =1，2，…，n ），将各式取和再除以次数n ，得
X n
L n -=?]
[][
即
X n
n L +?=]
[][ 根据偶然误差的第四个特性有X n
L n =∞→]
[lim 所以
0]
[lim
=?∞→n n 由此可见，当观测次数n 趋近于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当n 为有限值时，算术平均值最接近于真值，因此在实际测量工作中，将算术平均值作为观测的最后结果，增加观测次数则可提高观测结果的精度。
二、评定精度
（一） 观测值的中误差 1．由真误差来计算
当观测量的真值已知时，可根据中误差的定义即
n
m ][??±
=
由观测值的真误差来计算其中误差。 2．由改正数来计算
在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。
（1）改正数及其特征
最或然值x 与各观测值L i 之差称为观测值的改正数，其表达式为
n)2,1( ，， =-=i L x v i i （5-11）
在等精度直接观测中，最或然值x 即是各观测值的算术平均值。即
n
L x ]
[=
显然
0][)(][1=-=-=∑=L nx L x v n
i i （5-12）
上式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。 （2）公式推导
已知X L i i -=?，将此式与式（5-8）相加，得
X x v i i -=?+ （a ）
令δ=-X x ，则
δ+-=?i i v （b ）
对上面各式两端取平方，再求和
2][2][][δδn v vv +-=??
，故由于0][=v
2][][δn vv +=?? （c ）
而
)222(1][]
[][][132212
22212222
n n n n
n n
n X L X n L X x ??++??+??+?++?+?=?=?=-=-=-=- δδ，
2
132212
)
(2n ][ n n n ??++??+??+
??=
-
根据偶然误差的特性，当n →∞时，上式的第二项趋近于零；当n 为较大的有限值时，其值远比第一项小，可忽略不计。故
2
2][n ??=
δ
代入（c ）式，得
n
vv ]
[][][??+
=?? 根据中误差的定义n
m ]
[2??=
，上式可写为 22][m vv m n +=?
即 1
]
[-±
=n vv m （5-13）
上式即是等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式，又称“白塞尔公式”。 （二）最或然值的中误差
一组等精度观测值为L 1、L 2、…L n ，其中误差均相同，设为m ，最或然值x 即
为各观测值的算术平均值。则有
n L n
L n L n n L x 1
11][21+++==
根据误差传播定律，可得出算术平均值的中误差M 为
n m n m n M 2222
1=
???
? ??=
故 n
m M =
（5-14）
顾及式（5-10），算术平均值的中误差也可表达如下
)
1(]
[-±
=n n vv M （5-15） 【例5-6】对某角等精度观测6次，其观测值见表5-3。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。
解：由本节可知，等精度直接观测值的最或然值是观测值的算术平均值。 根据式（5-11）计算各观测值的改正数v i ，利用（5-12）式进行检核，计算结果列于表5-3中。
表5-3 等精度直接观测平差计算
测绘学基础知识要点与习题答案
《测绘学基础》知识要点与习题答案 Crriculum architecture & answers to exercise of Fundamentals of Geomatics 总学时数：测绘64；地信、规划48实验学时：12，计4次学分：6/4 课程性质：专业基础课先修课程：高等数学，专业概论，概率统计学 教学语言：双语教学考核方式：考试实习：3周计3学分 平时成绩: 20％(实验报告、提问、测验、课堂讨论及作业) 1.课程内容 测绘学基础是测绘科学与技术学科的平台基础课。该分支学科领域研究的主要内容是小区域控制测量、地形图测绘与基本测绘环节的工程与技术，即：应用各类测绘仪器进行各种空间地理数据的采集包括点位坐标与直线方位测定与测设、地形图数字化测绘等外业工作和运用测量误差与平差理论进行数据处理计算、计算机地图成图等内业工作。