《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案
《高等数学》试卷（同济六版上）
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x
x f =)(，则=→)(lim 0
x
f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在
2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）.
A 、1ln (0)x x +→
B 、ln (1)x x →
C 、cos (0)x x →
D 、22(2)4
x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.
A 、极大值点
B 、极小值点
C 、驻点
D 、间断点
4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.
A 、必要但非充分条件
B 、充分但非必要条件
C 、充分必要条件
D 、既非充分又非必要条件
5、下列无穷积分收敛的是（ ）.
A 、?+∞0sin xdx
B 、dx e x ?+∞-02
C 、dx x ?+∞0
1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
6、当k= 时，2,0
(),0x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续.
7、设x x y ln +=,则_______________dx dy
=. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 .
9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =.
10、定积分dx x x x ?-+5
54231sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、求极限 x
x x 2sin 24lim
0-+→.
12、求极限 2cos 12
lim x t x e dt x -→?.
13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy .
14、设函数)(x f y =由参数方程???=+=t
y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .
15、求不定积分212sin 3dx x x ??+ ???
?
.
16、设,0()1,01x e x f x x x
?
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：dx x x n m )1(10-?=dx x x m n )1(1
0-? (N n m ∈,).
18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时，
ln b a b b a b a a
--<<.
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）
19、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 各等于多少时，才能使表面积最小？
20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ，求
（1）平面图形A 的面积；
（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.
《高等数学》试卷（同济六版上）答案
一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB
二．填空题（每小题3分，本题共15分）
6、1
7、1x x
+ 8、1y = 9、2cos 2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、解：x x x 2sin 2
4lim 0-+
→0x →= 3分
01128
x →== 6分
12、解： 2cos 1
02lim x dt
e x
t x ?-→2cos 0sin lim 2x
x xe x -→-= 3分
1
2e =- 6分
13、解：)111(11
22x x x y ++++=' 4分
211
x += 6分
14、解：t
t t t dx dy 21
1211
22
=++
= 3分
22
223
21
12()241d y t d dy
dx t dt t dt dx dx t t -+===-+ 6分
15、解：21
21
2
2
sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++?? 3分
1
2
cos(3)2C x =++ 6分
16、解：????--+==-01101
120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 0110d 1x x e dx x -=++??
3分
1
010|ln(1)x e x -=++
11ln 2e -=-+ 6分
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17、证明：1001(1)(1)m n m n
x x dx t t dt -=--?? 4分
1100(1)(1)m n m n t t dt x x dx
=-=-?? 8分
18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<
显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有
()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分
由于1()f x x
'=, 因此上式即为 l n l n b a b a ξ--=. 又由.a b ξ<< b a b a b a b a ξ---∴
<< 当0a b <<时，ln b a b b a b a a
--<< 8分
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）
19、解：2V r h π=
∴表面积2222222222V V S r rh r r
r r r ππππππ=+=+=+ 4分 令22'40V S r r π=-
= 得
r =
2h =
答：底半径r =
和高2h =，才能使表面积最小。 8分 20、解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1，1）， 2分
于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为
31]3132[)(10210232=-=-=?x x dx x x A 6分
A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：
()πππ10352)(1
0521042=??????-=-=?y y dy y y V 10分