人教版数学必修四第一章综合测试
第一章 平面向量
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( ) A ．向量可以比较大小
B ．坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量
C ．向量就是有向线段
D ．距离、密度和时间都不是向量 解析：
答案： D
2．右图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( )
A.OH →
B.OG →
C.FO →
D.EO →
解析： 利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即可发现OP →＋OQ →＝FO →
. 答案： C
3．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB →
D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b
解析： A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →
，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ，故D 正确．
答案： D
4．设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →
等于( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )
D ．(－1＋m ，－7＋n )
解析： AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝(1＋m,7＋n )，而DA →＝－AD →
. 答案： B
5．已知A (4,6)，B ?
???－3，3
2，有下列向量： ①a ＝????143，3；②b ＝????7，92；③c ＝????－14
3，－3；④d ＝(－7,9)． 其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③
D ．①②③④
解析： AB →
＝?
???－7，－92. ∵????143，3＝－23????－7，－92＝－23AB →
， ????7，92＝－????－7，－92＝－AB →， ????－143，－3＝23AB →，
∴与直线AB 平行的向量是①②③. 答案： C
6．设|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，则a 和b 的夹角θ等于( ) A ．45° B ．120° C ．135°
D ．165° 解析： ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22，
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝135°. 答案： C
7．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →
)成立，则λ＝( )
A.12
B.13
C.23
D ．±13
解析： 由MN →＝13BC →，且BC →＝AC →－AB →
，得λ＝13.
答案： B
8．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2
D ．4
解析： 由于2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0， 即(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0.解得n ＝±3. 所以a ＝(1，±3)．所以|a |＝1＋(±3)2＝2.
答案： C
9．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →
等于( )
A.43a ＋23b
B.23a ＋43b
C.23a －43b D ．－23a ＋43
b
解析： BC →＝2BD →
＝2????23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD → ＝23a ＋43
b .
答案： B
10．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A.????2，72
B.????2，－1
2 C ．(3,2)
D ．(1,3)
解析： 设D (x ，y )，则BC →＝(4,3)，AD →
＝(x ，y －2)，
又BC →＝2AD →
，故?????
4＝2x ，3＝2(y －2)，解得?????
x ＝2，y ＝7
2.
答案： A
11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A ．40 N
B ．10 2 N
C ．20 2 N
D.10 N
解析： 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.
答案： B
12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →
＝αOA →＋βOB →
，其中α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
C ．2x －y ＝0
D ．x ＋2y －5＝0
解析： 设OC →
＝(x ，y )．
∵αOA →＝(3α，α)，βOB →
＝(－β，3β)， ∴αOA →＋βOB →
＝(3α－β，α＋3β)． ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．
∴?
????
x ＝3α－β，y ＝α＋3β.
又α＋β＝1，∴x ＋2y ＝5. 答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．有下列说法：
①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；
②若AB →＝DC →
，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在?ABCD 中，一定有AD →＝BC →
； ④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑥共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法是________．
解析： 对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确；
对于②，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于③，在?ABCD 中，|AD →|＝|BC →|，AD →与BC →平行且方向相同，所以AD →＝BC →
，故③正确； 对于④，零向量的方向是任意的，与任一向量平行，故④正确；
对于⑤，a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，所以a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，故⑤正确；
对于⑥，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑥不正确．
答案： ③④⑤
14．通过点A (－1,2)且平行于向量a ＝(3,2)的直线为________．
解析： 设P (x ，y )为所求直线上任意一点，由题意知AP →∥a ，而AP →
＝(x ＋1，y －2)，a ＝(3,2)，
∴(x ＋1)·2－(y －2)·3＝0，
化简得2x －3y ＋8＝0，即为所求直线的方程． 答案： 2x －3y ＋8＝0
15．已知O ，A ，B 是平面上的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OC →＝
λOA →＋μOB →
，则λ－μ＝________.
解析： 由2AC →＋CB →
＝0，
得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，则OC →＝2OA →－OB →. ∴λ＝2，μ＝－1，∴λ－μ＝3. 答案： 3
16．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，????12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________，b 在a 方向上的投影等于________．
解析： ∵????12a ＋b ·(2a －3b )＝12，且|a |＝4，〈a ，b 〉＝45°，∴3|b |2－2|b |－4＝0，∴|b |＝2，或|b |＝－
22
3
(舍)．b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈a ，b 〉＝1. 答案：
2 1
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值． 解析： 方法一：∵|3a －2b |＝3， ∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝13
.
∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×1
3＋1＝12.
∴|3a ＋b |＝2 3.
方法二：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．
∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2＝1.
∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝
(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝3.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝13.
∴|3a ＋b |＝
(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2
＝
9＋1＋6×1
3
＝2 3.
18．(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →
|＝2，∠OAB ＝2π3，BC
→＝(－1，3)．
(1)求点B ，C 的坐标；
(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．
解析： (1)设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52，y B ＝|AB →
|·sin(π－∠OAB )
＝32
， ∴OC →＝OB →＋BC →
＝????52，32＋(－1，3)＝????32，332，
∴B ????52，32，C ???
?
32，332. (2)证明：连接OC .∵OC →
＝????32，332，AB →＝????12，32，
∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →
. 又|OC →|≠|AB →|，|OA →|＝|BC →
|＝2， ∴四边形OABC 为等腰梯形．
19．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . 解析： (1)c ∥d ，故c ＝λd ， 即k a ＋b ＝λ(a －b )．
又a ，b 不共线，则????? k ＝λ，1＝－λ，解得?????
λ＝－1，k ＝－1.
即c ＝－d ， 故c 与d 反向．
(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos 60°＝(k －1)a 2＋1－k 2
a 2. 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k
2a 2＝0.
即(k －1)＋1－k
2
＝0，解得k ＝1.
20．(本小题满分12分)在△OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知OP ∶P A ＝1∶2，OQ ∶QB ＝3∶2，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a 与b 表示OR →
；
(2)若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 夹角为60°，过R 作RH ⊥AB 交AB 于点H ，用a ，b 表示OH →
. 解析： (1)OP →＝13OA →＝13a ，OQ →＝35b ，
由A ，R ，Q 三点共线，可设AR →＝mAQ →
. 故OR →＝OA →＋AR →＝a ＋mAQ →＝a ＋m (OQ →－OA →) ＝a ＋m ????35b －a ＝(1－m )a ＋35
m b . 同理，由B ，R ，P 三点共线，可设BR →＝nBP →
， 由OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n
3
a ＋(1－n )
b .
由于a 与b 不共线，则有???
1－m ＝n
3，
3
5m ＝1－n .
解得???
m ＝5
6，n ＝1
2.
∴OR →＝16a ＋12
b .
(2)由A ，H ，B 三点共线，可设BH →＝λBA →
， 则OH ＝λa ＋(1－λ)b ，
RH →＝OH →－OR →
＝????λ－16a ＋????12－λb . 又RH →⊥AB →，∴RH →·AB →
＝0.
∴????????λ－16a ＋????12－λb ·(b －a )＝0.
又∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1，∴λ＝12，∴OH →＝1
2a ＋12
b .
21．(本小题满分13分)向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．
解析： 由(a －b )⊥c ，知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，
∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0. 故|a |＝|b |＝1，
又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.
22．(本小题满分13分)已知O 为坐标原点，OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，则在OC →
上是否存在点M ，使MA →⊥MB →
，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析： 存在，理由如下：设存在点M 满足条件， 则OM →＝λOC →
＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →
＝(3－6λ，1－3λ)． 由MA →⊥MB →
，得(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝13或λ＝1115，∴OM →＝(2,1)或OM →
＝????225，115. 因此存在点M (2,1)或点M ????225，115满足题意．
(新)高中数学必修一第一章测试题附答案
稷王中学高一年级第一次月考数学试题 2014-9-26 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 集合{1,3,5,7}用描述法表示出来应为 ( ) A.{x|x 是不大于7的非负奇数} B.{x|1≤x ≤7} C.{x|x ∈N 且x≤7} D.{x|x ∈Z 且1≤x ≤7} 2. 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3. 设集合A={x |－5≤x<1},B={x|x ≤2}，则A ∪B= ( ) A.{x |－5≤x<1} B.{x|x ≤2} C.{x|x<1} D.{x |－5≤x ≤2} 4. 已知集合A={x|x 2+x －2=0},若B={x|x ≤a},且A ?≠B,则a 的取值范围是 ( ) A.a>1 B.a ≥1 C.a≥-2 D.a≤-2 5. A={1,2},则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数为, （ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 6. 已知全集,U R =集合{}{} 1,1.M x R y x N y R y x =∈=-=∈=+则 M C N U =( ） A ．? B.{}01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {} 11x x -≤< 7． 设集合{}22≤≤-=x x M ，{} 20≤≤=y y N ，给出下列四个图形，其中能表 示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 8. 已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A ＊B={x ∣x ∈A 且x ?B}， 则集合A ＊B 等于（ ） A. {1，2，3} B. {2，4} C. {1，3} D. {2} 9．与||y x =为同一函数的是（ ）。