授课内容主要包括地球椭球与坐标系、地图分幅、空间点位平面坐标与高程及直线方位测定与测设、误差理论与直接平差、大比例尺地形图数字成图等基本理论与方法。 2.课程特色 测绘学基础为测绘学科主干课程，为学生进一步学习以“3S”为代表的大地测量学、摄影测量学、工程测量学等专业理论与技术奠定基础。同时，该课程本身也是测绘学的一门分支学科──地形测量学（Topographical Surveying）。该门课程具有理论、工程和技术并重、实践性强等特点，其教学水平和教学质量是衡量测绘学科教育水准的关键要素，实施多样化课堂教学，注重培养学生动手能力和创新能力，以达到国家级精品课的要求为建设目标。 3.课程体系 第一章绪论Chapter 1 Introductory 内容：⑴了解测绘学科的起源、发展沿革与分支学科的研究领域；⑵测绘学的任务与作用。 重点：大地测量学与地形测量学的研究领域和工作内容。 难点：无。 §1-1测绘学的定义DEFINITION OF GEOMATICS 研究测定和推算地面点的几何位置、地球形状及地球重力场，据此测量地球表面自然形态和人工设施的几何分布，并结合某些社会信息和自然信息的地球分布，编制全球和局部地区各种比例尺的地图和专题地图
测量误差理论的基本知识习题参考答案
5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差
4、测量误差基本知识
四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。 图4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。 15
16 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m = m = m = m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。 （3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。 （4）已知D=( ) h S -，s m =±5mm ，h m =±5mm ，求D m 。 （5）如图4-2，已知x a m =±40 mm ，y a m =±30 mm ； S=30.00m ，β=30? 15'10"，s m =±5.0mm ，βm =±6"。求P 点坐标的中误差x p m 、y p m 、M （M=m m + ）。
咨询工程师继续教育测量基础知识试题及答案
一、单选题【本题型共15道题】 ? 1.某工程施工放样误差限差为±20mm，则该工程放样中误差为（?）mm。 A．±5 B．±10 C．±15 D．±20 用户答案：[B] ??得分：2.00 2.地下通道的施工测量中，地下导线为（?）。 A．闭合导线 B．附和导线 C．支导线 D．任意导线都可 用户答案：[D] ??得分：0.00 3.下列测量方法中，最适合测绘建筑物立面图的是（?）。 A．三角高程测量 B．地面激光扫描 C．精密水准测量 D．GPS—RTK测量
用户答案：[B] ??得分：2.00 4.水准测量时，应使前后视距尽可能相等，其目的是减弱（? ）的误差影响。 A．圆水准器轴不平行于仪器数轴 B．十字丝横丝不垂直于仪器竖轴 C．标尺分划误差 D．仪器视准轴不平行于水准管轴 用户答案：[D] ??得分：2.00 5.GPS的大地高H、正常高h和高程异常ζ三者之间正确的关系是（? ?）。 A．ζ=H-h B．ζ
D．反比 用户答案：[D] ??得分：2.00 7.布测C、D、E级GPS网时，可视测区范围的大小实行分区观测，分区观测时，相邻分区的公共点至少应有（? ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 用户答案：[C] ??得分：2.00 8.在进行高差闭合差调整时，某一测段按测站数计算每站高差改正数的公式为（? ）。 A．Vi=fh/N(N为测站数) B．Vi=fh/S(S为测段距离) C．Vi=-fh/N(N为测站数) D．Vi=fh/S(S为测段距离) 用户答案：[C] ??得分：2.00 9.我国城市坐标系是采用（?）。 A．高斯正形投影平面直角坐标系 B．大地坐标系
测量误差理论的基本知识习题答案.doc
5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。
最新工程测量学基础知识总结
1 （1）工程建设的三个阶段1规划设计阶段2建筑施工阶段3运营管理阶2 段 3 （2）工程测量学就是研究各项工程在规划设计、施工建设和运营管理阶4 段虽进行的各种测量工作的学科。主要任务就是解决工程建设中规划设计所需5 各种比例尺地形图这个问题。 6 （3）数字地面模型（DTM）是表示地面起伏形态和地表景观的一系列离散7 点或规则点的坐标值集合的总称。 8 （4）在测绘领域，用一系列地面点的x,y坐标及其相联系的高程表示区9 域地面形状的模型，称为数字高程模型（DEM）。 10 （5）铁路、公路、输电线路以及输油（汽）管道等均属于线性工程，它11 们的中线通称线路。 12 （6）铁路勘测设计的过程：1方案研究2初测3初步设计4定测5施工13 设计 14 （7）初测是初步设计阶段的勘测工作，其主要任务是提供沿线大比例尺15 带状地形图以及地质和水文方面的资料（纸上定线）。 16 （8）定测的主要任务是把初步设计中选定的线路中线测设到实地上。17 （9）勘测设计阶段的测量工作有草测、初测和定测工作。 18 （10）公路的结构组成：路基，路面，桥涵，隧道，路线交叉和沿线设施19 等。 20 （11）根据线路工程的作业内容，线路测量具有全线性，阶段性和渐近性21 的特点。
22 （12）导线点的布设要求：1导线点宜选在地势较高的地方，且前后相互23 通视。2导线点应选在开阔的地方，以便作为图根控制，进行地形测量。3导线24 点间的距离要适中。4导线点应尽可能接近将来的线路的位置，以便为定测时所25 利用。5桥梁及隧道两端附近，严重地质不良地段以及越岭垭口处应设置导线点。 26 （13）基平测量是沿线路布设水准点。2中平测量是测定导线点及中桩高27 程。 28 （14）将纸上线路测设到实地上的工作称为中线测量。 29 （15）线路纵断面的测绘： 30 （16）水下地形测绘技术说明书的内容为：1任务的来源、性质、技术要31 求，测区的自然地理特点，技术设计的依据及原有测量成果的采用情况。2各施32 测控制点的等级，标石及造埋数量，水深测量图幅，测深面积及障碍物的大致33 分布情况。3作业所需的各种主要仪器、器材、船只类型和数量。4根据测区地34 理气象及技术装备条件，确立的不同测区的作业率，计算的各种测量作业的工35 作量和工作天数及时间安排。5根据测区特点和作业技术水平，重点提出的适当36 的作业方法和注意事项，以及一些具体技术指示。 37 （17）检查线的方向应尽量与主测线垂直，分布均匀，并要求布设在较平38 坦处，能普遍检查主测深线。检查线一般应占主测线总长的5%~10%。 39 （18）编绘竣工图的目的：1在施工过程中可能由于设计时没有考虑到的40 问题而使设计有所变更，这种临时变更设计的情况必须通过测量反映到竣工图41 上，以竣工图作为检验设计的正确性，阐明工程竣工最终成果的技术资料。2为42 改建扩建提供原有各项建筑物，构筑物，地上和地下各种管线及交通线路的坐43 标，高程等资料，作为改建扩建设计的依据。3便于工程交付使用后进行生产管44 理和各种设施的维护检修工作，特别是地下管线等隐蔽工程的检查和维修工作。
2建筑施工测量基础知识
2 建筑施工测量基础知识 2 建筑施工测量基础知识 [精编习题] 一、判断题 1(地形图的比例尺一般用分子为“1”的分数形式来表示。( ) 2(等高线如果不在本幅图内闭合，则必在相邻的其他图幅内闭合。( ) 3(等高线平距大表示地面坡度大，等高线平距小表示地面坡度小，平距相同则坡度相同。 ( ) 4(在测量工作中，误差和错误都是不可避免的。( ) 5(等高距是指相邻两条等高线的高差。( ) 6(示坡线是垂直于等高线的短线，用以指示坡度下降方向。( ) 7(观测过程中产生的粗差属于偶然误差。( ) 8(城市基本比例尺地形图为1:500、1:1000、1:2000的比例尺地形图。( ) 9(一幅地形图中能有两种不同等高距存在。( ) 10(地形图有地物、地貌、比例尺三大要素。( ) 11(城市测量规范中规定，中误差的两倍为最大误差。( ) 12(系统误差影响观测值的准确度，偶然误差影响观测值的精密度。( ) 13(权只有在不等精度观测中才有意义。( ) 14(误差传播定律是反映直接观测量的误差与函数误差的关系。( ) 15(对测绘仪器、工具，必须做到及时检查校正、加强维护、定期检修。( ) 16(工程测量应以中误差作为衡量测绘精度的标准，三倍中误差作为极限误差。( )