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A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) [答案] A [解析] 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故P 点坐标为(cos θ，sin θ)． 4．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1 5x ，则tan α＝( ) A.4 3 B.3 4 C ．－3 4 D ．－43 [答案] D [解析] x <0，r ＝x 2 ＋16，∴cos α＝x x 2＋16 ＝1 5x ，∴x 2＝9，∴ x ＝－3，∴tan α＝－4 3. 5．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2
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浙江省亭旁中学高一数学(下)月考试卷 答案做在答题卷上 满分150分 时间120分 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1．下面四个命题正确的是 （ ） (A). 第一象限角必是锐角 (B).小于90的角是锐角 (C).若cos 0α<，则α是第二或第三象限角 (D).锐角必是第一象限角 2．如果1 cos()2 A π+=-，那么sin()2A π+的值是 （ ） （A ）．12- （B ）12 （C ）33 3．下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C M B AD C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 4、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 5．为了得到函数sin(2)3 y x π =-的图像，只需把函数sin(2)6y x π =+的图像（ ） （A ）向左平移 4π个长度单位 （B ）向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π 个长度单位 6． 函数sin(3)4 y x π =- 的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) （A ） ．,012π??- ??? （B ）． 7,012π?? - ??? （C ）． 7,012π?? ??? （D ）． 11,012π?? ??? 7． 已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是（ ） A 1 B 1- C 2 1 D 0 8.已知3sin 5m m θ-=+，524cos +-=m m θ，其中,2πθπ??∈???? ，则θtan 的值为（ ） （A ）.125- （B ）. 125 (C). 12 5 - 或43- (D). 与m 的值有关
高中数学必修四第一章测试题
必修四第一章复习题 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当 x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2 5．若sin ? ?? ??π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得 到y ＝sin ? ?? ??x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ 的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A B ．m －n D.12(m －n ) C ， ②函数f (x )在区间? ?? ??－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其 中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >） ，那么 1、比值 y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。 数学必修4综合测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的） 1．下列命题中正确的是（ C ） A ．第一象限角必是锐角 B ．终边相同的角相等 C ．相等的角终边必相同 D ．不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ C ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－ 6 π 3．已知角α的终边过点()m m P 34， -，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ B ） A ．1或－1 B ． 52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ B ） A.35( , )(, )244 ππ π πU B.5(,)(,)424ππππU C.353(,)(,)2442ππππU D.33(,)(,)244 ππππU 5. 若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）π125 6.已知函数B x A y ++=)sin(??的一部分图象如右图所示，如果 2 ||,0,0π ??< >>A ，则（ ） A.4=A B.1=? C.6 π ?= D.4=B 7. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ） A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = ８．已知== -∈x x x 2tan ,5 4 cos ),0,2 (则π （ ） A ．24 7 B ．24 7- C ．7 24 D ．7 24- [精练精析]单元质量评估（三）第三章：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数y=sinx+cosx的最小正周期是（） （A）（B）π（C）2π（D）4π 【解析】选C.∵y=sinx+cosx =2sin(x+), ∴T=2π. 2.（2009·长春高一检测）化简cos2(-α)-sin2( -α)得( ) (A)sin2α (B)-sin2α (C)cos2α (D)-cos2α 【解析】选A.原式=cos(-2α)=sin2α. 【解析】选A.sin89°cos14°-sin1°cos76°=sin89°cos14°-cos89°sin14° =sin75°=sin(45°+30°)= 6.