17(地形的分幅图幅按矩形(或正方形)分幅，其规格为40cm×50cm或 50cm×50cm。 ( ) 18(地形图的地物符号通常分为比例符号、非比例符号和线状符号三种。( ) 19(地面上高程相同的各相邻点所连成的闭合曲线称为等高线，相邻等高线之间的水平距离称为等高距。( ) 20(根据比例尺精度δ=0.1mm×M，施测1:1000比例尺地形图时，距离测量的精度只需达到0.1m。( ) 21(鞍部是两山脊之间的低凹部分，山谷是相邻两山头间的低凹部位。( ) 22(高程相等的点必定在同一等高线上。( ) 23(一次测量的中误差为m，则n个测回的算术平均值比一次测量中误差提高倍。( ) 24(由于图纸伸缩而产生的误差基本上可以消除。( ) 25(可以减少估计误差的一种复式比例尺称为斜线比例尺。( ) 26(将各种比例尺的地形图进行统一的分幅和编号是为了便于测绘、拼接、使用和保管。 ( ) 27(按国际上的规定，1:1000000的世界地图实行统一的分幅和编号。( ) 28(某幅图西南角的坐标x=3530.2km，y=531.0km，则其编号为 3530.0,531.0。 ( ) 29(同一地物，在大比例尺图上采用依比例符号，而在中、小比例尺图上可能采用不依比例符号或半依比例符号。( ) 30(地形图上用文字、数字或注记符号对地物的性质、名称、高程等加以说明，称为地物注记。 ( ) 31(等高线是目前大比例尺地形图上最常用的表示地物的一种方法。( )
测量误差理论的基本知识
测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？
工程测量学基础知识总结讲课稿
工程测量学基础知识 总结
（1）工程建设的三个阶段1规划设计阶段2建筑施工阶段3运营管理阶段（2）工程测量学就是研究各项工程在规划设计、施工建设和运营管理阶段虽进行的各种测量工作的学科。主要任务就是解决工程建设中规划设计所需各种比例尺地形图这个问题。 （3）数字地面模型（DTM）是表示地面起伏形态和地表景观的一系列离散点或规则点的坐标值集合的总称。 （4）在测绘领域，用一系列地面点的x,y坐标及其相联系的高程表示区域地面形状的模型，称为数字高程模型（DEM）。 （5）铁路、公路、输电线路以及输油（汽）管道等均属于线性工程，它们的中线通称线路。 （6）铁路勘测设计的过程：1方案研究2初测3初步设计4定测5施工设计（7）初测是初步设计阶段的勘测工作，其主要任务是提供沿线大比例尺带状地形图以及地质和水文方面的资料（纸上定线）。 （8）定测的主要任务是把初步设计中选定的线路中线测设到实地上。 （9）勘测设计阶段的测量工作有草测、初测和定测工作。 （10）公路的结构组成：路基，路面，桥涵，隧道，路线交叉和沿线设施等。 （11）根据线路工程的作业内容，线路测量具有全线性，阶段性和渐近性的特点。 （12）导线点的布设要求：1导线点宜选在地势较高的地方，且前后相互通视。2导线点应选在开阔的地方，以便作为图根控制，进行地形测量。3导线点间的距离要适中。4导线点应尽可能接近将来的线路的位置，以便为定测
时所利用。5桥梁及隧道两端附近，严重地质不良地段以及越岭垭口处应设置导线点。 （13）基平测量是沿线路布设水准点。2中平测量是测定导线点及中桩高程。 （14）将纸上线路测设到实地上的工作称为中线测量。 （15）线路纵断面的测绘： （16）水下地形测绘技术说明书的内容为：1任务的来源、性质、技术要求，测区的自然地理特点，技术设计的依据及原有测量成果的采用情况。2各施测控制点的等级，标石及造埋数量，水深测量图幅，测深面积及障碍物的大致分布情况。3作业所需的各种主要仪器、器材、船只类型和数量。4根据测区地理气象及技术装备条件，确立的不同测区的作业率，计算的各种测量作业的工作量和工作天数及时间安排。5根据测区特点和作业技术水平，重点提出的适当的作业方法和注意事项，以及一些具体技术指示。 （17）检查线的方向应尽量与主测线垂直，分布均匀，并要求布设在较平坦处，能普遍检查主测深线。检查线一般应占主测线总长的5%~10%。（18）编绘竣工图的目的：1在施工过程中可能由于设计时没有考虑到的问题而使设计有所变更，这种临时变更设计的情况必须通过测量反映到竣工图上，以竣工图作为检验设计的正确性，阐明工程竣工最终成果的技术资料。2为改建扩建提供原有各项建筑物，构筑物，地上和地下各种管线及交通线路的坐标，高程等资料，作为改建扩建设计的依据。3便于工程交付使用后进行生产管理和各种设施的维护检修工作，特别是地下管线等隐蔽工程的检查和维修工作。
《建筑工程测量》课程基础知识试题
《建筑工程测量》课程基础知识 训练手册 班级 姓名 学号 指导教师 湖州职业技术学院建筑与艺术分院 2010年 3月 1 日
目录 第一部分基础知识 (1) 第一篇：测量基础 (1) 第二篇：水准测量 (2) 第三篇：角度测量 (4) 第四篇：距离测量与直线定向 (5) 第五篇：测量误差的基本知识 (7) 第六篇：小区域控制测量 (8) 第七篇：全站仪使用 (9) 第八篇：地形图测绘与应用 (10) 第九篇建筑工程测量 (11) 第十篇 GPS定位原理及应用简介 (12) 第二部分：案例分析题 (13) 第一篇测量基本能力 (13) 第二篇小区域控制测量能力 (25) 第三篇测设的基本能力 (31) 第四篇建筑施工测量能力 (33) 第五篇地形图基本应用能力 (37)
第一部分基础知识 第一篇：测量基础 1、地面点到高程基准面的垂直距离称为该点的（）。 A.相对高程 B.绝对高程 C.高差 D.差距 2、地面点的空间位置是用（）来表示的。 A.地理坐标 B.平面直角坐标 C.坐标和高程 D.高斯平面直角坐标 3、绝对高程的起算面是（）。 A.水平面 B.大地水准面 C.假定水准面 D.大地水平面 4、测量工作中野外观测中的基准面是（）。 A.水平面 B.水准面 C.旋转椭球面 D.圆球面 5、测量学是研究如何地球的形状和大小，并将设计图上的工程构造物放样到实地的科学。其任务包括两个部分：测绘和（） A.测定 B.测量 C.测边 D.放样 6、测量学按其研究的范围和对象的不同，一般可分为：普通测量学、大地测量学、（）摄影测量学、制图学。 A.一般测量学 B.坐标测量学 C.高程测量学 D.工程测量学 7、静止的海水面向陆地延伸，形成一个封闭的曲面，称为（） A.水准面 B.水平面 C.铅垂面 D.圆曲面 8、测量工作中，内业计算所采用的基准面是（）。 A.水平面 B.水准面 C.旋转椭球面 D.竖直面 9、在高斯6°投影带中，带号为N的投影带的中央子午线的经度λ的计算公式是（）。 A.λ=6N B.λ=3N C.λ=6N-3 D.λ=3N-3 10、在高斯3°投影带中，带号为N的投影带的中央子午线的经度λ的计算公式是（）。 A.λ=6N B.λ=3N C.λ=6N-3 D.λ=3N-3 11、测量上所选用的平面直角坐标系，规定x轴正向指向（）。 A.东方向 B.南方向 C.西方向 D.北方向 12、在6°高斯投影中，我国为了避免横坐标出现负值，故规定将坐标纵轴向西平移（）公里。 A.100 B.300 C.500 D.700 13、在半径为10Km的圆面积之内进行测量时，不能将水准面当作水平面看待的是：（） A.距离测量 B.角度测量 C.高程测量 D.以上答案都不对
测量误差及数据处理的基本知识
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
测量误差及数据处理的基本知识(精)
第一章测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就 是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N，相应的真值为N0，测量值与真值之差ΔN ΔN＝N－N0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将
建筑工程测量教案
第一讲工程测量的基本理论知识㈠ 知识目标：熟悉工程测量的任务、内容 能力目标：掌握工程测量的一般程序与工作原则 一、本课程学习的目的与内容简介 通过设疑、答疑引入工程测量的目的，对照课程目录解说本课程学习的主要内容及能力要求。 二、工程测量的概念 1.工程测量学的任务和内容 工程测量学的含义——指的是研究工程建设在勘测设计阶段、施工准备阶段、施工阶段、竣工验收阶段以及交付使用后的服务管理阶段所进行的各种测量工作的一门科学。 工程测量学的任务——为工程建设服务 工程测量学的内容——测定和测设 工程测量学的实质——确定点的位置 测定——指的是用恰当的测量仪器、工具和测量方法对地球表面的地物和地貌的位置进行实地测量并按照一定的比例尺缩绘成图的过程。（包括图根控制测量、地形测量、竣工测量、变形测量等） 测设——指的是用恰当的测量仪器、工具和测量方法将规划、设计在图上的建筑物、构筑物标定到实地上，作为施工依据的过程。（包括建筑基线及建筑方格网的测设、施工放样、设备安装测量等） 2.建筑工程测量的内容
⑴工程规划设计阶段——测绘地形图 ⑵工程施工准备阶段——按图样要求实地标定建筑物、构筑物的平面位置和高程 ⑶施工阶段——对施工和安装工作进行检验、校核 ⑷管理阶段——定期进行变形观测（大型和重要建筑物） 工程建设的每一个阶段都离不开测量工作，测量的精度和速度直接影响到整个工程的质量和速度。 测量放线工——进行工程建设的施工测量 3. 测量工作的一般程序 ⑴从整体到局部 ⑵从高级到低级 ⑶先控制后细部 4. 测量放线工的工作原则 ⑴严格按建筑工程施工设计图样的要求进行施工测量 ⑵按建筑工程施工组织设计的安排及时进行有关测量工作 ⑶严格按测量规范和细则进行测量工作 ⑷边工作边检核 第二讲工程测量的基本理论知识㈡ 知识目标：掌握地面点位的确定方法及建筑工程施工图的识读方法