（2009·平遥高一检测）若0<α<β<π4,sinα+cosα=a, sinβ+cosβ=b,则（） （A）a>b （B）a2 19.（12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值 21.（12分）（2009·新余高一检测）已知函数f(x)=2sin2x+ sin x cosx+1,求： （1）f(x)的最小正周期； （2）f(x)的单调递增区间； （3）f(x)在［0, ］上的最值. 22.（12分）（2009·重庆高考）设函数f(x)=sin(x-) -2cos2x+1. (1)求f(x)的最小正周期； （2）若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈［0, ］时，y=g(x)的最大值. y x 1 1 2 3 O （人教版）高二数学必修4第一章三角函数单元测试题（含答案） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1 ． A B ． C D 2．下列函数中，最小正周期为 的是 A ． B ． C ． D ． 3．已知 ， ，则 A B C D ． 4．函数 是周期为的偶函数，且当 A B C ． D ．2 5 A B 个单位 C 个单位 D ．向右平 移 6 ．函数的零点个数为 A ．5 B ．7 C ．3 D ．9 7 ．函数 可取的一组值为 A B C D 8 ．已知函数 的值可能是 A B C D ． 9 ，则 这个多边形为 A ．正六边形 B ．梯形 C ．矩形 D ．正五边 形 10 ．函数有3个零点，则 的值为 A ．0 B ．4 C ．2 D ．0，或2 11 ．对于函数的一组值计 ，所得的结果可能是 A ．0与1 B ．1 C ．101 D ．与 12．给出下列3个命题： ①函数； ②函数 ③ A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上．13．角的终边过点，且，则的值为▲． 14．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是▲． 15．已知，则▲． 16．函数个单位，所的函数为偶函数； 的最大值为▲． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知扇形的周长为4，那么当扇形的半径为何值时，它的面积最大，并求出最大面积，以及相应的圆心角． 18．（本小题满分12分） 已知函数时，取得最小值 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的解析式． 19．（本小题满分12分） 若，为第四象限角，求 20．（本小题满分12分） 求下列函数的值域 （Ⅰ） （Ⅱ）． 21．（本小题满分12分） 已知函数．求的 （Ⅰ）定义域； （Ⅱ）单调递增区间； （Ⅲ）值域． 22．（本小题满分12分） 最新人教版高中数学必修四单元测试题及答案全套 阶段质量检测(一) (A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30° 答案：B 2．若－π 2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B 3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( ) A ．60° B ．330° C ．150° D ．120° 答案：B 4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 答案：D 5．函数f (x )＝tan ????x ＋π 4的单调增区间为( ) A.? ???k π－π2，k π＋π 2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.? ???k π－3π4，k π＋π 4，k ∈Z D.????k π－π4，k π＋3π 4，k ∈Z 答案：C 6．已知sin ????π4＋α＝3 2，则sin ????3π4－α的值为( ) A.1 2 B ．－1 2 C. 32 D ．－ 32 答案：C 7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ????－π6≤x ≤π 6的最大值与最小值之和为( ) A.3 2 B ．2 C ．0 D.3 4 答案：A 8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间????－π6，5π 6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点 ( ) A ．向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原 来的1 2 倍，纵 坐标不变 B ．向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变 D ．向左平移π 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 答案：A 9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( ) A ．y ＝2sin ? ???2x －π4 B ．y ＝2sin ????2x －π4或y ＝2sin ????2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ????2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ????2x －3π4 答案：C 10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ????x －12＝f ????x ＋12，且f ????－14＝－a ，那么f ????9 4等于( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a 答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知sin(π－α)＝－2 3，且α∈????－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－2 3 ， 高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 , 正弦 | 余弦 [ 正切 < 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数 sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： / 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4 、函数 y =的定义域是_____ __ 5、 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------（ ） （A ）向左平移个6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是 。 8.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 9、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是（ ） 》 A ．sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D.sin()23 π=+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ） A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型：1、已知角α终边上一点P （－4，3），求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值 高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作） 2017年高中数学必修四第一章《三角函数》单元测试题 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1、 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ; 21- 2、下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角都是锐角 B ．三角形的内角必是第一、二象限的角 C ．不相等的角终边一定不相同 D ．},90180|{},90360|{Z k k Z k k ∈?+??==∈?±??=ββαα 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、已知21 tan -=α，则α ααα22cos sin cos sin 2-的值是( ) A ．3 4 - B ．3 C ．34 D ．3- 6．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π 个单位得到)(x f y =的图象，则( ) A ．x x f 2cos )(= B ．x x f 2sin )(= C ．x x f 2cos )(-= D ．x x f 2sin )(-= 7、9．若?++?90cos()180sin(αa -=+)α，则)360sin(2)270cos(αα-?+-?的值是( ) A ．32a - B ．23a - C ．32a D ．2 3a 8、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为 （ ） A . 3 π B. 3 2π C. 3 D. 2 9、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于( ) A ．x 2cos 3- B ．x 2sin 3- C ．x 2cos 3+ D ．x 2sin 3+ 10、已知tan(α＋β)=2 5，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ） A ．15 B ．1 4 C ．1318 D ．1322 11已知函数>><+=ω?ω,0)sin()(A x A x f )2 ||,0π ?< 在一个周期内的图象如图 所示．若方程m x f =)(在区间],0[π上有两个不同的实数解21,x x ，则21x x +的值为（ ） A ． 3π B ．π32 C ．π34 D ．3π或π3 4 12．已知函数f (x )=f (π-x ),且当)2 ,2(π π-∈x 时，f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ ） A.a 2018-2019学年必修四第一章训练卷 三角函数（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 ） A ． B ． 2 3 C ． D ． 2 1 2．已知点33sin ,cos 44P ? ?ππ ??? 落在角θ的终边上，且[)0,2θ∈π，则θ的值为（ ） A ． 4 π B ． 4 3π C ． 4 5π D ． 4 7π 3．已知3tan 4α= ，3,2α?? ∈ππ ??? ，则cos α的值是（ ） A ．45 ± B ． 45 C ．45- D ．35 4．已知sin 24()5απ-=，32α?? ∈π,2π ???，则sin cos sin cos αααα+-等于（ ） A ． 1 7 B ．17 - C ．7- D ．7 5．已知函数()(2)sin f x x ?+=的图象关于直线8 x π =对称，则?可能取值是（ ） A ． 2π B ．4 π- C ． 4 π D ． 4 3π 6．若点sin cos ,t ()an P ααα-在第一象限，则在[)0,2π内α的取值范围是（ ） A ．35,,244πππ????π ? ????? B ．5,,424πππ????π ? ????? C ．353,,2442ππππ???? ? ????? D ．3,,244ππ3π????π ? ?? ? ? ? 7．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax +=的图象不可能是（ ） 8．为了得到函数sin 26y x π? ?=- ?? ?的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向右平移6 π 个单位长度 B ．向右平移3 π 个单位长度 C ．向左平移 6 π 个单位长度 D ．向左平移 3 π 个单位长度 9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数()sin 0,0,02I A x A ω?ω?π? ?=+>><< ? ? ?的图象如右图所示，则当1 100 t = 秒时，电流强度是（ ） 此 卷 只 装订 不密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 高中数学必修4综合测试题 一．选择题 1．在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 上的增函数又是以π A ．tan 5 13tan 4 13ππ< B ．sin )7 cos(5 π π-> C ．sin(π－1) 8．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos (0)()2sin (0) x x f x x x ππ?-≤ 高一必修四三角函数单元测试 班级_________学号__________姓名__________ 1. 化简0 15tan 115tan 1-+等于 （ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 1 2. 在 ABCD 中，设AB a = ,AD b = ，AC c = ,BD d = ,则下列等式中不正确的是（ ） A ．a b c += B ．a b d -= C ．b a d -= D ．2c d a -= 3. 在ABC ?中，①sin(A+B)+sinC ；②cos(B+C)+cosA ；③2 tan 2tan C B A +；④cos sec 22B C A +， 其中恒为定值的是（ ） A 、① ② B 、② ③ C 、② ④ D 、③ ④ 4. 已知函数f(x)=sin(x+ 2π)，g(x)=cos(x －2 π )，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π B ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 C ．将函数y=f(x)的图象向左平移2π单位后得g(x)的图象 D ．将函数y=f(x)的图象向右平移 2 π 单位后得g(x)的图象 5. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π =x 对称的是（ ） A ．)3 2sin(π - =x y B ．)6 2sin(π-=x y C ．)6 2sin(π+=x y D ．)6 2sin(π+=x y 6. 函数x x y sin cos 2 -=的值域是 （ ） A 、[]1,1- B 、?? ????45,1 C 、[]2,0 D 、?? ??? ?-45,1 7. 设000 2012tan13cos66,,21tan 13a b c ===+则有（ ） A ．a b c >> B.a b c << C. b c a << D. a c b << 8. 已知sin 5 3 = α,α是第二象限的角，且tan(βα+)=1,则tan β的值为（ ） A ．－7 B ．7 C ．－43 D ．4 3 9. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当 ]2 ,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ） A. 2 1- B 2 3 C 2 3- D 1.与32?-角终边相同的角为（ ） A ． 36032k k Z ???+∈， B. 360212k k Z ???+∈， C ． 360328k k Z ???+∈， D. 360328k k Z ???-∈， 2. 半径为1cm ，中心角为150o 的弧长为（ ） A ．cm 3 2 B ． cm 32π C ．cm 6 5 D ． cm 6 5π 3.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则 y x 值为( ) A.3 B. - 3 C. 33 D. -3 3 4.下列函数中属于奇函数的是（ ） A. y=cos(x )2π+ B. sin()2 y x π =- C. sin 1y x =+ D.cos 1y x =- 5.要得到函数x y sin =的图象，只需将函数??? ?? -=3sin πx y 的图象 （ ） A. 向左平移 3π B. 向右平移3π C. 向左平移32π D. 向右平移3 2π 6. 已知点(sin cos tan )P ααα-，在第一象限，则在[02π]， 内α的取值范围是（ ） Ａ．π3π 5 ππ244 ???? ? ?? ?? ? U ，， Ｂ．ππ 5 ππ424 ???? ? ?? ?? ? U ，， Ｃ．π3π 5 3 ππ2442 ???? ? ?? ?? ? U ，， Ｄ．ππ 3 ππ424 ???? ? ?? ?? ? U ，， 7. 函数2sin(2)6 y x π =+的一条对称轴是（ ） A. x = 3π B. x = 4π C. x = 2π D. x = 6π 8. 函数)3 2sin(π -=x y 的单调递增区间是（ ） A ．5,1212k k ππππ?? -++???? Z k ∈ B ．52,21212k k ππππ?? -++???? Z k ∈ 高中数学必修四 第一章 三角函数 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >） ，那么 高中数学必修4测试题 一.选择题： 1. 3 π 的正弦值等于 （ ） （A ） 23 （B ）21 （C ）2 3 - （D ）21- 2．215°是 （ ） （A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角 3．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 （ ） （A ）4 （B ）－3 （C ） 5 4 （D ）5 3- 4．若sin α<0，则角α的终边在 （ ） （A ）第一、二象限 （B ）第二、三象限 （C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限 5．函数y=cos2x 的最小正周期是 （ ） （A ）π （B ） 2 π （C ） 4 π （D ）π2 6．给出下面四个命题：① =+；②=+B ；③=； ④00=?。其中正确的个数为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．向量)2,1(-=，)1,2(=，则 （ ） （A ）a ∥b （B ）a ⊥b （C ）与的夹角为60° （D ）与的夹角为30° 8. ( ) （A ）cos160? （B ）cos160-? （C ）cos160±? （D ）cos160±? 9． 函数)cos[2()]y x x ππ=-+是 （ ） （A ） 周期为 4π的奇函数 （B ） 周期为4 π 的偶函数 （C ） 周期为 2π的奇函数 （D ） 周期为2 π 的偶函数 10．函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ） （A ）)3 22sin(2π +=x y （B ）)3 2sin(2π +=x y （C ）)3 2sin(2π-=x y （D ）)3 2sin(2π - =x y 二.填空题 11．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为 ； 12．若)3,2(=与),4(y -=共线，则y ＝ ； 13．若21tan = α，则α αααcos 3sin 2cos sin -+= ； 1421==，a 与b 的夹角为 3 π += 。 15．函数x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y ； 三．解答题 16．(1)已知4 cos 5 a =- ，且a 为第三象限角，求sin a 的值 (2)已知3tan =α，计算 α αα αs i n 3c o s 5c o s 2s i n 4+- 的值. 17．已知向量a , b 的夹角为60 , 且||2a = , ||1b = , (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b + . 云阳中学高一数学必修4第一章三角函数单元测试 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A C D ．A=B=C 2、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是 （ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－2316 4、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上 C ．在y 轴上 D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( ) A ．3 2- B ．3 2 C ．1 2 D ． 12- 6、要得到)42sin(3π+ =x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8 π个单位 7、如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x | C ．y=－sin|x | D ．y=－|sin x | 8、化简1160-?2sin 的结果是 ( ) A ．cos160? B ．cos160-? C ．cos160±? D ．cos160±? 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25 A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π +=x y 的图象 （ ）高中数学必修四第一章知识点梳理-
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