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案
第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
工程测量基础知识
第一节工程测量基础概念及工程测量的重要性 在工程建设的设计、施工和管理各阶段中进行测量工作的理论、方法和技术，称为“工程测量”。工程测量是测绘科学与技术在国民经济和国防建设中的直接应用，是综合性的应用测绘科学与技术。 按工程建设的进行程序，工程测量可分为规划设计阶段的测量，施工兴建阶段的测量和竣工后的运营管理阶段的测量。 规划设计阶段的测量主要是提供地形资料。取得地形资料的方法是，在所建立的控制测量的基础上进行地面测图或航空摄影测量。 施工兴建阶段的测量的主要任务是，按照设计要求在实地准确地标定建筑物各部分的平面位置和高程，作为施工与安装的依据。一般也要求先建立施工控制网，然后根据工程的要求进行各种测量工作。 竣工后的营运管理阶段的测量，包括竣工测量以及为监视工程安全状况的变形观测与维修养护等测量工作。 按工程测量所服务的工程种类，也可分为建筑工程测量、线路测量、桥梁与隧道测量、矿山测量、城市测量和水利工程测量等。此外，还将用于大型设备的高精度定位和变形观测称为高精度工程测量；将摄影测量技术应用于工程建设称为工程摄影测量。 工程测量是直接为工程建设服务的，它的服务和应用范围包括城建、地质、铁路、交通、房地产管理、水利电力、能源、航天和国防等各种工程建设部门。 无论是工程进程各阶段的测量工作，还是不同工程的测量工作，都需要根据误差分析和测量平差理论选择适当的测量手段，并对测量成果进行处理和分析，也就是说，测量数据处理也是工程测量的重要内容。 在当代国民经济建设中，测量技术的应用十分广泛。在很多工程建设中，从规划、勘测、设计、施工及管理和运营阶段等的决策和实施都需要有力的测绘技术保障。在研究地球自然和人文现象，解决人口、资源、环境和灾害等社会可持续发展中的重大问题以及国民经济和国防建设的重大抉择同样需要测绘技术提供技术支撑和数据保障。 第二节常用仪器及其操作方法 1.水准仪及其操作 常用的水准仪为DS3型微倾式水准仪（见图1）。水准仪可以提供一条水平视线，通过观测水准尺读
测量误差理论的基本知识习题答案(2)
5 测量误差的基本知识 一、填空题: 1真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因 产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差_来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为_误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m,返测为112.329m,则相对误差为1/7488。 10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为土20〃,则该角的算术 平均值中误差为10〃? 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为9.4 mm 。 12、设观测一个角度的中误差为土8〃，则三角形内角和的中误差应为土13.856 〃。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为土3mm若1km观测了15个测站，则1km 的高差观测中误差为11.6mm 1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。 3、等精度观测----是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测----是指观测条件不同的各次观测。 5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC ）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD ）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性
测量误差理论的基本知识答案.
测量误差理论的基本知识答案 第13题答案：90°±3.6″ 第15题答案： 1.258±0.0036 第16题答案： S S1S2S342.74148.3684.75275.85 m mS mS1mS2mS3254 6.7 cm 第17题答案： 该二点间的实地距离为L：L=500×I=500×0.0234=11.70 m L的中误差为：mL5000.2100 mm0.1 m 实地距离最后结果为：11.70.1 m 第18题答案： 水平距离为：d=S×cosa=247.50×cos(10o34)=243.303 m 水平距离的中误差为： 222222 m2md(cosa)2mS(S sina)2a3438 2223[cos(1034)]0.005[247.50sin(1034)]3438 4.0 cm22 第19题答案： 该角度的最或然值为： [L]452954.0452955.0452955.7452955.4 452955.02 x n4 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=1.02, v2=x-L2=0.02, v3=x-L3=-0.68, v4=x-L4=-0.38 角度观测中误差为：m[vv]0.74 n 1 m0.37 n该角度最或然值的中误差为：mx 第20题答案： 该距离的算术平均值（最或然值）为： x[L]346.535346.548346.520346.546346.550346.573346.545 m n6 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=+0.0103, v2=x-L2=-0.0027, v3=x-L3=+0.0253, v4=x-L4=-0.0007 v5=x-L5=-0.0047, v6=x-L6=-0.0277 距离观测中误差为：m[vv] 1.8 cm n 1 m n7.3 mm 该距离最或然值的中误差为：mx 第23题答案：10mm 第24题答案：20mm
第五章--熟悉施工测量的基本知识
图5-1 DS3型水准仪的构造 1—物镜；2—物镜对光螺旋；3—微动螺旋；4—制动螺旋；5—微倾螺旋； 6—定平脚螺旋；7—三脚支架；8—符合气泡观察镜；9—管水准器 10—圆水准器；11—校正螺钉；12—目镜 第五章 熟悉施工测量的基本知识 本章对测量的基本工作和设备安装测量的知识作出介绍，供学习者在工作中参考应用。 第一节 测量基本工作 本节对水准仪、经纬 仪、全站仪、测距仪等测量 仪器基本工作原理及在设 备安装工作中的应用和水 准、距离、角度等测量要点 作扼要的介绍，供学习者参 考应用。 一、水准仪、经纬 仪、全站仪、测距仪的 使用 （一）水准仪 1 构造 水准仪的外形如图5-1 所示，其固定在三脚架顶部 的基座上。 其测量的正确性和精度决定于带有目镜、物镜的望远镜光轴的水平度，望远镜的构造示意如图5-2所示。 图5-2 望远镜示意图 1—物镜；2—目镜；3—调焦透镜；4—十字丝分划板；5—连接螺钉；6—调焦螺旋 为了使望远镜的光轴保持良好的水平度，所以在水准仪上装有管水准器和圆水准器两种水准器，圆水准器通过调节基座上的脚螺旋使圆水准器气泡居中，达到光轴初平之目的，
图5-3 圆水准器 如图5-3所示。测量时，调节水准仪上微倾 螺旋，使管水准器的气泡镜像重合如图5-4 所示。则表示水准仪的光轴已达到预期的水 平状况，可以测量读数了，但必须注每次测 量前，均需对管水准器的状况检查一次。 这种DS 型微倾螺旋水准仪有DS 0.5、 DS 1、DS 3、DS 10四种，下标数字表示每公 里往、返测高差中数的偶然误差值，分别不 超过0.5mm 、1 mm 、3 mm 、10 mm 。安装工程中应用DS 10已能满足要求。 2 应用 （1）房屋建筑安装工程中应用水准仪主要为了测量标高和找（划出）水平线。 （2）使用步骤：安置仪器、初步整平、瞄准水准尺、精确整平、读数、记录、计算。 （3）注意事项 水准仪安置地应地势平坦、土质坚实，能通视到所测工程实体位置，安装工程所用的水准尺除塔尺外，大部分使用长度为1m 的钢板尺，钢板尺的刻度应清晰，有时为了满足高度上的需要，将1m 长的钢板尺固定在铝合金的型材上使用，固定应牢固，可用螺栓或铆钉进行紧固。 （二）经纬仪 1 构造 经纬仪同样地固定在三脚架顶部的基座上，用来测量水平或垂直角度，因而其能在基座上做水平的旋转，同时望远镜可绕横轴作垂直面的旋转，如图5-5所示。 图5-5 DJ6光学经纬仪构造 1—轴座固定螺旋；2—复测扳钮；3—照准部管水准器；4—读数显微镜；5—目镜； 6—对光螺旋；7—望远镜制动扳钮；8—望远镜微动螺旋；9—水平微动螺旋； 10—脚螺旋；11—水平制动扳钮；12—水平微动螺旋；13—圆水准器； 14—望远镜微动螺旋；15—竖直度盘管水准器微动螺旋；16—竖直度盘； 17—物镜；18、20—反光镜；19—竖直度盘管水准器； 21—测微轮；22—水平度盘；23—基座 图5-4 气泡居中